高考卷 普通高等学校招生考试上海卷 数学 (理科) 全解全析

高考卷 普通高等学校招生考试上海卷 数学 (理科) 全解全析

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数 学 (理 科) 全解全析 一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分． 1、函数    lg 4 3 xf x x   的定义域为 _____ 【答案】  34  xxx 且 【解析】 4 0 3 0 x x        34  xxx 且 2、已知 1 : 2 1 0l x my   与 2 : 3 1l y x  ，若两直线平行，则 m 的值为 _____ 【答案】 3 2 【解析】 2 1 2 3 1 1 3 m m      3、函数   1 xf x x   的反函数  1 _____f x  【答案】 ）（ 11  xx x 【解析】由 ( 1)1 1 x yy x yx y        1 11 xf x xx    （ ） 4、方程9 6 3 7 0x x    的解是 _____ 【答案】 3log 7x  【解析】 2(3 ) 6 3 7 0 3 7 3 1x x x x       或 （舍去）， 3log 7x  。 5、已知 ,x y R ，且 4 1x y  ，则 x y 的最大值为 _____ 【答案】 16 1 【解析】 21 1 4 14 ( )4 4 2 16 x yxy x y     ，当且仅当x=4y= 1 2 时取等号. 6、函数   sin sin3 2f x x x             的最小正周期是 _____T  【答案】 π 【解析】 sin( )sin( ) (sin cos cos sin )cos3 2 3 3y x x x x x        21 3 1 3 1 cos2sin cos cos sin 22 2 4 2 2 xx x x x      3 1 sin(2 )4 2 3x    T   。 7、有数字1 2 3 4 5、、、、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为 _____ 【答案】 3.0 【解析】 2 1 2 3 3 5 3 10 C C C  8、已知双曲线 2 2 14 5 x y  ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方 程为 _____ 【答案】 )3(122  xy 【解析】双曲线 2 2 14 5 x y  的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线 的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是) 2 12( 3)y x  9、若 ,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ① 1 0a a   ② 2 2 22a b a ab b    ③若 a b ，则 a b  ④若 2a ab ，则 a b 。则对于任意非零复数 ,a b ，上述命题仍然成立的序号是 _____ 。 【答案】②④ 【解析】 对于①：解方程 1 0a a   得 a i，所以非零复数 a  i使得 1 0a a   ，① 不成立；②显然成立；对于③：在复数集 C 中，|1|=|i|，则 a b  a b  ，所以③不成 立；④显然成立。则对于任意非零复数 ,a b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面 ,  与两直线 1 2,l l ，又知 1 2,l l 在 内的射影为 1 2,s s ，在  内的射影为 1 2,t t 。试写出 1 2,s s 与 1 2,t t 满足的 条件，使之一定能成为 1 2,l l 是异面直线的充分条件 【答案】 21 // ss ，并且 1t 与 2t 相交（ //1t 2t ，并且 1s 与 2s 相交） 【解析】 作图易得“能成为 1 2,l l 是异面直线的充分条件”的是“ 21 // ss ，并且 1t 与 2t 相交” 或“ //1t 2t ，并且 1s 与 2s 相交”。 11、已知圆的方程  22 1 1x y   ， P 为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP 的倾斜 角为 弧度， OP d ，则  d f  的图象大致为 _____ 【答案】 【解析】 2cos( ) 2sin , (0, )2OP         二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四 个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选 对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12、已知 2 ,ai b i  是实系数一元二次方程 2 0x px q   的两根，则 ,p q 的值为 A、 4, 5p q   B、 4, 5p q  C、 4, 5p q   D、 4, 5p q    【答案】A 【解析】 因为 2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 2 0x px q   的两 个根，所以 a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程 2 0x px q   的两个根是 2 i 所以 [(2 ) (2 )] 4, (2 )(2 ) 5.p i i q i i           。 13、已知 ,a b 为非零实数，且 a b ，则下列命题成立的是 A、 2 2a b B、 2 2ab a b C、 2 2 1 1 ab a b  D、 b a a b  【答案】C 【解析】若aba2b2，A不成立；若 2 20 ,ab a b aba b     B不成立；若a=1，b=2，则 12, 2 b a b a a b a b     ,所以D不成立 ,故选C。 14、在直角坐标系 xOy 中， ,i j   分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中， 2AB i j    ， 3AC i k j    ，则 k 的可能值有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【答案】B 【解析】解法一： 2 3 ( 1)BC BA AC i j i k j i k j                   （1） 若A为直角，则 (2 )(3 ) 6 0 6AB AC i j i k j k k               ； （2） 若B为直角，则 (2 )[ ( 1) ] 1 0 1AB BC i j i k j k k                ； （3） 若C为直角，则 2(3 )[ ( 1) ] 3 0AC BC i k j i k j k k k                 。 