【数学】2018届一轮复习人教A版第九章 平面解析几何学案
第九章 平面解析几何)
第1课时 直线的倾斜角与斜率(对应学生用书(文)120～121页、(理)125～126页)
了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) .对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围．理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
1. (原创)设m为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________．
答案：90°
解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为.
2. (必修2P80第1题改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
解析：由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
3. (原创)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围是________．
答案：－2＜a＜1
解析：tan α＝＝.由＜0，得－2＜a＜1.
4. (必修2P80练习6改编)若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
答案：
解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得m＝.
5. (必修2P80练习4改编)若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率为________．
答案：－
解析：设直线上任一点为(x，y)，平移后的点为(x－2，y＋3)，利用斜率公式得直线l的斜率为－.
1. 直线倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
2. 直线斜率的定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即k＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．
3. 过两点的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，当x1≠x2时，斜率公式为k＝tan_α＝，该公式与两点的顺序无关；当x1＝x2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．
[备课札记]
, 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系)
, 1) 如果三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．
答案：α1＜α2＜α3
解析：由tan α1＝k1＝1>0，所以α1∈.tan α2＝k2＝－<0，所以α2∈，α2>α1.tan α3＝k3＝－<0，
所以α3∈，α3>α1，而－<－，正切函数在上单调递增，所以α3>α2.
综上，α1<α2<α3.
变式训练
已知直线的倾斜角α满足cos α＝－，则此直线的斜率是__________．
答案：－
解析：由题意知cos α＝－，又0°≤α<180°，∴ sin α＝，∴ k＝tan α＝＝－.
, 2 求直线的倾斜角和斜率)
, 2) 已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．
解：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知tan 2α＝，∴ ＝.
整理得3tan2α＋8tan α－3＝0，
解得tan α＝或tan α＝－3.
∵ tan 2α＝>0，
∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，
故直线l的斜率为.
变式训练
若直线l经过点A(1，2)，且倾斜角是直线y＝x＋3的倾斜角的2倍，则直线l的方程为____________．
答案：x＝1
解析：直线y＝x＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线的倾斜角为2α＝90°，所以直线l的方程为x＝1.
, 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围)
, 3) 求直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围．
解：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
因为α∈[，]，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.
变式训练
若直线mx＋y＋1＝0与连结点A (－3，2)，B (2，3)的线段相交，求实数m的取值范围．
解：直线的斜率为k＝－m，且直线经过定点P(0，－1)，因为直线PA，PB的斜率分别为－1，2，所以斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，即实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
1. 直线x＋y－1＝0 的倾斜角的大小是__________．
答案：150°
解析：由直线方程可知其斜率为－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，因为0°≤θ
<180°，所以θ＝150°.
2. 直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是__________．
答案：∪
解析：由直线的方程可知其斜率k＝－∈.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈，且θ∈[0，π)，所以θ∈∪.
3. 已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，求z＝的最大值与最小值．
解：表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率．
如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝.所以zmax＝，zmin＝.
4. 已知直线kx＋y－k＝0与射线3x－4y＋5＝0(x≥－1)有交点，求实数k的取值范围．
解：kx＋y－k＝0k(x－1)＋y＝0，直线系过定点(1，0)斜率k′＝－k，可画图看出k′∈(，＋∞)∪，∴ k∈∪.(或者由两直线方程联立，消去y得x＝≥－1，即≥0k≥或k＜－)
1. 已知x轴上的点P与点Q(－，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P的坐标为________．
答案：(－2，0)
解析：设P(x，0)，由题意kPQ＝tan 30°＝，即＝，解得x＝－2，故点P的坐标为(－2，0)．
2. 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则它们的大小关系为________．
答案：k1＜k3＜k2
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
3. 如果直线a经过P(1，m2)，Q (2，1) (m∈R)两点，那么直线a的倾斜角的取值范围是______________．
答案：∪
解析：依题意得kPQ＝＝1－m2≤1，由正切函数图象知，直线的倾斜角的取值范围是∪.
4. 已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1，1)，(2，2)．若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．
解：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，kAP＝＝－2，
kAQ＝＝，
则－≥或－≤－2.
∴ －≤m≤且m≠0.
又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴ 所求m的取值范围是.
1. 求斜率要熟记斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
[备课札记]
第2课时 直线的方程(对应学生用书(文)122～123页、(理)127～128页)
掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1. (必修2P85练习2改编)直线x＝1的倾斜角为________．
答案：90°
解析：x＝1垂直于x轴，倾斜角为90°.
2. (必修2P87练习4改编)已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过________象限．
答案：一、三、四
解析：y＝－x＋，k＝－>0，<0.
3. (必修2P87练习3改编)直线－＝1在y轴上的截距是________．
名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线x＝x0
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
平面直角坐标系内的直线都适用
答案：－b2
解析：令x＝0，则y＝－b2.
4. (必修2P85练习4改编)下列说法的正确的是________．(填序号)
① 经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；
② 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；
③ 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；
④ 经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
答案：④
解析：斜率有可能不存在，截距也有可能为0.
5. (必修2P73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y轴上的截距与直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距相等，则该直线的方程是________．
答案：3x－y－1＝0
解析：直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为＝，即3x－y－1＝0.
1. 直线方程的五种形式
2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
(1) 若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1．
(2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1．
(3) 若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0．
(4) 若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0．
(5) 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系如下表：
3. 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则
此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
α
0°
(0°，90°)
90°
(90°，180°)
k
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
, 1 求直线方程)
, 1) 求经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
解：(解法1)设直线l在x轴、y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，此时直线l的方程为y＝x；
若a≠0，设l的方程为＋＝1，因为l过点P(3，2)，所以＋＝1，解得a＝5，此时l的方程为x＋y－5＝0.
综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(解法2)由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知得3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.
所以y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
变式训练
求过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
解：由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
, 2 含参直线方程问题)
, 2) 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1) 证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解之得
∴ 无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2) 解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(3) 解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵ S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴ Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.
变式训练
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．
, 3 直线方程的综合应用)
, 3) 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m
，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示建立直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
∴ 线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝PQ·PR＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，∴ n＝20.
∴ S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
∴ 当m＝5时，S有最大值，
这时＝＝5.
∴ 当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
过点P(4，1)，作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．
(1) 当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以＋＝1.
(1) ＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2) 因为＋＝1，a＞0，b＞0，所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当OA＋OB最小时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
1. 若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1 在x轴上的截距为1，则实数m的值是________．
答案：2或－
解析：令y＝0则(2m2＋m－3)x＝4m－1，∴ x＝＝1，∴ m＝2或－.
2. 直线x＋a2y－a＝0(a＞0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a＝__________．
答案：1
解析：方程可化为＋＝1，因为a＞0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
3. 已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．当OA＋OB取得最小值时，直线l的方程是____________．
答案：x＋y－2＝0
解析：设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，直线l的方程为＋＝1，则OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
4. 过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．
解：设所求直线l的方程为＋＝1，
∵ 直线l过点A(－5，－4)，∴ ＋＝1，
即4a＋5b＝－ab.又由已知有|a|·|b|＝5，
即|ab|＝10，解方程组
得或
故所求直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
5. 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：
(1) △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2) BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1) 平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0，
化为截距式方程为－＝1.
(2) 因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.
1. 若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
答案：m≠1
解析：2m2＋m－3，m2－m不能同时为0.
2. 若直线(2t－3)x＋2y＋t＝0不经过第二象限，则t的取值范围是________．
答案：0≤t≤
解析：直线方程可化为y＝x－，由题意得解得0≤t≤.
3. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
答案：(－2，3)
解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得
(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
则得
4. 直线l过点P(－1，1)且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为______________．
答案：2x＋y＋1＝0
解析：如图所示，由直线l，l′与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形可知：l与l′的倾斜角互补，从而可知其斜率互为相反数，由l′的方程知其斜率为2，从而l的斜率为－2，又过点P(－1，1)，则由直线方程的点斜式，得y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
5. 已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程．
解：由题意，知P(2，3)在已知直线上，
∴
∴ 2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－.
∴ 所求直线方程为y－b1＝－(x－a1)．
∴ 2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，
应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．
2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
[备课札记]
第3课时 直线与直线的位置关系(对应学生用书(文)124～126页、(理)129～131页)
能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用．
① 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.② 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.③ 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1. (必修2P93练习5改编)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为________．
答案：－8
解析：k＝＝－2，m＝－8.
