2020届二轮复习分类计数原理与分步计数原理课件课件（53张）（全国通用）

2020届二轮复习分类计数原理与分步计数原理课件课件（53张）（全国通用）

KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形式出现，难度为中档 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1 . 分类计数原理 如果完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方式中有 m 2 种不同的方法， …… ，在第 n 类方式中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ ________________ 种不同的方法 . 2. 分步计数原理 如果完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， …… ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ ______________ 种不同的方法 . ZHISHISHULI m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n m 1 × m 2 ×…× m n 3. 分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是 _____ ；必须要连续若干步才能完成的则是 _____ . 分类要用分类计数原理将种数 _____ ；分步要用分步计数原理，将种数 _____ . 分类 分步 相加 相乘 【概念方法微思考】 1. 在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？ 提示　 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理 . 2. 两种原理解题策略有哪些？ 提示　 ① 分清要完成的事情是什么； ② 分清完成该事情是分类完成还是分步完成， “ 类 ” 间互相独立， “ 步 ” 间互相联系； ③ 有无特殊条件的限制； ④ 检验是否有重复或遗漏 . 基础自测 JICHUZICE 题组一　思考辨析 1 2 3 4 5 6 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( 　　 ) (2) 在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 .( 　　 ) (3) 在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( 　　 ) (4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 m i ( i ＝ 1,2,3 ， … ， n ) ，那么完成这件事共有 m 1 m 2 m 3 … m n 种方法 .( 　　 ) (5) 在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .( 　　 ) × √ √ √ √ 7 题组二　教材改编 2.[P9T8] 已知集合 M ＝ {1 ，－ 2,3} ， N ＝ { － 4,5,6 ，－ 7} ，从 M ， N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 ___. 1 2 3 4 5 6 解析　 分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况， 第二步再确定纵坐标，有 2 种情况， 因此第一、二象限内不同点的个数是 3 × 2 ＝ 6. 6 7 1 2 3 4 5 6 3.[P29 习题 T9] 将 3 个不同的小球放入编号分别为 1,2,3,4,5,6 的盒子内， 6 号盒子中至少有 1 个球的放法种数是 ____. 91 解析　 本题应分为 6 号盒子中有 1 个球， 2 个球， 3 个球三类来解答， 7 题组三　易错自纠 4. 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ____. 1 2 3 4 5 6 解析　 分两类情况讨论：第 1 类，奇偶奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 2 种选择，共有 3 × 2 × 2 ＝ 12( 个 ) 奇数； 第 2 类，偶奇奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 1 种选择，共有 3 × 2 × 1 ＝ 6( 个 ) 奇数 . 根据分类计数原理知，共有 12 ＋ 6 ＝ 18( 个 ) 奇数 . 18 7 1 2 3 4 5 6 5. 如果把个位数是 1 ，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做 “ 好数 ” ，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “ 好数 ” 共有 ____ 个 . 12 解析　 当组成的数字有三个 1 ，三个 2 ，三个 3 ，三个 4 时共有 4 种情况 . 当有三个 1 时： 2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141 ，有 9 种， 当有三个 2,3,4 时： 2221,3331,4441 ，有 3 种， 根据分类计数原理可知，共有 12 种结果 . 7 6. 已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 ___. 1 2 3 4 5 6 12 解析　 将 4 个门编号为 1,2,3,4 ，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法， 从 2,3,4 号门进入，同样各有 3 种走法，共有 3 × 4 ＝ 12( 种 ) 不同的走法 . 7 7. 现用 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ____ 种 . 1 2 3 4 5 6 48 解析　 需要先给 C 块着色，有 4 种方法； 再给 A 块着色，有 3 种方法； 再给 B 块着色，有 2 种方法； 最后给 D 块着色，有 2 种方法，由分步计数原理知，共有 4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48( 种 ) 着色方法 . 7 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　分类计数原理 自主演练 1. 