所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合．如图，将 A 放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)， C 点坐标为(3,k)，所以 C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角， C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是 2，选 B 15、已知  f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k ，若   2f k k 成立，则    21 1f k k   成立，下列命题成立的是 A、若  3 9f  成立，则对于任意 1k  ，均有   2f k k 成立； B、若  4 16f  成立，则对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立； C、若  7 49f  成立，则对于任意的 7k  ，均有   2f k k 成立； D、若  4 25f  成立，则对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立。 【答案】D 【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有   2f k k 成立；对 B，应有   2f k k 成立； 对 C，只能得出：对于任意的 7k  ，均有   2f k k 成立，不能得出：任意的 7k  ，均 有   2f k k 成立；对 D，  4 25 16,f    对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立。 故选 D。 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16、体积为 1 的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   ， 1AC BC  ，求直线 1AB 与 平面 1 1BCC B 所成角。 【解析】法一： 由题意，可得体积 1 1 1 1 1 12 2ABCV CC S CC AC BC CC      △ ，  211  CCAA ．连接 1BC ． 1 1 1 1 1 1 1AC B C AC CC  ， ， C 1A A 1C 1B B x y z  11CA 平面 CCBB 11 ， 11BCA 是直线 BA1 与平面 CCBB 11 所成的角． 522 11  BCCCBC ， 5 1tan 1 11 11  BC CABCA ， 则 11BCA ＝ 5 5arctan ．即直线 BA1 与平面 CCBB 11 所成角的大小为 5 5arctan ． 法二： 由题意，可得 体积 1 1 1 1 1 12 2ABCV CC S CC AC BC CC       ， 21  CC ， 如图，建立空间直角坐标系． 得点 (0 1 0)B ，， ， 1(0 0 2)C ，， ， 1(1 0 2)A ，， ． 则 1 ( 1 1 2)A B    ，， ， 平面 CCBB 11 的法向量为 (1 0 0)n  ，， ． 设直线 BA1 与平面 CCBB 11 所成的角为 ， BA1 与 n 的夹角为 ， 则 1 1 6cos 6 A B n A B n          ， 6 6arcsin,6 6|cos|sin   ， 即直线 BA1 与平面 CCBB 11 所成角的大小为 6 6arcsin ． 17、在三角形 ABC 中， 2 52, ,cos4 2 5 Ba C    ，求三角形 ABC 的面积 S 。 【解析】 由题意，得 3cos 5B B ， 为锐角， 5 4sin B ， 10 27 4 π3sin)πsin(sin       BCBA ， 由正弦定理得 7 10c ，  1 1 10 4 8sin 22 2 7 5 7S ac B      ． 18、近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 2002 年全球太阳能年生产量为 670 兆 瓦，年增长率为 34%。在此后的四年里，增长率以每年 2%的速度增长（例如 2003 年的年 生产量增长率为 36%） （1）求 2006 年的太阳能年生产量（精确到 0.1 兆瓦） （2）已知 2006 年太阳能年安装量为 1420 兆瓦，在此后的 4 年里年生产量保持 42%的增长 C B 1B 1A A 1C 率，若 2010 年的年安装量不少于年生产量的 95%，求 4 年内年安装量的增长率的最小值（精 确到 0.1%） 【解析】（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36 ， %38 ， %40 ， %42 ． 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670  (兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则 4 4 1420(1 ) 95%2499.8(1 42%) x  ≥ ．解得 0.615x≥ ． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 %5.61 ． 19、已知函数   2 ( 0, )af x x x a Rx     （1）判断  f x 的奇偶性 （2）若  f x 在 2, 是增函数，求实数 a 的范围 【解析】（1）当 0a 时， 2)( xxf  ， 对任意 ( 0) (0 )x    ， ， ， )()()( 22 xfxxxf  ， )(xf 为偶函数． 当 0a 时， 2( ) ( 0 0)af x x a xx    ， ， 取 1x ，得 ( 1) (1) 2 0 ( 1) (1) 2 0f f f f a        ， ， ( 1) (1) ( 1) (1)f f f f     ， ， 函数 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设 1 22 x x≤ ， 2 2 2 1 2 121 )()( x axx axxfxf   axxxxxx xx  )()( 2121 21 21 ， 要使函数 )(xf 在 [2 )x  ， 上为增函数，必须 0)()( 21  xfxf 恒成立． 1 2 1 20 4x x x x   ， ，即 )( 2121 xxxxa  恒成立． 又 421  xx ， 16)( 2121  xxxx ． a 的取值范围是 ( 16] ， ． 解法二：当 0a 时， 2)( xxf  ，显然在[2 ) ， 为增函数． 