2. (必修2P93练习6改编)过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为______________．
答案：2x＋y－1＝0
解析：设直线方程为2x＋y＋c＝0，又直线过点P(－1，3)，则－2＋3＋c＝0，c＝－1，即所求直线方程为2x＋y－1＝0.
3. (必修2P95练习4改编)三条直线x－y＋1＝0，2x＋y－4＝0，ax－y＋2＝0共有两个交点，则a的值为________．
答案：1或－2
解析：由题意知直线ax－y＋2＝0与另两条直线中的一条平行，可得a＝1或－2.
4. (必修2P105习题6改编)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
答案：3
解析：的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝＝3.
5. (必修2P106习题10改编)与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是____________．
答案：7x＋24y＋70＝0，或7x＋24y－80＝0
解析：设直线方程为7x＋24y＋c＝0，则d＝＝3，∴ c＝70或－80.
1. 两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0时，≠)
垂直
k1＝－或k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0(当B1B2≠0时，·＝－1）
平行
k1＝k2且b1≠b2
或(当A2B2C2≠0，记为＝≠)
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)(当A2B2C2≠0，记为＝＝)
2. 两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解．若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．
3. 几种距离
(1) 两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：
d(A，B)＝AB＝.
(2) 点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3) 两条平行线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
, 1 两直线的平行与垂直)
, 1) 已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1) l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1) ∵ l1⊥l2，∴ a(a－1)－b＝0.
∵ 直线l1过点(－3，－1)，
∴ －3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2) ∵ 直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴ 直线l1的斜率存在．∴ k1＝k2，即＝1－a.
∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴ l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
变式训练
求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程．
(1) 与直线2x＋y＋5＝0平行；
(2) 与直线2x＋y＋5＝0垂直．
解：联立方程组
解得即M(－1，2)．
(1) 设所求直线的斜率为k，则k＝－2，
故所求直线方程为y－2＝－2×(x＋1)，即2x＋y＝0.
(2) 设所求直线的斜率为k，则－2×k＝－1，即k＝，故所求直线方程为y－2＝×(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
, 2 两直线的交点)
, 2) 已知△ABC的顶点B(3，4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求AC的长．
解：∵ kCE＝ －，AB⊥CE，
∴ kAB＝， 直线AB的方程为3x－2y－1＝0.
由解得A(1，1)，
设C(a，b), 则D，
∵ C点在CE上，BC的中点D在AD上，
∴ 得C(5，2)，
由两点间距离公式得AC的长为.
变式训练
已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，
∴ lAC：2x＋y－11＝0.
联立lAC，lCM得∴ C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴ ∴ B(－1，－3)，
∴ kBC＝，
∴ 直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
, 3 点到直线及两平行直线之间的距离)
, 3) 已知点P(2，－1)．
(1) 求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2) 求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3) 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：(1) 过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，
可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2) 作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
(3) 由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
过点P(3，0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
解：设点A(x，y)在l1上，
由题意知∴ 点B(6－x，－y)，
将A、B坐标代入直线l1、l2方程得
得∴ k＝
＝8.
∴ 所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
, 4 对称问题)
, 4) 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2) 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3) 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得
解得
∴ A′.
(2) 在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，
则
解得M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
∵ m′经过点N(4，3)，
∴ 由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3) 设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵ P′在直线l上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解：在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
解得
∴ M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由得N(4，3)．
∵ m′经过点N(4，3)．
∴ 由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
1. (2016·上海卷文)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为__________．
答案：
解析：利用两平行线间距离公式得d＝＝＝.
2. 将一张坐标纸折叠一次，使点(0，2)与点(4，0)重合，且点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n的值是________．
答案：
解析：点(0，2)与点(4，0)关于y－1＝2(x－2)对称，则点(7，3)与点(m，n)也关于y－1＝2(x－2)对称，则得∴ m＋n＝.
3. 若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．
答案：－
解析：由于直线l与经过点(－2，1
)且斜率为－的直线垂直，可知a－2≠－a－2，即a≠0，∵ kl＝＝－，∴ －·＝－1，得a＝－.
4. 已知直线l1：y＝2x＋3，l2与l1关于直线y＝－x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是__________．
答案：－2
解析：由题意，l2：－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0，k2＝，则k3＝－2.
5. △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1，2)，求BC边所在直线的方程．
解：可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，
则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为
y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，
即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.
由得B(7，－7)，
由得C(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.
1. 已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________．
答案：0或
解析：由题意得
解得或经检验，两种情况均符合题意，
∴ a＋b的值为0或.
2. 若过点P(1，2)作一直线l，使点M(2，3)和点N(4，－1)到直线l的距离相等，则直线l的方程为____________．
答案：2x＋y－4＝0或x＋2y－5＝0
解析：当直线l经过MN的中点时，其方程为x＋2y－5＝0；当过M、N两点的直线平行于直线l时，直线l的方程为2x＋y－4＝0.
3. 已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是____________
答案：
解析：(1) 由方程组解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴ 交点坐标为.
∵ 交点位于第一象限，
∴ 解得－＜k＜.
∴ 实数k的取值范围是.
4. 从点(2，3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，经y轴反射的光线所在的直线方程为______________．
答案：x＋2y－4＝0
解析：由题意得，射出的光线方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0，2)．又(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线所在直线过点(0，2)，(－2，3)，故所求直线方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0.
1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．
2. 运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．
3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．
[备课札记]
第4课时 圆 的 方 程(对应学生用书(文)127～128页、(理)132～133页)
了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程．
能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化．
1. (必修2P100习题2改编)已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．
答案：5
解析：直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8，0)，B(0，6)．由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5.
2. (必修2P100习题2改编)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为____________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，即圆心为(2，－3)，r＝.
3. (必修2P100习题2改编)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的一般方程为____________．
答案：x2＋y2－4x＝0
解析：设圆心为(a，0)，其中a>0，由＝2得a＝2.所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，一般方程为x2＋y2－4x＝0.
4. (必修2P100习题7改编)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，即>，所以原点在圆外．
5. (原创)实数x，y满足x2＋(y＋3)2＝4，则(x－3)2＋(y－1)2的最大值为________．
答案：49
解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋3)2＝4上动点(x，y)到点(3，1)距离d的平方，因为圆心(0，－3)到点(3，1)的距离为5，所以d的最大值为5＋2＝7，所以d2的最大值为49.
1. 圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2. 圆的标准方程
(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2) 特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r．
3. 圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为
＋＝.
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点；
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．
4. 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．
(2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)20,
∴ D2＋E2－4F>0,
∴ 曲线C是一个圆， 设圆心坐标为(x，y), 则由
消去m得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上．
, 3 圆方程的应用)
, 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北100 m的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，100 m为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上(点P，Q分别在点O的正东，正北)，且要求PQ与圆A相切．
(1) 当P距O处200 m时，求OQ的长；
(2) 当公路PQ长最短时，求OQ的长．
解：以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系．
设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2＋(y－1)2＝1.
(1) 由题意可设Q(0，q)，则直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋2y－2q＝0(q>2)．
∵ PQ与圆A相切，
∴ ＝1，解得q＝，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米．
(2) 设P(p，0)，则直线PQ的方程为＋
eq f(y,q)＝1，即qx＋py－pq＝0(p>1，q>2)．
∵ PQ与圆A相切，∴ ＝1，化简得p2＝，则PQ2＝p2＋q2＝＋q2.
令f(q)＝＋q2(q>2)，
∴ f′(q)＝2q－＝(q>2)．
当2时，f′(q)>0，即f(q)在上单调递增，
∴ f(q)在q＝时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米．
答：(1) 当P距O处2百米时， OQ的长为百米；(2) 当公路PQ长最短时， OQ的长为百米．
变式训练
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1) 求y－x的最大值和最小值；
(2) 求x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1) y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，
当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2) x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是____________．
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则
解得
因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
1. (2016·浙江卷文)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是____________．
答案：(－2，－4) 5
解析：由题意a2＝a＋2，a＝－1或2.a＝－1时方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；a＝2时方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，＋(y＋1)2＝－不表示圆．
2. (2016·新课标Ⅱ文)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________．
答案：－
解析： 由x2＋y2－2x－8y＋13＝0配方得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1，4)，半径r＝2.因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，所以＝1，解得a＝－.
