【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-5-1椭 圆学案
§9.5 椭 圆
最新考纲
考情考向分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．
2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．
3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．
提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？
提示 直线与椭圆的位置关系有三种的方程：相离、相切、相交．
判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.
(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.
(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.
(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8 C．4或8 D．12
答案 C
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三 易错自纠
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
答案 C
解析 由方程表示椭圆知
解得－3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，
∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选A.
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
答案 C
解析 由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A. B. C. D．4
答案 A
解析 F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，
∴P，∴|PF1|＝，
∴|PF2|＝4－＝.
4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
命题点2 待定系数法
例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，即＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，
∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是____．
答案
解析 因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1.②
联立①②，得≤e<.
命题点2 求参数的值(或范围)
例4 (2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，
则03时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(0b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案
解析 由已知条件易得B，C，F(c，0)，所以＝，＝
，由∠BFC＝90°，可得·＝0，所以·＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝.
(3)(2018·阜新模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴离心率0b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 依题意可知，c＝b，又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3．(2018·重庆检测)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．120° C．150° D．30°
答案 B
解析 ∵椭圆＋＝1中，a2＝9，b2＝2，
∴a＝3，b＝，c＝＝，
可得F1(－，0)，F2(，0)．
根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
结合|PF1|＝4，得|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，根据余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
∴(2)2＝42＋22－2×4×2cos∠F1PF2，
解得cos∠F1PF2＝－.
结合三角形的内角，可得∠F1PF2＝120°.故选B.
4．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，
所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.
5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．8 B．10 C．12 D．15
答案 D
解析 由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而＝－，所以||＝|
－|，两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，
所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.
6．(2018·营口调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 D
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．故选D.
7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
8．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________．
答案 ＋＝1
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为______．
答案
解析 联立
两式相减得＝，又a≠b，
所以x2＝y2＝，
故四边形ABCD为正方形，＝，(*)
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝.
10．已知A，B，F分别是椭圆x2＋＝1(00，则椭圆的离心率的取值范围为______________．
答案
解析 如图所示，
线段FA的垂直平分线为x＝，线段AB的中点为.
因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝.
把x＝＝p代入上述方程可得
y＝＝q.
因为p＋q>0，所以＋>0，
化为b>.
又0|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－
C. D.
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
∴椭圆离心率e＝＝－1.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
15．椭圆C1：＋＝1的离心率为e1，双曲线C2：－＝1的离心率为e2，其中，a>b>0，＝，直线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 椭圆C1：＋＝1的离心率e1＝＝，双曲线C2：－＝1的离心率e2＝＝，
由＝，得＝，
则a＝b，由
得3x2＋12x＋18－2b2＝0，
由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，
则a2＝6，∴椭圆C1的方程为＋＝1，故选C.
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围．
解 由＝得＝.又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，|PF1|＝，因为PF2是△PF1F2的一边，所以有2c－<<2c＋，即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0
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