【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第3讲平面向量的数量积及应用学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第3讲平面向量的数量积及应用学案

第3讲　平面向量的数量积及应用 ‎[考纲解读]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)‎ ‎2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围．题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.‎ ‎1．两个向量的夹角 ‎2．平面向量的数量积 ‎3．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cosθ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：‎ ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ ；‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝ ；‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；‎ ‎(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝ .‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)‎ ‎(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b 的夹角为钝角．(　　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)‎ ‎(5)若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．小题热身 ‎(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ 答案　B 解析　因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.‎ 答案　2‎ 解析　∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，‎ ‎∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.‎ ‎(3)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________．‎ 答案　60°‎ 解析　设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，‎ 故|a|2－|a||b|cosθ＝0，解得cosθ＝，故a与b的夹角为60°.‎ ‎(4)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ 答案　－2‎ 解析　因为a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10，所以b在a方向上的投影为|b|cosθ＝＝＝－2.‎ 题型 　平面向量数量积的运算 ‎1．已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为(　　)‎ A．－1 B．1 C．－ D. 答案　D 解析　由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，向量a－b在向量a方向上的投影为＝＝，故选D.‎ ‎2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)‎ A．－15 B．－9 C．－6 D．0‎ 答案　C 解析　连接MN，因为＝2，所以＝3，同理＝3，＝－＝3－3＝3，·＝3·＝3(－)·＝3·－3()2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.‎ ‎3．已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长度分别为6,10，点E，F分别是线段BC，CD的中点，则·＝________.‎ 答案　12‎ 解析　依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A(－5,0)，C(5,0)，E，B(0,3)，F，则＝，＝，则·＝12.‎ 计算向量数量积的三种方法 ‎(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．‎ ‎(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.‎ ‎(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则a·c＝(　　)‎ A．4 B．8 C．12 D．20‎ 答案　D 解析　因为a∥b，所以x－2×2＝0，解得x＝4，所以a＝(4,2)，所以a·c＝(4,2)·(3,4)＝4×3＋2×4＝20.‎ ‎2．(2019·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D. 答案　A 解析　依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3.‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则·＝(　　)‎ A．－ B．0 C. D．7‎ 答案　B 解析　以，为基底，＝＋，＝－＝－＝－＋，·＝·＝＝×(9－9)＝0，故选B.‎ 题型 　平面向量数量积的性质 ‎1．(2018·华南师大附中一模)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意得，＝＋＝(m－n)＋(2n－m)，＝－，·＝3×2×cos60°＝3.‎ 又因为⊥，‎ 所以·＝[(m－n)＋(2n－m)]·(－)‎ ‎＝－(m－n)2＋(2m－3n)·＋(2n－m)2‎ ‎＝－9(m－n)＋3(2m－3n)＋4(2n－m)＝0，‎ 整理得7m－8n＝0，故＝.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　2 解析　由题意得，a·b＝2×1×cos60°＝1，‎ 所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4＋4＝12，‎ 所以|a＋2b|＝2.‎ ‎3．已知向量m＝(sinθ，1－cosθ)(0<θ<π)与向量n＝(2,0)的夹角为，则θ＝________.‎ 答案　 解析　由已知条件得 ‎|m|＝＝，‎ ‎|n|＝2，m·n＝2sinθ，于是由平面向量的夹角公式得cos＝＝＝，整理得2cos2θ－cosθ－1＝0，解得cosθ＝－或cosθ＝1(舍去)．‎ 因为0<θ<π，所以θ＝.‎ 条件探究1　把举例说明1的条件改为“已知＝(2，0)，＝(0,2)，＝t，t∈R，当||最小时”，求t的值．‎ 解　由题意得，－＝t(－)，‎ ＝(1－t)＋t ‎＝(1－t)·(2，0)＋t(0,2)‎ ‎＝(2－2t,2t)，‎ 所以||2＝12(1－t)2＋4t2＝162＋3，‎ 所以当t＝时，||取最小值．‎ 条件探究2　把举例说明2的条件改为“平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2”，求|3a＋b|.‎ 解　由题意得，|a|＝＝，‎ a·b＝×2×cos45°＝2.‎ 所以|3a＋b|2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×2＋6×2＋22＝34.‎ 所以|3a＋b|＝.‎ ‎1．求向量夹角问题的方法 ‎(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；‎ ‎(2)若已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .如举例说明3.‎ ‎2．求向量模的常用方法 ‎(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝‎ .‎ ‎(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．如举例说明2.‎ ‎3．解答向量垂直问题的两个策略 ‎(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．‎ ‎(2)根据两个向量垂直的充要条件a·b＝0，列出相应的关系式．如举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ 答案　D 解析　∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，‎ ‎∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，‎ ‎∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.‎ ‎∵c与a的夹角等于c与b的夹角，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，解得m＝2.‎ ‎2．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由已知，ma－b＝(m＋1，－m)，又a⊥(ma－b)，‎ 所以a·(ma－b)＝1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，解得m＝－1.‎ ‎3．(2018·青岛模拟)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.‎ 答案　 解析　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，‎ 所以c2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋32＋2×2×3×cos ‎＝4＋9－6＝7.‎ 所以|c|＝.‎ 题型 　向量数量积的综合应用 角度1　向量在平面几何中的应用 ‎1．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　∵(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，∴·＝·＝2·，即||＝||，则cosA＝＝，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．‎ 角度2　向量在解析几何中的应用 ‎2．已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为________．‎ 答案　 解析　由·＝0可知，⊥.‎ 故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，‎ 则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设D(x，y)，‎ 则＝(x－1，y)，＝(－x,2－y)．‎ 由·＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，‎ 整理得2＋(y－1)2＝.‎ 所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．‎ 因为||表示B，D两点间的距离，‎ 而||＝ ＝.‎ 所以||的最大值为||＋r＝＋＝.‎ 角度3　向量与三角函数的综合应用 ‎3．(2018·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．‎ 解　(1)由已知得m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，‎ 所以m·n＝sinC.又m·n＝sin2C，‎ 所以sin2C＝sinC，所以cosC＝.‎ 又0

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