3. (2016·天津卷文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，) 在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__________．
答案：(x－2)2＋y2＝9
解析： 设C(a，0)(a>0)，则＝a＝2，r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
4. (2016·新课标Ⅰ文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点．若|AB|＝2，则圆C的面积为__________．
答案：4π
解析：由题意直线为x－y＋2a＝0，圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2.圆心到直线的距离d＝，所以|AB|＝2＝2＝2，解得a2＝2.故a2＋2＝r2＝4，所以S＝πr2＝4π.
5. (2016·宿迁期中)直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是__________．
答案：－2
解析：由圆x2＋y2－2ax＋a＝0的圆心(a，0)，半径的平方为a2－a，圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离的平方为a2＋1，由勾股定理得a2＋1＋1＝a2－a，解得a＝－2.
1. 如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为__________．
答案：(0，－1)
解析：当r2＝1－k2最大时，圆的面积最大，此时k＝0.
2. 光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．
答案：6－2
解析：圆心坐标为C(5，7)，半径为2，A(1，1)关于y轴的对称点为A1(－1，1)，∴ 最短路程为A1C－2＝6－2.
3. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
答案：(x－1)2＋y2＝2
解析：mx－y－2－1＝0直线过定点(2，－1)，由图形知：圆过点(2，－1)时，半径最大，此时半径为，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
4. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．
解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.故2|b|＝r，得r2＝2b2.
又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.
由P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，
得d＝＝，即有a－2b＝±1，
综上得或
解得或
于是r2＝2b2＝2.
所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
5. 已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M上的任意一点，求圆M的面积的最小值．
解：因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，
所以圆心O到直线的距离为＝，
所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.
设圆M的半径为r，
则r＝|PM|＝＝ ＝(2－b)，
又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，
所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.
1. 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1) 几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，直接写出圆的方程．常用到的圆的如下三个性质：
① 圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
② 圆心在任一弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
几何法体现了数形结合思想的运用．
(2) 代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．大致步骤为：
① 根据题意，选择标准方程或一般方程；
② 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③ 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
2. 解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1) 形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
第5课时 直线与圆的位置关系(对应学生用书(文)129～132页、(理)134～137页)
掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定，能将圆的几何性质和代数方法结合起来解决直线与圆、圆与圆相交或相切问题．
① 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.② 能利用相切关系求切线方程、切线长、确定参数的值或参数的取值范围.③ 能利用相交关系求割线方程、弦长、确定参数的值或参数的取值范围．
1. (必修2P103练习3改编)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为____________．
答案：x－y＋2＝0
解析：设切线方程为y－＝k(x－1)，由d＝r，可求得k＝.故切线方程为x－y＋2＝0.
2. (必修2P115习题5改编)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
答案：1或
解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1，1)，半径r＝1.由弦长为得，弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴ ＝，化简得7k2－24k＋17＝0，∴ k＝1或k＝.
3. (必修2P103练习2改编)已知直线ax＋by＝1与圆 O：x2＋y2＝1相离，则点M(a，b)与圆O的位置关系是________．
答案：点M在圆O内
解析：由题意知直线ax＋by＝1与圆 O：x2＋y2＝1相离，圆心到直线的距离d＝>1，则a2＋b2<1，故点M在圆O内．
4. (必修2P116练习2改编)圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．
答案：相交
解析：圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，所以C1C2＝，且2－1＜＜2＋1，所以两圆相交．
5. (必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是____________．
答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9
解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，此圆与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4相外切，所以＝2＋r，解得r＝3.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.
1. 直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆相交，有两个公共点；
(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；
(3) 直线与圆相离，无公共点．
2. 直线与圆的位置关系的判断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：
(1)几何方法
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，
dr直线与圆相离．
(2) 代数方法
由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ>0直线与圆相交；
Δ＝0直线与圆相切；
Δ<0直线与圆相离．
3. 圆与圆的位置关系及判断方法
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2) 判断两圆位置关系的方法
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|r，此时不满足直线与圆相交，故舍去．所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1) 若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1) 设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，
结合点到直线的距离公式得＝1k＝0或k＝－，所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2) 设点P(m，n)，直线l1，l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，
即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋＝0.
由题意可知圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，即＝，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.
因为关于k的方程有无穷多解，则有或解得或
故P或P.
, 2 直线与圆相交的弦的问题)
, 2) 已知圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．
(1) 当α＝时，求AB的长；
(2) 当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
解： (1) 当α＝时，kAB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
故圆心(0，0)到AB的距离d＝＝，
从而弦长AB＝2＝.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.
由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴ kAB＝＝.
∴ 直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1) 求证：△OAB的面积为定值；
(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
(1) 证明：∵ 圆C过原点O，且OC 2＝t2＋.
∴ 圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴ S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2) 解：∵ OM＝ON，CM＝CN，
∴ OC垂直平分线段MN.
∵ kMN＝－2，∴ kOC＝.∴ ＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴ t＝－2不符合题意，舍去．
∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
, 3 圆的切线问题)
, 3) 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．
(1) 若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；
(2) 若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．
解： (1) 圆M的圆心M(1，1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，
∴ kAM＝1.
∴ 直线AM的方程为y＝x.
由解得即A(3，3)．
如图，连结MP，
∵ ∠PAM＝∠PAQ，
sin ∠PAM＝＝＝，
∴ ∠PAM＝45°，∴ ∠PAQ＝90°.
(2) 过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，
∵ ∠DAE≥∠BAC，
∴ 要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要作∠DAE≥60°.
∵ AM平分∠DAE，∴ 只要30°≤∠DAM<90°.
类似于第(1)题，只要≤sin ∠DAM<1，
即≥且<1.
又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，
即点A横坐标的取值范围是[1，5]．
变式训练
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过M点的圆的切线方程；
(2) 若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3) 若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解：(1) 圆心C(1，2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.∴ 圆的切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2) 由题意得＝2，解得a＝0或a＝.
(3) ∵ 圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴ ＋＝4，解得a＝－.
, 4 定点、定值问题)
, 4) 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．
(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；
(2) 若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．
解：(1) ① 若直线l1的斜率不存在，即直线方程为x＝1，符合题意．
② 若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.
所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由得N.
又直线CM与l1垂直，由
得M.
所以AM·AN＝·＝·＝6为定值，
故AM·AN是定值，且为6.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.
(1) 若AC＝4，求直线CD的方程；
(2) 求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．
(1) 解：因为A(－3，4)，所以OA＝＝5.
因为AC＝4，所以OC＝1，所以C.
由BD＝4，得D(5，0)，
所以直线CD的斜率为＝－，
所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0.
(2) 证明：设C(－3m，4m)(06)，则动点P的轨迹是________．
答案：椭圆
解析：当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段．
2. 椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是__________．
答案：(－3，0)或(3，0)
解析：记椭圆的焦点为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25.显然当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，∴ 点P的坐标是(－3，0)或(3，0)．
3. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
答案：8
解析：由题知直线AB过椭圆的左焦点F1，在△F2AB 中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，∴ |AB|＝8.
4. 焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为________________．
答案：＋＝1
解析：由题意得c＝2，a＋b＝10，∴ b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1.
5. 点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为________．
答案：
解析：设P(xP，yP)，S△PF1F2＝×|F1F2|·|yP|＝×2×|yP|＝1，∴ |yP|＝1，yP＝±1，代入椭圆方程得xP＝±.
1. 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．
1. 椭圆的标准方程和几何性质
, 1 椭圆的定义及其应用)
, 1) 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.
则由圆相切的性质知，CO1＝1＋r，CO2＝9－r，
∴ CO1＋CO2＝10.
而O1O2＝6，
∴ 点C的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，其中2a＝10，2c＝6，b＝4.
∴ 动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
变式训练
求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2，0)，r＝6.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.
则BC－MC＝BM，而BC＝6，∴ BM＋CM＝6.
又CM＝AM，∴ BM＋AM＝6>AB＝4.
∴ 点M的轨迹是以点B(－2，0)，A(2，0)为焦点、线段AB中点(0，0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝.
∴ 所求轨迹方程为＋＝1.
, 2 椭圆的标准方程及其应用)
, 2) 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1) 长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2) 经过两点A(0，2)和B.
