【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图像与性质学案文

【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图像与性质学案文

专题06 三角函数的图像与性质 ‎1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)( A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．‎ ‎2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．‎ ‎1．任意角和弧度制 ‎(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．‎ ‎(3)弧长公式：l＝|α|r，‎ 扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2.‎ ‎2．任意角的三角函数 ‎(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．‎ ‎(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎3．诱导公式 公式一 sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，‎ tan(2kπ＋α)＝tanα 公式二 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，‎ tan(π＋α)＝tanα 公式三 sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，‎ tan(－α)＝－tanα 公式四 sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，‎ tan(π－α)＝－tanα 公式五 sin＝cosα，cos＝sinα 公式六 sin＝cosα，cos＝－sinα 口诀 奇变偶不变，符号看象限 ‎4.同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0)．‎ ‎5．正弦、余弦、正切函数的性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R ‎{x|x≠＋kπ，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 ‎2π ‎2π π 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．‎ 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.‎ 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1‎ 当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.‎ 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1‎ 无最值 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．‎ 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)．‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(，0)(k∈Z)‎ ‎6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．‎ 考点一　三角函数图象及其变换 例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎【答案】A 且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.‎ 优解：代入特殊点检验排除．‎ 当x＝，y＝2时，排除B，D.‎ 当x＝－，y＝－2时，排除C，故选A.‎ ‎ (2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ ‎【答案】π ‎【解析】通解：化简后平移 函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin的图象至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的方法 ‎(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，已知函数的周期T，则ω＝. ‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎2．三角函数图象平移问题处理策略 ‎(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点；‎ ‎(2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；‎ ‎(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是.‎ ‎【变式探究】‎ ‎1．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.‎ 考点二　三角函数性质及应用 例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z)‎ B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z)‎ D．x＝＋(k∈Z)‎ ‎【答案】B ‎【解析】通解：写出解析式求对称轴．‎ 函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin 2，令2＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B.‎ 优解：由对称轴平移得对称轴．‎ y＝2sin 2x的对称轴为x＝＋π，向左平移个单位长度得x＝－＋π＝＋.(k∈Z)，故选B.‎ ‎ (2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ ‎【答案】B ‎【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 ‎1．求单调区间的两种方法 ‎(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．‎ ‎2．判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎3．三角函数的周期的求法 ‎(1)定义法；‎ ‎(2)公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(3)利用图象．‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)‎ A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减 C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增 考点三　三角函数的图象与性质的综合应用 例3、已知函数f(x)＝2sincosωx(0＜ω＜2)，且f(x)的图象过点.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，已知g＝，求cos的值．‎ 解：(1)f(x)＝2sincos ωx＝3sin ωxcos ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ‎ ‎ ‎【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路 ‎1．将“sin xcos x”化为sin 2x，将sin2x或cos2x降幂．‎ ‎2．函数解析式成为“asin x＋bcos x”后，利用辅助角公式化为sin(x＋φ)，.‎ ‎3．利用整体思想，对于sin(ωx＋φ)型的三角函数．‎ 视“ωx＋φ”为整体，利用sin x的性质来求解．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调增区间．‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x ‎)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋π＝π.‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．1‎ C. D. ‎【解析】选A.解法一：∵f(x)＝sin＋cos ‎＝＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＝sin，‎ ‎∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.‎ 解法二：∵＋＝，‎ ‎∴f(x)＝sin ＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝sin≤.‎ ‎∴f(x)max＝.故选A.‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎3.【2017课标3，文6】函数的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由诱导公式可得： ，‎ 则： ,‎ 函数的最大值为 .所以选A. ‎ ‎ ‎ ‎1.【2016高考新课标3文数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2文数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3文数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎4.【2016年高考四川文数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎5.【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎6.【2016高考新课标2文数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎7.【2016年高考北京文数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎8.【2016高考新课标3文数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎9.【2016高考浙江文数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎10.【2016高考山东文数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】,故最小正周期,故选B.‎ ‎11.【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎12.【2016高考新课标2文数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎13.【2016年高考北京文数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎14.【2016高考新课标3文数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎15.【2016高考新课标3文数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎16.【2016高考新课标2文数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎17.【2016高考新课标3文数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎【2015高考新课标1，文2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考福建，文19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎（1)求实数m的取值范围；‎ ‎（2)证明：‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到 当时，‎ 当时, ‎ 所以 ‎【2015高考山东，文16】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎【2015高考重庆，文9】若，则（　　）‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知，‎ ‎＝，选C.‎ ‎【2015高考山东，文3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】B ‎【2015高考新课标1，文8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. ‎ ‎1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】三角函数图像、辅助角公式 ‎ ‎2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，，，因为，所以．‎ ‎【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．‎ ‎3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【考点定位】函数的性质.‎ ‎4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.选A.‎ ‎【考点定位】三角函数图象的变换.‎ ‎5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（ ）‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．‎ ‎6. 【2014高考北卷文第14题】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，‎ 由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，‎ 所以，，即，所以，解得.‎ ‎【考点定位】函数的对称性、周期性，‎ ‎7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.‎ ‎8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 ‎ C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎ ‎【答案】Ｄ ‎【解析】，故只需将向左平移个单位．‎ ‎【考点定位】三角函数化简,图像平移.‎ ‎9. 【2014陕西高考文第2题】函数的最小正周期是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选.‎ ‎【考点定位】三角函数的最小正周期.‎ ‎10. 【2014大纲高考文第16题】若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．‎ ‎【考点定位】三角函数的单调性 ‎ ‎11. 【2014高考江西文第16题】已知函数，其中 ‎（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）‎ ‎【考点定位】三角函数性质 ‎12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解析】思路一　直接将代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．‎ ‎(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简sin＋1.‎ 得到T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 思路二　先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin＋1.‎ ‎(1)将代入函数式计算；‎ ‎(2)T＝＝π.[]‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ ‎(1)f＝sin＋1＝sin ＋1＝2.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