【数学】2020一轮复习北师大版（理）55　分类加法计数原理与分步乘法计数原理作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）55　分类加法计数原理与分步乘法计数原理作业

课时规范练55　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固组 ‎1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)‎ ‎　　　　 　　　　　　 　　　　　‎ A.40 B.16 C.13 D.10‎ ‎2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是(　　)‎ A.56 B.65‎ C.‎5×6×5×4×3×2‎‎2‎ D.6×5×4×3×2‎ ‎3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有(　　)‎ A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 ‎4.(2018山西一模)某天的值日工作由4名同学负责,且其中1人负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责拖地,则不同的分工共有(　　)‎ A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 ‎5.(2018北京一零一中学3月模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(　　)‎ A.A‎6‎‎2‎‎×‎A‎5‎‎4‎种 B.A‎6‎‎2‎×54种 C.C‎6‎‎2‎×54种 D.C‎6‎‎2‎‎×‎A‎5‎‎4‎种 ‎6.(2018辽宁丹东模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为(　　)‎ A.12 B.24‎ C.48 D.60‎ ‎7.(2018黑龙江牡丹江)将数字1,2,3,4,填入下面的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同的填表方式共有(　　)种 A.432 B.576‎ C.720 D.864‎ ‎8.(2018新疆乌鲁木齐二诊)有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一起,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法种数有　　　(用数字作答). ‎ ‎9.若甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有　　　　　种. ‎ ‎10.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎11.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　)‎ A.24 B.18 C.12 D.6‎ ‎12.(2018内蒙古赤峰模拟)把2支相同的晨光签字笔,3支相同的英雄钢笔,全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有(　　)‎ A.24种 B.28种 C.32种 D.36种 ‎13.(2018天津模拟)将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为(　　)‎ A.180 B.192‎ C.204 D.264‎ ‎14.如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为　　　　　. ‎ ‎15.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是　　　　　. ‎ ‎16.(2018浙江宁波模拟)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有　　　种(请用数字作答). ‎ 创新应用组 ‎17.对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方法有(　　)‎ A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 ‎18.如图,在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★,则含有★的平行四边形共有　　　　　个.(用数字作答) ‎ 参考答案 课时规范练55　分类加法计数原 理与分步乘法计数原理 ‎1.C　分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;‎ 第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.‎ 根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.‎ ‎2.A　6名同学中的每一名同学都可以从5个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是56.故选A.‎ ‎3.D　按A→B→C→D的顺序分四步着色,共有4×3×2×2=48种不同的着色方法.‎ ‎4.B　方法数有C‎4‎‎1‎C‎3‎‎1‎=12种.故选B.‎ ‎5.C　因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C‎6‎‎2‎种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有C‎6‎‎2‎×54种情况,故选C.‎ ‎6.C　先从4组2张连号票,比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中取出一组,分给甲、乙两人,共有C‎4‎‎1‎A‎2‎‎2‎=8种,其余的3张票随意分给剩余的3人,共有A‎3‎‎3‎=6种方法,根据分步乘法计数原理可知,共有8×6=48种不同的分法,故选C.‎ ‎7.B　对符合题意的一种填法如图,行交换共有A‎4‎‎4‎=24种,列交换共有A‎4‎‎4‎=24种,所以根据分步乘法计数原理得到不同的填表方式共有24×24=576种,故选B.‎ ‎8.36　根据题意,先排除甲后的其余4人进行排列,因为乙、丙两位同学要站在一起,故将乙、丙“捆绑”再与其余2人进行全排,共有A‎3‎‎3‎A‎2‎‎2‎=12种不同的排法,再将甲插空,由于甲不能和乙站在一起,故甲有3种插法,所以根据分步乘法计数原理,不同的站法有12×3=36种.故答案为36.‎ ‎9.24　分步完成,首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法;其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法;最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法.于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种).‎ ‎10.36　另两边长用x,y(x,y∈N+)表示,不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.‎ 所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.‎ ‎11.B　三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个).故由分类加法计数原理,可知共有奇数12+6=18(个).故选B.‎ ‎12.B　第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况下的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人,有4种分法,将剩余的2支钢笔, 1支签字笔分给剩余3名同学,有3种分法,共有3×4=12种不同的分法;‎ 第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况下的分法有:先将两支签字笔分给一个人,有4种情况,将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共有4×1=4种不同的分法;‎ 第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法有:先将两支钢笔分给一个人,有4种情况,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,那共有3×4=12种不同的分法.‎ 综上所述,总共有12+4+12=28种不同的分法.故选B.‎ ‎13.C　根据题意,分3种情况讨论:‎ ‎①个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C‎5‎‎2‎=10种情况,‎ 将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A‎3‎‎3‎=6种情况,‎ 则此时有10×6=60个偶数,‎ ‎②个位数字为2,0不能在首位,有4种情况,‎ 在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C‎4‎‎2‎=6种情况,‎ 将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A‎2‎‎2‎=2种情况,‎ 则此时有4×6×2=48个偶数,‎ ‎③个位数字为4,0不能在首位,有4种情况,‎ 将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A‎4‎‎4‎=24种情况,则此时有4×24=96个偶数.共有60+48+96=204个不同的偶数;故选C.‎ ‎14.72　因为区域1与其他4个区域都相邻,首先考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:‎ 第一类,区域2,4同色,有3种涂法,此时区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;‎ 第二类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种涂法,再涂区域4,有2种涂法,此时区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.‎ 根据分类加法计数原理知,共有48+24=72种满足条件的涂色方法.‎ ‎15.20　根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,‎ 第一类,当中间数字为3时,此时有2种(132,231);‎ 第二类,当中间数字为4时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A‎3‎‎2‎=6种;‎ 第三类,当中间数字为5时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A‎4‎‎2‎=12种;‎ 根据分类加法计数原理知,由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.‎ ‎16.52　因为24=6×4×1×1=6×2×2×1=4×3×2×1=3×2×2×2,对于上述四种情形掷这四个骰子时,分别有A‎4‎‎2‎=12,C‎4‎‎1‎×C‎3‎‎2‎=12,A‎4‎‎4‎=24,C‎4‎‎1‎=4种情形,综上共有12+12+24+4=52种情形.‎ ‎17.B　依题意,符合要求的编号方法为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个.‎ ‎①当乙的编号为“1”时,其他人的编号如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 乙 甲 丁 丙 乙 丙 丁 甲 乙 丁 甲 丙 ‎　　显然,此时有3种不同的编号方法;‎ ‎②当丙的编号为“1”时,其他人的编号如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 丙 甲 丁 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 乙 甲 ‎　　显然,此时有3种不同的编号方法;‎ ‎③当丁的编号为“1”时,其他人的编号如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 丁 甲 乙 丙 丁 丙 甲 乙 丁 丙 乙 甲 ‎　　显然,此时有3种不同的编号方法.‎ 由分类加法计数原理,知不同的编号方法有3+3+3=9(种).‎ ‎18.48　含有★的平行四边形的左上角的顶点有4种可能,右下角的顶点有12种可能.由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形,所以共有48个含有★的平行四边形.‎