解：(1) 若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1 (a>b>0)．
∵ 椭圆过点A(3，0)，∴ ＝1，∴ a＝3.
又2a＝3·2b，∴ b＝1，∴ 方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1 (a>b>0)．
∵ 椭圆过点A(3，0)，∴ ＝1，∴ b＝3.
又2a＝3·2b，
∴ a＝9，∴ 方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2) 设经过两点A(0，2)，B的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，
将A，B坐标代入方程得
∴ 所求椭圆方程为x2＋＝1.
设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)上一点P(3，4)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，PF1⊥PF2，求椭圆的方程．
解：设F1(－c，0)，F2(c，0)，则kPF1＝，kPF2＝.
∵ PF1⊥PF2，∴ kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，c2＝a2－b2＝25.
又椭圆经过点P(3，4)，∴ ＋＝1.
联立方程组，解得a2＝45，b2＝20.
故所求的椭圆方程为＋＝1.
, 4 求椭圆离心率的值或取值范围)
, 4) 如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1) 若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；
(2) 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率．
解： (1) 因为点P(，1)，所以kOP＝.
因为AF⊥OP，－×＝－1，
所以c＝b，所以3a2＝4b2.
又点P(，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解得a2＝，b2＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由题意，直线AF的方程为＋＝1，与椭圆C的方程＋＝1联立消去y，得x2－＝0，解得x＝0或x＝，
所以Q点的坐标为，
所以直线BQ的斜率为kBQ＝＝.
由题意得＝，所以a2＝2b2，
所以椭圆的离心率e＝＝＝.
变式训练
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，P(x0，y0)为椭圆上一点，且PA⊥PF.
(1) 若a＝3，b＝，求x0的值；
(2) 若x0＝0，求椭圆的离心率．
解：(1) 因为a＝3，b＝，所以c2＝a2－b2＝4，即c＝2.
由PA⊥PF，得·＝－1，即y＝－x－x0＋6.
又＋＝1，所以4x＋9x0－9＝0，解得x0＝或x0＝－3(舍去)．
(2) 当x0＝0时，y＝b2，由PA⊥PF，得·＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，
所以e2＋e－1＝0.又0b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．
答案：
解析：直线AB2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，则它们的交点的横坐标满足－＝2，又x＝，得a2－ac＝2c2，即2e2＋e－1＝0，得e＝.
4. (2016·苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋
＝1(a＞b＞0)过点P，离心率为，则椭圆C的方程为____________．
答案：＋＝1
解析：由题意知＋＝1，＝，解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.
5. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积．
解：(1) 由＝，设a＝3k(k＞0)，则c＝k，b2＝3k2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即xA＝xB＝k，代入椭圆方程，解得y＝±k，即2k＝，解得k＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 将x＝代入＋＝1，解得y＝±1.
因为点A在第一象限，从而A(，1)，又点E的坐标为，
所以kAB＝，直线AE的方程为y＝，
联立直线AE与椭圆C的方程，解得B.
又PA过原点O，于是P(－，－1)，PA＝4，
所以直线PA的方程为x－y＝0，
所以点B到直线PA的距离h＝＝，S△PAB＝×4×＝.
【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)
若椭圆＋＝1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和．
学生错解：解：∵ 2c＝2，即c＝1，∴ m－4＝1，∴ a＝，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2.
错因分析： 本题考查了椭圆的定义及标准方程，易错原因是忽略椭圆焦点位置对参数的影响．当椭圆焦点位置不确定时，一般要分类讨论．
审题引导：(1) 椭圆的定义；(2) 椭圆中参数a，b，c满足a2－b2＝c2；(3) 焦点在x轴上与焦点在y轴上的椭圆的标准方程的区别．
规范解答： 解：∵ 2c＝2，即c＝1，(4分)
∴ 当焦点在x轴上时，m－4＝1，∴ a＝，(6分)
则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2；(8分)
同理，当焦点在y轴上时，4－m＝1，∴ b＝，a＝2，(10分)
则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，(12分)
∴ 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2或4.(14分)
1. 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是________．
答案：
解析：由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴ ＝.
2. 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为________．
答案：＋＝1
解析：因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，所以＝2c，整理得2e2＋e－1＝0，所以e＝，所以a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)，代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，得M(0，－c)，N，所以|MN|＝c＝16，所以c＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
3. 如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为，则该椭圆的标准方程为________．
答案：＋y2＝1
解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得DF1＝＝c，所以S△DF1F2＝DF1·F1F2＝
c2＝，故c＝1，所以DF1＝.由DF1⊥F1F2，得DF＝DF＋F1F＝，因此DF2＝，所以2a＝DF1＋DF2＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1，因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
4. 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
答案：
解析：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为.又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．
1. 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
2. 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．
3. 求椭圆的离心率的方法
(1) 直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2) 构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，
然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3) 通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[备课札记]
第7课时 椭 圆(2) (对应学生用书(文)136～140页、(理)141～145页)
根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
① 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.② 掌握椭圆的简单应用．
1. 若△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________________．
答案：＋＝1(y≠0)
解析：AB＝8，AC＋BC＝10>AB，故点C的轨迹为椭圆(去除左、右顶点)且两焦点为A，B.
2. 已知椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为________．
答案：
解析：由题意得b＝c，∴ a2＝b2＋c2＝2c2，e＝＝.
3. 已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．
答案：＋＝1
解析：∵ 2a＝18，∴ a＝9.由题意得2c＝×2a＝×18＝6，∴ c＝3，∴ a2＝81，b2＝a2－c2＝81－9＝72，故椭圆方程为＋＝1.
4. 已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是________．
答案：1
解析：设P(x，y)，依题意得F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2.∵ 0≤x2≤4，∴ －2≤x2－2≤1.∴ ·的最大值是1.
5. (原创)若椭圆＋＝1(a>b>0)的两条准线间的距离不大于焦距的2倍，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：
解析：设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，则MN≤2F1F2，所以≤2c，即a2≤2c2，则e2≥，解得≤e＜1.
1. 椭圆的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．
2. 椭圆的焦半径
(1) 对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则PF1＝a＋ex；PF2＝a－ex.
(2) 对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则PF1＝a＋ey；PF2＝a－ey.
[备课札记]
, 1 求综合情况下椭圆的基本量)
, 1) 如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，求该椭圆的离心率．
解：直线A1B2的方程为＋＝1；直线B1F的方程为＋＝1.二者联立解得T，则M在椭圆＋＝1(a>b>0)上，＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.
变式训练
设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1) 若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；
(2) 若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.
解：(1) 根据c＝及题设知M，则kMN＝＝＝，即2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故椭圆C的离心率为.
(2) 由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a ①.
由MN＝5F1N得DF1＝2F1N.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即
代入C的方程，得＋＝1 ②.
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
, 2 与椭圆第二定义有关的问题)
, 2) 如图，A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．
(1) 若椭圆C的离心率为，直线l：x＝4，求椭圆C的方程；
(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q.若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率．
解：(1) 由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设M(x，y)，P.由A，M，P三点共线得＝，所以y0＝.
因为点M在椭圆C上，所以y2＝.
又MP为直径，所以OP⊥BM，所以kOP·kBM＝·＝＝＝＝－1，所以c2＋ac－a2＝0，
所以e2＋e－1＝0.又0b>0)的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 求证：AP⊥OM；
(3) 试问·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
(1) 解：∵ 椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴ a2＝2c2，则a2＝2b2.
又椭圆C过点，∴ ＋＝1.
∴ a2＝4，b2＝2，则椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 证明：设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)，
将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中并化简，得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，解得x1＝，x2＝2，
∴ y1＝k(x1－2)＝，从而P
eq lc(
c)(avs4alco1(f(4k2－2,2k2＋1)，f(－4k,2k2＋1))).
令x＝－2，得y＝－4k，
∴ M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)．
又＝＝，
∴ ·＝＋＝0，∴ AP⊥OM.
(3) 解：·＝·(－2，－4k)＝＝＝4.
∴ ·为定值4.
变式训练
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且△BF1F2是边长为2的等边三角形．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点，＝2，求直线l的斜率．
解：(1) 由题意，得a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2) 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，又F2(1，0)，＝2，则(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，即
由解得
所以直线l的斜率k＝＝±.
1. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
答案：＋＝1
解析：由题意可得∴
故b2＝a2－c2＝3，∴ 椭圆方程为＋＝1.