满足 a ， b ∈ { － 1,0,1,2} ，且关于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的有序数对 ( a ， b ) 的个数为 ___. 13 解析　 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的情况应分类讨论 . ① 当 a ＝ 0 时，方程为一元一次方程 2 x ＋ b ＝ 0 ，不论 b 取何值，方程一定有解 . 此时 b 的取值有 4 个，故此时有 4 个有序数对 . ② 当 a ≠ 0 时，需要 Δ ＝ 4 － 4 ab ≥ 0 ，即 ab ≤ 1. 显然有 3 个有序数对不满足题意，分别为 (1,2) ， (2,1) ， (2,2). a ≠ 0 时， ( a ， b ) 共有 3 × 4 ＝ 12( 个 ) 实数对， 故 a ≠ 0 时满足条件的实数对有 12 － 3 ＝ 9( 个 ) ，所以答案应为 4 ＋ 9 ＝ 13. 2. 如果一个三位正整数如 “ a 1 a 2 a 3 ” 满足 a 1 < a 2 ，且 a 2 > a 3 ，则称这样的三位数为凸数 ( 如 120,343,275 等 ) ，那么所有凸数的个数为 ____. 240 解析　 若 a 2 ＝ 2 ，则百位数字只能选 1 ，个位数字可选 1 或 0 ， “ 凸数 ” 为 120 与 121 ，共 2 个 . 若 a 2 ＝ 3 ，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则 “ 凸数 ” 有 2 × 3 ＝ 6( 个 ). 若 a 2 ＝ 4 ，满足条件的 “ 凸数 ” 有 3 × 4 ＝ 12( 个 ) ， … ，若 a 2 ＝ 9 ，满足条件的 “ 凸数 ” 有 8 × 9 ＝ 72( 个 ). 所以所有凸数有 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 42 ＋ 56 ＋ 72 ＝ 240( 个 ). 3. 定义 “ 规范 01 数列 ” { a n } 如下： { a n } 共有 2 m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为 1 ，且对任意 k ≤ 2 m ， a 1 ， a 2 ， … ， a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m ＝ 4 ，则不同的 “ 规范 01 数列 ” 共有 ___ 个 . 14 解析　 第一位为 0 ，最后一位为 1 ，中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111, 001110 ； 其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意； 思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置 . (1) 根据题目特点恰当选择一个分类标准 . (2) 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复 . (3) 分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏 . 题型二　分步计数原理 师生共研 例 1 (1) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ____. 18 解析　 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条， 所以从 E 点到 G 点的最短路径有 6 × 3 ＝ 18( 条 ). (2) 有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 ____ 种不同的报名方法 . 120 解析　 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法， 根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 ＝ 120( 种 ). 引申探究 1. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项，每项人数不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 解　 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法， 根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有 3 6 ＝ 729( 种 ). 2. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人，但每人参加的项目不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 解　 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有 6 3 ＝ 216( 种 ). 思维升华 (1) 利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 . (2) 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 . 解析　 根据题意，从点 P 处进入后，参观第一个景点时，有 6 个路口可以选择，从中任选一个，有 6 种选法； 参观完第一个景点，参观第二个景点时，有 4 个路口可以选择，从中任选一个，有 4 种选法； 参观完第二个景点，参观第三个景点时，有 2 个路口可以选择，从中任取一个，有 2 种选法 . 由分步计数原理知，共有 6 × 4 × 2 ＝ 48( 种 ) 不同的游览线路 . 跟踪训练 1 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进， Q 点处出，沿图中线路游览 A ， B ， C 三个景点及沿途风景，则不同 ( 除交汇点 O 外 ) 的游览线路有 ___ 种 .( 用数字作答 ) 48 题型三　两个计数原理的综合应用 多维探究 命题点 1 　与数字有关的问题 例 2 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ______ 个 .( 用数字作答 ) 1 080 故符合题意的四位数一共有 960 ＋ 120 ＝ 1 080( 个 ). 命题点 2 　涂色、种植问题 例 3 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 ___. 