当 0a 时，反比例函数 x a 在[2 ) ， 为增函数， x axxf  2)( 在[2 ) ， 为增函数． 当 0a 时，同解法一． 20、若有穷数列 1 2, ... na a a （ n 是正整数），满足 1 2 1 1, ....n n na a a a a a   即 1i n ia a   （i 是正整数，且1 i n  ），就称该数列为“对称数列”。 （1）已知数列 nb 是项数为 7 的对称数列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成等差数列， 1 42, 11b b  ， 试写出 nb 的每一项 （2）已知 nc 是项数为  2 1 1k k  的对称数列，且 1 2 1, ...k k kc c c  构成首项为 50，公差 为 4 的等差数列，数列 nc 的前 2 1k  项和为 2 1kS  ，则当 k 为何值时， 2 1kS  取到最大值？ 最大值为多少？ （3）对于给定的正整数 1m  ，试写出所有项数不超过 2m 的对称数列，使得 2 11,2,2 ...2m 成为数列中的连续项；当 1500m  时，试求其中一个数列的前 2008 项和 2008S 【解析】（1）设 nb 的公差为 d ，则 1132314  ddbb ，解得 3d ，  数列 nb 为 2 5 8 11 8 5 2，，， ，，， ． （2） 12112112   kkkkk ccccccS  kkkk cccc   )(2 121  ， 50134)13(4 22 12  kS k ，  当 13k 时， 12 kS 取得最大值． 12 kS 的最大值为 626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m   ，， ， ， ， ， ， ， ，，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m    ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，； ③ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2m m m m    ， ， ， ，，，， ， ， ， ； ④ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 1 2 2 2 2m m m m    ， ， ， ，，，，， ， ， ， ． 对于①，当 2008m≥ 时， 122221 200820072 2008  S ． 当1500 2007m ≤ 时， 20092212 2008 222221   mmmmS  200921 2212   mmm 1222 200921   mmm ． 对于②，当 2008m≥ 时， 122008 2008 S ． 当1500 2007m ≤ 时， 2008S 122 200821   mm ． 对于③，当 2008m≥ 时， 2008 2008 22  mmS ． 当1500 2007m ≤ 时， 2008S 322 2009  mm ． y O 1A 2B 2A 1B . . . M 1F 0F 2F x 对于④，当 2008m≥ 时， 2008 2008 22  mmS ． 当1500 2007m ≤ 时， 2008S 222 2008  mm ． 21、已知半椭圆   2 2 2 2 1 0x y x a b    与半椭圆   2 2 2 2 1 0y x x b c    组成的曲线称为“果圆”， 其中 2 2 2 , 0, 0a b c a b c     。如图，设点 0F ， 1F ， 2F 是相应椭圆的焦点， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 是“果圆” 与 x ， y 轴的交点， （1）若三角形 0 1 2F F F 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若 1 1A A B B ，求 b a 的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ，使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，说明理由。 【解析】（1）    2 2 2 2 0 1 2( 0) 0 0F c F b c F b c  ， ， ， ， ， ，  2 2 2 2 2 0 2 1 21 2 1F F b c c b F F b c        ， ， 于是 2 2 2 23 7 4 4c a b c   ， ，所求“果圆”方程为 2 24 1 ( 0)7 x y x  ≥ ， 2 24 1 ( 0)3y x x  ≤ （2）由题意，得 bca 2 ，即 abba  222 ． 2222)2( acbb  ， 222 )2( abba  ，得 5 4 a b ． 又 2 1, 2 2 2222  a bbacb ． 2 4 2 5 b a       ， ． （3）设“果圆”C 的方程为 2 2 2 2 1 ( 0)x y xa b   ≥ ， 2 2 2 2 1 ( 0)y x xb c   ≤ ． 记平行弦的斜率为 k ． 当 0k 时，直线 ( )y t b t b  ≤ ≤ 与半椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y xa b   ≥ 的交点是 P 2 21 ta tb       ， ，与半椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)y x xb c   ≤ 的交点是Q 2 21 tc tb        ， ．  P Q， 的中点 M ( )x y， 满足 2 21 ,2 a c tx b y t        ， 得 1 2 2 2 2 2        b y ca x ．  ba 2 ， 2 2 2 2 02 2 2 a c a c b a c bb            ． 综上所述，当 0k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 当 0k 时 ， 以 k 为 斜 率 过 1B 的 直 线 l 与 半 椭 圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y xa b   ≥ 的 交 点 是 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2ka b k a b b k a b k a b       ， ． 由此，在直线l 右侧，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 x ka by 2 2  上， 即不在某一椭圆上． 当 0k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．