2. (2016·新课标Ⅲ文)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为____________．
答案：
解析：由题意，设直线l的方程为y＝k(x＋a)，分别令x＝－c与x＝0得|OE|＝ka，|FM|＝k(a－c)．由PF⊥x轴，且直线BM经过OE的中点，得＝，即＝，整理，得＝，所以椭圆的离心率为e＝
3. (2016·苏州期末)如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B, C分别是椭圆O上的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.
(1) 当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1
，k2，求证：k1·k2为定值．
(1) 解：由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1，
联立解得或(舍)，
即M.
连结BF，则直线BF：＋＝1，即x＋y－＝0，而BF＝a＝2，d＝＝＝.
故S△MBF＝·BF·d＝·2·＝.
(2) 证明：设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，直线PM的方程为y＝－x－1，联立化简得x2＋x＝0，
解得M，
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，
所以k1·k2＝·＝－为定值．
4. (2016·北京卷文)已知椭圆C：＋＝1过点A(2，0)，B(0，1) 两点．
(1) 求椭圆C的方程及离心率；
(2) 设P为第三象限内一点，且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
(1) 解：由题意得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，所以离心率e＝＝.
(2) 证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.又A(2，0)，B(0，1)，所以，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2，
从而四边形ABNM的面积为定值．
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点.
(1) 求椭圆的方程及离心率；
(2) 设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4.
① 求k1k2的值；
② 求OB2＋OC2的值．
解：(1) (解法1)依题意，c＝，a2＝b2＋3.
由＋＝1，解得b2＝1(b2＝－，不合，舍去)，从而a2＝4.
故所求椭圆方程为＋y2＝1，离心率e＝.
(解法2)由椭圆的定义知，
2a＝＋＝4，即a＝2.
又c＝，故b2＝1.故所求椭圆方程为＋y2＝1，离心率e＝.
(2) ① 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，
于是k1k2＝·＝＝＝－.
② 由①知，k3k4＝k1k2＝－，故x1x2＝－4y1y2.所以(x1x2)2＝(－4y1y2)2，
即(x1x2)2＝16＝16－4(x＋x)＋xx，所以x＋x＝4.
又2＝＋＝＋y＋y，故y＋y＝1.
所以OB2＋OC2＝x＋y＋x＋y＝5.
【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)
已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．
(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2) 设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
学生错解：(1) 解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，
所以m的取值范围是(2，5)．
(2) 证明：当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.
直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，
所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0，
即kAN＝kAG.
故A，G，N三点共线．
错因分析： 易忽视焦点在x轴上，漏掉＞这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．
审题引导：(1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；(2) 证明三点共线的常用方法．
规范解答：
(1) 解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)
解得＜m＜5，所以m的取值范围是.(4分)
(2) 证明：当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．(5分)
由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.(6分)
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞.(7分)
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，
x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)
直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.(9分)
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，(11分)[来源:学#科#网Z#X#X#K]
所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0，
即kAN＝kAG.(13分)
故A，G，N三点共线．(14分)
1. 经过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．
答案：
解析：∵ 垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由得y2＝，∴ |y|＝，故弦长为.
2. 已知椭圆＋＝1外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为________．
答案：10
解析：如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有：＝e＝，即PF＝d，所以PA＋d
＝PA＋PF，可知当P，F，A三点共线且P在线段AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10.故PA＋d的最小值为10.
3. 已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆＋y2＝相切于点Q，且＝2，则椭圆C的离心率为________．
答案：
解析：画出图象如下图所示，|EF|＝|OF|－|OE|＝，根据＝2，可知PF′∥QE，所以＝，且PF′⊥PF，|QE|＝，|PF′|＝b.根据椭圆的定义知|PF|＝2a－b.由勾股定理有b2＋(2a－b)2＝(2c)2，化简得b＝，c＝＝a，＝.
4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1) 求椭圆离心率的范围；
(2) 求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1) 解：不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°.
∵ m＋n＝2a，∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
∴ 4c2＝4a2－3mn.即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴ 4a2－4c2≤3a2，∴ ≥，即e≥.
∴ e的取值范围是.
(2) 证明：由(1)知mn＝b2，∴ S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
5. 如图，A，B，C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆的方程．
解：(1) 因为BC过椭圆M的中心，所以BC＝2OC＝2OB.
又AC⊥BC，BC＝2AC，
所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，
则A(a，0)，C，B，AB＝a，
所以＋＝1，则a2＝3b2，
所以c2＝2b2，e＝.
(2) △ABC的外接圆圆心为AB中点P，半径为a，
则△ABC的外接圆为＋＝a2.
令x＝0，y＝或y＝－，所以－＝9，得a＝6，
所以所求的椭圆的方程为＋＝1.
解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．
第8课时 双 曲 线(对应学生用书(文)141～142页、(理)146～147页)
建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．
① 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.②
掌握双曲线的简单应用．
1. 双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．
答案：4
解析：∵ 双曲线的标准方程为－＝1，∴ a2＝10，b2＝2，∴ c2＝a2＋b2＝12，c＝2，故焦距为4.
2. 若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________．
答案：1
解析：∵ b＝，∴ c＝，∴ ＝＝2，∴ a＝1.
3. 已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．
答案：
解析：∵ 右焦点为(3，0)，∴ c＝3.∵ c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴ a2＝4，a＝2，∴ e＝＝.
4. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是____________．
答案：y＝±x
解析：焦点(c，0), 渐近线bx－ay＝0，d＝＝b＝c，即c＝2b，a＝b，双曲线的渐近线方程是x±y＝0.
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2. 双曲线的标准方程和几何性质
a，b，c的
关系,c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3. 等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．
, 1 双曲线的定义及其应用)
, 1) 讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
解：(1) 当k<9时，25－k>0，9－k>0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．
(2) 当90，9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．
(3) 当k>25时，所给方程没有轨迹．
变式训练
在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________．
答案：(－2，4)
解析：只要4－m与2＋m同号，即(4－m)(2＋m)＞0，则实数m的取值范围是(－2，4)．
, 2 求双曲线的标准方程)
, 2) 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
又点A(x0，4)在椭圆＋＝1上，∴ x＝15.
又点A在双曲线－＝1上，∴ －＝1.
又a2＋b2＝c2＝9，∴ a2＝4，b2＝5，
所求双曲线的方程为－＝1.
在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系，求以M，N为焦点且过点P的双曲线方程．
解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系．
设P(x0，y0)，M(－c，0)，N(c，0)(y0>0，c>0)．(如图)
则解得
设双曲线方程为－＝1，将点P＝代入，可得a2＝.
∴ 所求双曲线方程为－＝1.
, 3 双曲线的几何性质)
, 3) 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线的方程．
解：双曲线－＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为
d1＝，d2＝.
已知d1d2＝，故＝ ①.
又A在双曲线上，则14b2－5a2＝a2b2 ②.
把②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2 ③.
联立②③解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线的方程为－＝1.
变式训练
若双曲线C：mx2－y2＝1(m为常数)的一条渐近线与直线l：y＝－3x－1垂直，则双曲线C的焦距为____________．
答案：2
解析：由题意知＝，故m＝，焦距为2＝2.
, 4 双曲线的综合应用)
, 4) 是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由．
(1) 渐近线方程为x＋2y＝0及x－2y＝0；
(2) 点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为.
解：假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．
若双曲线的焦点在x轴上，因为渐近线方程为
y＝±x，所以由条件(1)，设双曲线方程为－＝1.设动点P的坐标为(x，y)(x≥2b)，则|AP|＝＝.由条件(2)，若2b≤4，即b≤2，则当x＝4时，|AP|最小＝＝，b2＝－1，这不可能，无解；若2b>4，则当x＝2b时，|AP|最小＝|2b－5|＝，解得b＝，此时存在双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线方程为－＝1(x∈R)，所以|AP|＝.因为x∈R，所以当x＝4时，|AP|最小＝＝.所以a2＝1，此时存在双曲线方程为y2－＝1.
综上所述，存在满足条件的双曲线，其方程为－＝1和y2－＝1.
已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．
解：(解法1)设M(xM，yM)，F1(－，0)，F2(，0)，
＝(－－xM，－yM)，＝(－xM，－yM)
∵ ·＝0，
∴ (－－xM)·(－xM)＋y＝0，
又M(xM，yM)在双曲线x2－＝1上，∴ x－＝1，
解得yM＝±，
∴ M到x轴的距离是|yM|＝.
