【数学】2018届一轮复习人教A版数学思想专练（二）学案
数学思想专练（二）
一、选择题
1．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D． 2，＋∞)
解析：选B 当a>1时，则集合A＝{x|x≤1或x≥a}，则A∪B＝R，可知a－1≤1，即a≤2，故1
1时，1－log2x≤2⇒log2x≥－1＝log2 2－1⇒x≥2－1＝.
综上得，x的取值范围为 0，＋∞)．
4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
5．如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n＝51，选B.
6．(2017·南昌模拟)点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是( )
A． 0,2] B． 0,3]
C． 0,4] D． －2,2]
解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝||2－1，且1≤|OP|≤，∴·∈ 0,4]．
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间 －1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________．
解析：如果在 －1,1]内没有值满足f(c)>0，则
即解得p≤－3或p≥，取补集为－30)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.
又点M(2，－2p)位于直线MA上，
于是有－2p＝×2－，
即x－4x1－4p2＝0；
同理有x－4x2－4p2＝0，
因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1＋y2＝12，
即＝＝12，＝12，
解得p＝1或p＝2.
答案：1或2
三、解答题
10．已知a∈R，函数f(x)＝x＋，h(x)＝，解关于x的方程log4＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．
解：原方程可化为log4
＝log2－log2，
即log4(x－1)＝log2－log2＝log2，
①当10，
此时x＝＝3±，
∵14时，10，方程有两解x＝3±；
若a＝5时，则Δ＝0，方程有一解x＝3；
③由函数有意义及②知，若a≤1或a>5，原方程无解．
综合以上讨论，当15时，原方程无解．
11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N )．
(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明；
(2)求证：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；
(3)求证：|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<.
解：(1)a2＝＝，a3＝＝.
由题设，a－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2.
因为an＋2>0，所以an－2与an－1－2同号．
又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2.
(2)证明：由题设，＝，
由(1)知，an>2，所以<，因此<，
即|an－2|<|an－1－2|(n≥2)．
(3)证明：由(2)知，|an－2|<|an－1－2|，
因此|an－2|<|a1－2|＝(n≥2)．
因此|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<1＋＋＋…＋＝＝<.
12．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B
两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
由题意，知x1≠x2，
所以kAB＝＝－.
因为N(1,3)是弦AB的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，
所以kAB＝－1.
所以弦AB所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
又N(1,3)在椭圆内，
所以λ>3×12＋32＝12.
所以λ的取值范围是(12，＋∞)．
(2)因为弦CD垂直平分弦AB，所以弦CD所在直线的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，
将其代入椭圆的方程，
整理得4x2＋4x＋4－λ＝0.①
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)，
则x3，x4是方程①的两个根．
所以x3＋x4＝－1，x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝，即M.
所以点M到直线AB的距离d＝＝.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为2＋2＝.
