【数学】2020届一轮复习（文）人教A版综合检测三
综合检测三(标准卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合A＝{2,3，a}，B＝{3，a2}，若A∩B＝{3，a}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．0或1
答案 D
解析 (特值法)通过观察题干和选项，取a＝0，则A＝{2,3,0}，B＝{3,0}，A∩B＝{3,0}，排除B，C；取a＝1，则A＝{2,3,1}，B＝{3,1}，A∩B＝{3,1}，排除A.故选D.
2．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D.
答案 C
解析 若复数z＝＝＋i为纯虚数，则＝0，且≠0，即a＝1，故选C.
3．下列说法中正确的是( )
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sin α＝”的否命题是“若α≠，则sin α≠”
答案 D
解析 若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)＝x2，所以A错误；若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q
是假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，所以D正确．
4．已知sin＝cos，则cos 2α等于( )
A．1 B．－1
C. D．0
答案 D
解析 ∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝－cos α，
∴tan α＝＝－1，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝
＝＝0.
5．下列四个图中，函数y＝的图象可能是( )
答案 C
解析 ∵y＝是奇函数，其图象向左平移1个单位所得图象对应的函数解析式为y＝，
∴y＝的图象关于(－1,0)中心对称，故排除A，D，当x＜－2时，y＜0恒成立，排除B.
6．已知非零向量a，b，则使得|a－b|＝|a|＋|b|成立的一个充分不必要条件是( )
A．a∥b B．a＋2b＝0
C.＝ D．a＝b
答案 B
解析 |a－b|＝|a|＋|b|成立，其充要条件是向量a，b共线且方向相反．当a＋2b＝0时，a＝－2b，|a－b|＝|a|＋|b|成立；反之，不成立．
7．实数x，y满足则z＝|x－y|的最大值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析
由题意画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令m＝y－x，则m为直线l：y＝x＋m在y轴上的截距，由图知在点A(2,6)处m取最大值4，在C(2,0)处取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z∈[0,4]，即z的最大值是4，故选B.
8．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案 D
解析 在等差数列中，a1＋a2＝x＋y；
在等比数列中，xy＝b1b2.
∴＝
＝＝＋＋2.
当xy>0时，＋≥2，故≥4；
当xy<0时，＋≤－2，故≤0.故选D.
9．已知0
logbb＝1，又>1，所以<＝0.
综上得0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为( )
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 D
解析 ∵＝－，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，
即2－＝0，∴||＝||＝c，
在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.
∵||＝||，∴可设||＝λ，||＝λ(λ>0)，得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，∴||＝c，||＝c，∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，∴双曲线的离心率e＝＝＋1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．
答案
解析 如图，
以AB为直径作圆，则圆在正方形ABCD内的区域为半圆，其面积S＝×π×12＝，满足条件∠AMB>90°的点M在半圆内，故所求概率P＝＝＝.
14.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的S＝________.
答案 i<7？(i≤6？) a1＋a2＋…＋a6
解析 由题意知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知判断框应填i<7？或i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的S＝a1＋a2＋…＋a6.
15．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．
答案 55%
解析 后两个小组的频率为
(0.037 5＋0.087 5)×2＝0.25，
所以前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，
又前3个小组的面积比为1∶2∶3，
即前3个小组的频率比为1∶2∶3，
所以第三小组的频率为×0.75＝0.375，
第四小组的频率为0.087 5×2＝0.175，
所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55＝55%.
16．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是__________．
答案 (2＋2，＋∞)
解析 设点(m，n)(m>0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.
若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程组有两个不等的正实数根，得
解得k>2＋2.
故实数k的取值范围是(2＋2，＋∞)．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知数列中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜.
证明 (1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，
∴－＝2，
∴数列构成以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)·2＝2n－1，
∴Sn＝(n∈N*)．
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝＋＋＋…＋
＝
＝＜.
18．(12分)如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝2，AC＝BC，F是AB上一点，且AF＝AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上，如图2.
(1)求证：AD⊥平面BCE；
(2)求证：AD∥平面CEF.
证明 (1)由题意知，AD⊥BD.
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD.
∵BD∩CE＝E，BD，CE⊂平面BCE，
∴AD⊥平面BCE.
(2)在Rt△ABD中，AB＝2，
AD＝，∴BD＝3.
如图，连接AE.
在Rt△ACE和Rt△BCE中，
AC＝BC，CE＝CE，
∴Rt△ACE≌Rt△BCE(HL)，
∴AE＝BE.
设DE＝x，则AE＝BE＝3－x.
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，
∴3＋x2＝(3－x)2，解得x＝1，∴BE＝2.
∴＝＝，∴AD∥EF，
∵AD⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴AD∥平面CEF.
19．(12分)甲、乙两个班级共有105名学生，某次数学考试按照“大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀”的原则统计成绩后，得到如下2×2列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
已知从甲、乙两个班级中随机抽取1名学生，其成绩为优秀的概率为.
(1)请完成上面的2×2列联表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为成绩与班级有关系？
(3)按下面的方法从甲班成绩优秀的学生中抽取1名学生：
把甲班成绩优秀的10名学生从2至11进行编号，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的编号，求抽到6号或10号的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
解 (1)设甲、乙两个班级数学考试成绩优秀的总人数为x，则＝，解得x＝30.得到如下2×2列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
总计
30
75
105
(2)根据列联表中的数据，得到
K2＝≈6.109>3.841，
因此，可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为成绩与班级有关系．
(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数记为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，
所以P(A)＝＝.
20．(12分)设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解 对f(x)求导得f′(x)＝ex·. ①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0－1，此时－11时，(k－1)＋(2k－1)<5，
得k<，此时1
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