(解法2)连结OM，设M(xM，yM)，∵ ·＝0，
∴ ∠F1MF2＝90°，∴ |OM|＝|F1F2|＝，
∴ ＝ ①.又x－＝1 ②，
由①②解得yM＝±，∴ M到x轴的距离是|yM|＝.
1. (2016·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的实轴长为__________．
答案：2
解析：双曲线－y2＝1的实轴长为2a＝2.
2. (2016·苏州期末)双曲线－
＝1的离心率为__________．
答案：
解析：由a＝2，c＝3得e＝.
3. (2016·北京卷文)已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________．
答案：1 2
解析：依题意有结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝2.
4. (2016·常州期末)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为__________．
答案：
解析：双曲线－＝1的一条过点P(1，－2) 的渐近线方程为bx＋ay＝0，得b＝2a，则c＝＝a，则离心率为.
5. (2016·天津卷文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为____________．
答案：－y2＝1
解析：由题意得c＝，＝a＝2，b＝1－＝1.
6. 设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为________．
答案：5
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c.由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，
解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.
1. (2016·扬州期末)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
答案：4
解析：由题意知，焦点(±5，0)到渐近线的距离为b＝4.
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率为________．
答案：2
解析：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则＝，b2＝3a2，则c2＝a2＋b2＝4a2，c＝2a，所以双曲线的离心率为2.
3. (2016·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)过点P(1，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程为________．
答案：2x2－y2＝1
解析：由渐近线方程y＝x，可得b＝a，再将点P(1，1)代入方程可得a2＝，b2＝1，则该双曲线的方程为2x2－y2＝1.
4. (2016·南京二模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________．
答案：
解析：由题意知F(－c，0)，线段PF的中点坐标为(0，b)，则P(c，2b)，代入双曲线方程并整理得－＝1，即e＝.
1. 应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
2. 区分双曲线与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1，椭圆的离心率e∈(0，1)．
3. 双曲线方程的求法
(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2) 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3) 若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
[备课札记]
第9课时 抛 物 线(对应学生用书(文)143～144页、(理)148～149页)
建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．
① 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.② 掌握抛物线的简单应用．
1. 抛物线2x2＋y＝0的准线方程为________．
答案：y＝
解析：抛物线的标准方程为x2＝－y，∴ 2p＝，∴ ＝，故准线方程为y＝.
2. 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
答案：6
解析：由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
3. 抛物线y＝x2(m<0)的焦点坐标是________．
答案：
解析：∵ x2＝my(m<0)，∴ 2p＝－m，p＝－，焦点坐标为，即.
4. 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
答案：－
解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
5. 已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
答案：y2＝8x
解析：依题意得OF＝，又直线l的斜率为2，可知AO＝2OF＝，△AOF的面积等于·AO·OF＝＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.
1. 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)
, 1 抛物线的标准方程及其应用)
, 1) 若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标及抛物线方程．
解：∵ 点M到对称轴的距离为6，
∴ 设点M的坐标为(x，6)．
∵ 点M到准线的距离为10，
∴ 解得或
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
变式训练
若抛物线y2＝2px的准线方程为x＝1，则该抛物线的焦点坐标为________．
答案：(－1，0)
解析：因为抛物线的准线与x轴的交点和焦点关于y轴对称，所以焦点坐标为(－1，0)．
, 2 抛物线的几何性质及其应用)
, 2) 一抛物线拱桥跨度为52 m，拱顶离水面6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，问竹排能否安全通过？
解： 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则有A(26，－6.5)，B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52，
∴ 抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝－，
∵ 6.5－>6，∴ 能通过．
变式训练
已知抛物线y2＝4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点，三边上的高都过焦点，求三角形OAB的外接圆的方程．
解： ∵ △OAB的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，
∴ AB⊥x轴，故A，B关于x轴对称．
设A，则B，
又F(1，0)，由OA⊥BF得·＝－1，解得y＝20，
∴ A(5，2)，B(5，－2)．
∵ 外接圆过原点，且圆心在x轴上，故可设方程为x2＋y2＋Dx＝0，
把A点坐标代入得D＝－9，
故所求圆的方程为x2＋y2－9x＝0.
, 3 抛物线与双曲线)
, 3) (2016·南京、盐城、徐州、连云港一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是________．
答案：y＝±2x
解析：直线AB恰好过点F，则A，又点A在双曲线的渐近线上，代入y＝kx，得k＝2，则双曲线的渐近线方程是y＝±2x.
变式训练
(2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为__________．
答案：y＝±x
解析：抛物线y2＝－12x的焦点坐标为(－3，0)，双曲线－y2＝1中c＝3，a2＋1＝9，a2＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x.
1. (2016·四川卷文)抛物线y2＝4x的焦点坐标为__________．
答案：(1，0)
解析：由抛物线的标准方程及性质得2p＝4，p＝2，故y2＝4x的焦点坐标为，即为(1，0)．
2. (2016·南京、盐城期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上．若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为__________．
答案：
解析：由题意设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将P(1，3) 代入y2＝2px，得p＝，故抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
3. (2016·新课标Ⅱ文)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝__________．
答案：2
解析：因为F抛物线y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1，2)，所以k＝2.
4. (2016·镇江期末)以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线的标准方程为________．
答案：－＝1
解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，即c＝1；以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程设为－＝1，则λ＋λ＝c2＝1，得λ＝.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
5. (2016·浙江卷文)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1) 求p的值；
(2) 若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求点M的横坐标的取值范围．
解：(1) 由抛物线的定义可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到准线x＝－距离，则有＝1，即p＝2.
(2) 由(1)得抛物线的方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，故可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)．
由消去x得y2－4sy－4＝0，
故y1y2＝－4，所以B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－，从而的直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N.设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝ ，于是m＝，经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是∪.
1. 如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y2＝4x上，那么PF＝________．
答案：3
解析：根据抛物线的定义知点P到点F的距离等于点P到其准线x＝－1的距离，即d＝|2－(－1)|＝3.
2. (2016·徐州、连云港、宿迁二模)已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．
答案：
解析：F(1，0)，准线方程x＝－1，由第一象限的点A到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF的斜率为.
3. 若P(x0，4)是抛物线y2＝－32x 上一点，F是抛物线的焦点，则PF＝________．
答案：
解析：因为点P(x0，4)在抛物线y2＝－32x上，所以x0＝－，抛物线的准线是x＝8，所以PF＝8－x0＝.
4. (2016·苏北四市期末)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．
答案：
解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，双曲线－＝1渐近线方程为3x－4y＝0，点(1，0)到渐近线的距离为.
1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．
3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．
[备课札记]
第10课时 直线与圆锥曲线的综合
应用(1)(对应学生用书(文)145～147页、(理)150～152页)
会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题．
会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题．
1. 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________．
答案：
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
2. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
答案：
解析：由题知抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此M到抛物线准线的距离为＋1＝.
3. 若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A，B，则AB的最大值为________．
答案：
解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0.由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5，弦长AB＝·≤.
4. 已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使点P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
答案：4x－y－7＝0
解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－
＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
5. 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．
答案：－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝.又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
Δ>0直线与圆锥曲线相交；
Δ＝0直线与圆锥曲线相切；
Δ<0直线与圆锥曲线相离．
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
2. 圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝|x1－x2|或|y1－y2|.
, 1 直线与圆锥曲线位置关系)
, 1) 在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B，且＝.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．
解：(1) 设C(x0，y0)，则＝，＝.
因为＝，所以＝＝，得
代入椭圆方程得a2＝b2.
因为c2＝a2－b2＝b2，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(2) 因为椭圆M的焦距为4，则c＝2，结合(1)可得椭圆M的方程为＋＝1.设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为y＝－x－1，所以xD＝－k.
将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0 ①.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN＝＝－，
代入直线PQ的方程得yN＝，
代入直线l的方程得9k2＝4m－5 ②.
因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，化简得m2－9k2－5＜0.
将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，
所以－＜k＜，且k≠0，
所以xD＝－k∈∪.
综上所述，点D横坐标的取值范围是∪.
变式训练
(2016·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k＞0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.求椭圆M的方程和直线l的方程．
解：由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，
所以椭圆M的方程为＋＝1，
圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.
