【数学】2018届一轮复习人教A版三角恒等变换与解三角形学案文

【数学】2018届一轮复习人教A版三角恒等变换与解三角形学案文

专题07 三角恒等变换与解三角形 和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．‎ ‎1．和差角公式 ‎(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；‎ ‎(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．倍角公式 ‎(1)sin2α＝2sinαcosα；‎ ‎(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3) tan2α＝.‎ ‎3．半角公式 ‎(1)sin＝±；‎ ‎(2)cos＝±；‎ ‎(3)tan＝±；‎ ‎(4)tan＝＝.‎ ‎4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ ‎5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ b2＝a2＋c2－2accosB，‎ c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ ‎6．面积公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.‎ ‎7．解三角形 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.‎ 考点一　三角恒等变换及求值 例1、【2017山东，文7】函数 最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以其周期,故选C ‎ ‎ 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎【答案】－ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，在Rt△ACB中，不妨设∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan＝－tan B＝－.‎ ‎ (2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C．1 D. ‎【答案】A ‎ (3)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎【答案】C ‎【解析】通解：由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.‎ ‎【方法规律】1．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“‎1”‎的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂； ‎ ‎(4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类．‎ ‎2．解决条件求值问题的三个关注点 ‎(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．‎ ‎(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．‎ ‎(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．‎ ‎【变式探究】已知sin＝，cos 2α＝，则sin α等于(　　)‎ A. B．－ C．－ D. 考点二　正、余弦定理的简单应用 例2、【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.‎ ‎【答案】75°‎ ‎【解析】由题意： ，即 ，结合 可得 ，则.‎ ‎ 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】通解：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知 eq f(AC,sin 45°)＝，即＝，解得sin A＝，故选D.‎ 优解：设出BC长度求边，用正弦定理求sin A.‎ 设BC＝3，则高AD＝BD＝1，DC＝2.‎ ‎∴AC＝，‎ ‎∴sin A＝＝.‎ ‎ (2)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎【答案】 形时，S＝×22×sin 60°＝.‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．‎ ‎【变式探究】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin ‎2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D.或 考点三　正余弦定理的综合应用 例3、【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ‎，‎ 即，所以．‎ 由正弦定理得，即，‎ 因为cc,∴ a=3，c=2.‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此 ‎.‎ 于是=.‎ ‎【考点定位】解三角形、三角恒等变换.‎ ‎22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II）函数的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ 解得.‎ ‎【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.‎ ‎23. 【2014高考四川第16题】已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若是第二象限角，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）,.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）由题设得：，‎ 即，.‎ 若，则，‎ 若，则.‎ ‎【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.‎ ‎24.【2014高考浙江文第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，求的面积. ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎，所以；‎ ‎（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．‎ ‎【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 ‎ ‎25.【2014高考重庆文科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.‎ ‎【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.‎ ‎1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)‎ A．－ B. C．－或0 D.或0‎ ‎【答案】D ‎【解析】基本法：∵，‎ ‎∴或 ‎∴tan 2α＝0或tan 2α＝.‎ ‎2．若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】基本法：＝ ‎＝＝ ‎＝，‎ ‎∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故选C.‎ ‎3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)(导学号 55460112)‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】A ‎【解析】依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝(否则，若α＋β ‎≤，则有0<β<α＋β≤，0

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