由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0 ①，
所以由Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2 ②.
由直线l：y＝kx＋m与圆N只有一个公共点，得＝，
即k2＋2km＋m2＝5＋5k2 ③，
将②代入③得km＝1 ④，
由②④且k＞0，得k＝，m＝2.
所以直线l：y＝x＋2.
, 2 根据直线与圆锥曲线的位置确定参数)
, 2) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋
＝1(a＞b＞0)过点A(2，1)，离心率为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．
解：(1) 由条件知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝＝，所以b2＝a2－c2＝a2.
又点A(2，1)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，
所以＋＝1，解得
所以，所求椭圆的方程为＋＝1.
(2) 将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，整理，得
(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0 ①.
由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，
因为k≠0，所以m＝0.
因为当m＝0时，B，C关于原点对称，
设B(x，kx)，C(－x，－kx)，由方程①，得x2＝.
因为AB⊥AC，A(2，1)，所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，所以k＝±.
由于k＝时，直线y＝x过点A(2，1)，故k＝不符合题设．
所以，此时直线l的方程为y＝－x.
变式训练
(2016·泰州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆Ω：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.
(1) 求k1k2的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) 由题意得A(2，0)．设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，所以k1k2＝·＝＝－.
(2) 联立
得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，
解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝.
联立
得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC.
, 3 弦长、弦中点问题)
, 3) 在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得·＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，
故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，求椭圆E的方程．
解：由题意知kAB＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＋＝0.
由AB的中点是(1，－1)知
则＝＝，联立a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，
故椭圆E的方程为＋＝1.
1. 过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是________．
答案：－3
解析：设AB方程为x＝my＋1，A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由得y2－4my－4＝0，∴ y1y2＝－4.又·＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝＋(－4)＝－3.
2. 若双曲线x2－my2＝1的焦点到渐近线的距离为，则实数m的值是________．
答案：
解析：双曲线的右焦点坐标为，一条渐近线方程为x－y＝0.由点到直线的距离公式得＝，解得m＝或m＝－1.因为m>0，所以m＝.
3. 已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为__________．
答案：－1
解析：如图所示，由直线y＝(x＋c)可知倾斜角α与斜率有关系＝tan α，∴ α＝60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴ ∠MF2F1＝30°，∴ ∠F1MF2＝90°.设MF2＝m，MF1＝n，则解得＝－1.∴ 该椭圆的离心率e＝－1.
4. (2016·南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积．
解：(1) 由题意，得＝，＋＝1，
解得a2＝6，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±(x－)．
由方程组
解得或
所以点P，Q的坐标分别为
，，
所以PQ＝.
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.
综上所述，△OPQ的面积为.
5. (2016·苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab.
(1) 若椭圆C的离心率为，求椭圆C的方程；
(2) 若过点(0，1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由．
解：由题意，得点A(a，0)，B(0，b)，直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由题设，得＝ab，化简，得a2＋b2＝1 ①.
(1) ∵ e＝＝，∴ ＝，即a2＝3b2 ②.
由①②，解得
∴ 椭圆C的方程为＋4y2＝1.
(2) 点F1在以PQ为直径的圆上．理由如下：
由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
由得(b2＋a2k2)x2＋2ka2x＋a2－a2b2＝0 (*)，
则Δ＝(2ka2)2－4(b2＋a2k2)(a2－a2b2)＝0，
化简，得1－b2－a2k2＝0，∴ k2＝＝1.
∵ 点P在第二象限，∴ k＝1.
把k＝1代入方程(*)，得x2＋2a2x＋a4＝0，
解得x＝－a2，从而y＝b2，∴ P(－a2，b2)．
从而直线PF2的方程为y－b2＝(x＋a2)，
令x＝0，得y＝，∴ 点Q.
从而＝(－a2＋c，b2)，＝，
从而·＝c(－a2＋c)＋＝＝，
∵ a2＋b2＝1，a2＝b2＋c2，∴ ·＝0.
∴ 点F1在以PQ为直径的圆上．
【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)
已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
学生错解：
解：(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，
由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积S＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．
错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件．
审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2) △F1AB的面积的表示．
规范解答：
解：(1) 依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)
∴ 双曲线的方程为x2－＝1.(6分)
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，
由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)
k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)
△F1AB的面积S＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，(14分)
∴ 直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)
1. 若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
答案：2
解析：∵ 直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，
∴ >2，∴ m2＋n2<4，∴ ＋<＋＝1－m2<1，∴ 点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴ 过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个．
2. 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1) 由题意知＝，b＝1.结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2) 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－(2k－2)＝2，
所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.
3. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝________．
答案：－
解析：联立消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1，x＝4，不妨设A点在x轴的上方，于是A、B两点的坐标分别为(4，4)，(1，－2)，又F(1，0)，可求得AB＝3，AF＝5，BF＝2，在△ABF中，由余弦定理cos∠AFB＝＝－
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)．
(1) 若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；
(2) 若圆O的半径为，点P，Q满足kOP·kOQ＝－，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值．
解：(1) 因为椭圆C的方程为＋＝1，
所以A(－2，0)，F(1，0)．
因为PF⊥x轴，所以P.
而直线AP与圆O相切，
根据对称性，可取P，
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0.
由圆O与直线AP相切，得r＝，
所以圆O的方程为x2＋y2＝.
(2) 由题意知，圆O的方程为x2＋y2＝3.
① 当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－k＝－，
所以kOP＝±，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为.
② 当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)，
首先由kOP·kOQ＝－，得3x1x2＋4y1y2＝0，
即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
所以(3＋4k2)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b2＝0 (*)．
联立消去x，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入(*)式，得2b2＝4k2＋3.
由于圆心O到直线PQ的距离为d＝，
所以直线PQ被圆O截得的弦长为l＝2＝，故当k＝0时，l有最大值为.
综上，因为＞，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.
5. 已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
(1) 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2) 设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．
(1) 证明：∵ P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
当x1≠x2时，由，得＝－·.
设线段PQ的中点N(1，n)，∴ kPQ＝＝－，
∴ 线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴ (2x－1)n－y＝0，
则直线恒过一个定点A.
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.
(2) 解：由于点B与点A关于原点O对称，故点B.
∵ －2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴ x1＝2－x2∈[0，2]，
PB2＝＋y＝(x1＋1)2＋≥，
∴ 当点P的坐标为(0，±)时，PBmin＝.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．
2. 从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．
第11课时 直线与圆锥曲线的综合
应用(2) (对应学生用书(文)148～151页、(理)153～156页)
会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法．
掌握圆锥曲线的简单应用．
1. 已知椭圆C：＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y<1，则PF1＋PF2的取值范围是________．
答案：[2，2)
解析：由题意，得点P在椭圆＋y2＝1的内部，所以2c≤PF1＋PF2<2a，即2≤PF1＋PF2＜2.
2. 已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x＋x的最小值是________．
答案：32
解析：设过点P的直线为y＝k(x－4)．当k不存在时，A(4，4)，B(4，－4)，则x＋x＝32；当k存在时，有k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，则x1＋x2＝8＋，x1·x2＝16，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32＋＋＞32.综上，故(x＋x)min＝32.
3. 若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
答案：
解析：由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得>>0，即sin α>cos α>0.又α∈，所以<α<.
4. 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点．若 的最小值为8a，则此双曲线离心率的取值范围是________．
答案：(1，3]
解析：令PF1＝m，m∈[c－a，＋∞)，则＝＝m＋＋4a≥2＋4a＝8a(当m＝2a时，取“＝”)，
∴ 2a≥c－a，解得11时，它表示双曲线；
当e＝1时，它表示抛物线．
2. 曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的
解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
3. 平面解析几何研究的两个主要问题
(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；
(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质．
4. 求曲线方程的一般方法(五步法)
(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2) 写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
, 1 最值与取值范围问题)
, 1) 已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.
(1) 当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
(2) 求的最大值．
解：(1) 双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴ ∠POx＝30°，∴ ＝tan 30°＝，∴ a＝b.又a2＋b2＝22，∴ 3b2＋b2＝4，∴ b2＝1，a2＝3，∴ 椭圆C的方程为＋y2＝1，离心率e＝＝.
(2) 由已知，l：y＝(x－c)与l2：y＝x联立，解方程组得P.
设＝λ，则＝λ，∵ F(c，0)，设A(x0，y0)，
则(x0－c，y0)＝λ，∴ x0＝，y0＝，即A(，)．
将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，
等式两边同除以a4，得(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0，1)，
∴ λ2＝＝－＋3
≤－2＋3＝3－2＝(－1)2，
∴ 当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.
变式训练
(2016·扬州期末)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．
解：设P(x0，y0)，M(xM，yM)，
∵ ＝2，∴ ＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，
∴ M，＝(x0－c，y0)．
∵ PO⊥F2M，＝(x0，y0)，
∴ x0＋y＝0，即x＋y＝2cx0.
联立方程
消去y0，得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，
解得x0＝或 x0＝.
∵ －a.
综上，椭圆离心率e的取值范围是.
, 2 定点、定值问题)
, 2) 如图，过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为. 椭圆与x轴交于两点A(a，0)，B(－a，0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1) 当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2) 当点P异于点B时，求证：·为定值．
(1) 解：由已知得b＝1，＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0.
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，
所以D点坐标为.
故CD＝＝.
(2) 证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1.
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，
与直线AC方程联立解得
因此Q点坐标为(－4k，2k＋1)．
又P点坐标为，
所以·＝·(－4k，2k＋1)＝4.
故·为定值．
变式训练
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.求证：2m－k为定值．
(1) 解：因为e＝＝＝，所以a＝2b..
代入a＋b＝3，得b＝1，进而得a＝2，c＝.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2) 证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2) ①.
把①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1 ②.
①与②联立解得M.
由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝＝＝，则2m－k＝－k＝(定值)．
, 3 圆锥曲线的综合应用)
, 3) (2016·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”．已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±2，长轴长为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2＋y2＝3的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．
解：(1) 由题意又a2＝b2＋c2，解得b＝，c＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 点A在椭圆C上．证明如下：
设切点为Q(x0，y0)，x0≠0，则x＋y＝3，切线l的方程为x0x＋y0y－3＝0.
当yP＝2时，xP＝，即P(，2)，则kOP＝＝，所以kOA＝，直线OA的方程为y＝x.
由解得
即A.
因为＋
＝
＝＝1，
所以点A的坐标满足椭圆C的方程．
当yP＝－2时，同理可得点A的坐标也满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2.
(1) 若椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程；
(2) 设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点．若椭圆C上存在点P，满足＝，求椭圆C的离心率的取值范围．
解：(1) 由题设知，椭圆C的焦距2c＝2，即c＝1，
所以a2＝b2＋1.
因为椭圆C经过点，
所以＋＝1，即＋＝1，
化简、整理得2b4－3b2－2＝0，解得b2＝2(负值已舍去)．
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 易知F(－1，0)，设P(x0，y0)，于是＋＝1. ①
因为＝，即PA2＝2PF2，所以(x0＋2)2＋y＝2(x0＋1)2＋2y，即x＋y＝2. ②
联立①②，并注意到a2＝b2＋1，解得x＝2a2－a2b2＝a2(3－a2)．
因为－a≤x0≤a，所以0≤x≤a2.
于是0≤a2(3－a2)≤a2，即2≤a2≤3，亦即≤a≤.
所以≤≤，即≤≤.
故椭圆C的离心率的取值范围是
.
1. 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2＝8y的焦点，则F到双曲线x2－＝1的渐近线的距离为________．
答案：
解析：点F(0，2)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为3x－y＝0，则d＝＝.
2. 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为________．
答案：
解析：设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离恒大于直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间距离，因此m的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间距离，为＝.
3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案：
解析：设OA 所在的直线方程为y＝x ，则OB 所在的直线方程为y＝－x，解方程组 得所以点A 的坐标为 ，抛物线的焦点F 的坐标为.
因为F是△ABC 的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，所以－·＝－1＝ .所以e2＝＝1＋＝e＝.
4. (2016·南京、盐城期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.求证：k1k2＝－.
证明：因为圆M与直线OP：y＝k1x相切，
所以＝，
即(4－5x)k＋10x0y0k1＋4－5y＝0，
同理，有(4－5x)k＋10x0y0k2＋4－5y＝0，
所以k1，k2是方程(4－5x)k2＋10x0y0k＋4－5y＝0的两根，
从而k1k2＝＝＝＝－.
5. (2016·镇江期末)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左顶点为A(－3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形AEF的三条边都相切．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求圆O的标准方程．
解：(1) 由题意可知＝，a＝3，得c＝，
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝，故椭圆的标准方程是＋＝1.
(2) 设直线AE的方程：y＝k(x＋3)，点E(x1，y1)，
由可得(4k2＋1)x2＋24k2x＋36k2－9＝0.
因为－3＋x1＝－，得x1＝，
代入直线y＝k(x＋3)，得y1＝，
所以E.
同理可得F.
根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离．
可得＝＝r，解得k2＝，
从而r2＝1，所以圆O的标准方程为x2＋y2＝1.
【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＋CD＝7.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求AB＋CD的取值范围．
学生错解：解：(1) 由题意可求得椭圆的方程为＋＝1.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以x1＝，x2＝，所以AB＝|x1－x2|＝.
同理，CD＝＝.
所以AB＋CD＝＋＝.
令t＝k2＋1，则3＋4k2＝4t－1，3k2＋4＝3t＋1，
设f(t)＝＝－＋＋12＝－＋∈，
注意到AB＋CD>0，所以AB＋CD＝∈.
综上可知，AB＋CD的取值范围是.
错因分析： 本题易错之处是忽视互相垂直的直线可能为一条斜率为0，另一条的斜率不存在；在用换元求最值时忽视变量取值范围的变化；此外还因运算量较大出现计算错误．
审题引导： (1) 设出直线方程，联立方程组可求出交点，求弦长；(2) 将AB＋CD作为目标函数用代数法求解．
规范解答： 解：(1) 由题意知，e＝＝，CD＝7－2a，所以a2＝4c2，b2＝3c2.(2分)
因为点在椭圆上，即＋＝1，所以c＝1.
所以椭圆的方程为＋＝1.(6分)
(2) ① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7.(7分)
② 当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以x1＝，x2＝，所以AB＝|x1－x2|＝.(10分)
同理，CD＝＝.
所以AB＋CD＝＋＝.(12分)
令t＝k2＋1，则3＋4k2＝4t－1，3k2＋4＝3t＋1，
设f(t)＝＝－＋＋12＝－＋，
因为t＞1，所以∈(0，1)，所以f(t)∈，所以AB＋CD＝∈.
综合①②可知，AB＋CD的取值范围是.(16分)
1. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．
答案：
解析：依题意得c＋＝×2c，即b＝c(其中c是双曲线的半焦距)，a＝＝c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.
2. 若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
答案：(4，2)
解析：把直线与抛物线方程联立得
化得x2－8x＋4＝0，∴ x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，中点坐标为＝(4，2)．
3. (2016·南通、扬州、泰州市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足＝2.
(1) 若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；
(2) 设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且＝m，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．
解：(1) 因为＝2，而P(2，)，所以A.
代入椭圆方程，得＋＝1 ①.
又椭圆的离心率为，所以＝ ②.
由①②，得a2＝2，b2＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
因为＝2，所以P(－2x1，－2y1)．
因为＝m，所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，即
于是
代入椭圆方程，得
＋＝1，
即＋－
＝1 ③.
因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1 ④.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，即·＝－，结合②知＋＝0 ⑤.
将④⑤代入③，得＋＝1，解得m＝.
4. (2016·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，左顶点为A(－4，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1) 因为左顶点为A(－4，0)，所以a＝4.
又e＝，所以c＝2.
因为b2＝a2－c2＝12，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 直线l的方程为y＝k(x＋4)，由
消元得＋＝1.
化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，
所以x1＝－4，x2＝.[来源:学#科#网]
当x＝时，y＝k＝，所以D(，)．
因为点P为AD的中点，所以P的坐标为(，)，则kOP＝－(k≠0)．
直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0，得E点坐标为(0，4k)，
假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，
则kOPkEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，
所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，
所以即
因此定点Q的坐标为(－3，0)．
1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．
(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；
(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
2. 求定值问题常见的方法有两种
(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；
(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3. 定点的探索与证明问题
(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；
(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
[备课札记]