96 解析　 按区域 1 与 3 是否同色分类： ① 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2,4,5( 还有 3 种颜色 ) 有 种方法 . ∴ 区域 1 与 3 同色时，共有 4 ＝ 24( 种 ) 方法 . ② 区域 1 与 3 不同色：第一步涂区域 1 与 3 有 种方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂 色方法，第三步涂区域 4 只有 1 种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法 . ∴ 共有 × 2 × 1 × 3 ＝ 72( 种 ) 方法 . 故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为 24 ＋ 72 ＝ 96. 命题点 3 　与几何有关的问题 例 4 (1) 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ____. 36 解析 　 第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 2 × 12 ＝ 24( 个 ) ； 第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 12 个 . 所以正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 ＋ 12 ＝ 36( 个 ). (2) 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个 “ 平行线面组 ”. 在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 平行线面组 ” 的个数是 ____. 48 解析　 长方体的 6 个表面构成的 “ 平行线面组 ” 的个数为 6 × 6 ＝ 36 ， 另含 4 个顶点的 6 个面 ( 非表面 ) 构成的 “ 平行线面组 ” 的个数为 6 × 2 ＝ 12 ， 故符合条件的 “ 平行线面组 ” 的个数是 36 ＋ 12 ＝ 48. 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1) 弄清完成一件事是做什么 . (2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类 . (3) 弄清分步、分类的标准是什么 . (4) 利用两个计数原理求解 . 跟踪训练 2 (1) 建造一个花坛，花坛分为 4 个部分 ( 如图 ). 现要栽种 4 种不同颜色的花 ( 不一定 4 种颜色都栽种 ) ，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 _____ 种 .( 用数字作答 ) 1 2 3 4 108 解析 　 先栽第一块地，有 4 种情况，然后栽第二块地，有 3 种情况，第三块地有 3 种情况，第四块地有 3 种情况，则共有 4 × 3 × 3 × 3 ＝ 108( 种 ) 不同的栽种方法 . (2) 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ____ 个 . 120 故比 40 000 大的偶数共有 72 ＋ 48 ＝ 120( 个 ). 3 课时作业 PART THREE 1. 集合 A ＝ {1,2,3,4,5} ， B ＝ {3,4,5,6,7,8,9} ，从集合 A ， B 中各取一个数，能组成的没有重复数字的两位数的个数为 ___. 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 解析　 根据分步计数原理和分类计数原理得 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有 3 种传递方式 . 由分类计数原理可知，共有 3 ＋ 3 ＝ 6( 种 ) 传递方式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2018· 苏州质检 ) 三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ___ 种 . 6 解析 　 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有 3 种传递方式 ( 如图 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 ___ 种 . 解析 　 根据题意，车的行驶路线起点有 4 种，行驶方向有 3 种， 所以行车路线共有 4 × 3 ＝ 12( 种 ). 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 若自然数 n 使得作竖式加法 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ ( n ＋ 2) 各位数均不产生进位现象，则称 n 为 “ 开心数 ”. 例如： 32 是 “ 开心数 ”. 因为 32 ＋ 33 ＋ 34 不产生进位现象； 23 不是 “ 开心数 ” ，因为 23 ＋ 24 ＋ 25 产生进位现象，那么，小于 100 的 “ 开心数 ” 的个数为 ___. 12 解析　 根据题意知个位数 n 需要满足 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ ( n ＋ 2)<10 ，即 n <2.3 ， ∴ 个位数可取 0,1,2 三个数， ∵ 十位数 k 需要满足 3 k <10 ， ∴ k <3.3 ， ∴ 十位数可以取 0,1,2,3 四个数，故小于 100 的 “ 开心数 ” 共有 3 × 4 ＝ 12( 个 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为 ____. 17 解析　 当所取两个数中含有 1 时， 1 只能作真数，对数值为 0 ， 当所取两个数中不含有 1 时，可得到 ＝ 20( 个 ) 对数，但 log 2 3 ＝ log 4 9 ， log 3 2 ＝ log 9 4 ， log 2 4 ＝ log 3 9 ， log 4 2 ＝ log 9 3. 综上可知，共有 20 ＋ 1 － 4 ＝ 17( 个 ) 不同的对数值 . 解析　 先考虑等边的情况， a ＝ b ＝ c ＝ 1,2 ， … ， 6 ，有六个， 再考虑等腰的情况，若 a ＝ b ＝ 1 ， c < a ＋ b ＝ 2 ，此时 c ＝ 1 与等边重复， 若 a ＝ b ＝ 2 ， c < a ＋ b ＝ 4 ，则 c ＝ 1,3 ，有两个， 若 a ＝ b ＝ 3 ， c < a ＋ b ＝ 6 ，则 c ＝ 1,2,4,5 ，有四个， 若 a ＝ b ＝ 4 ， c < a ＋ b ＝ 8 ，则 c ＝ 1,2,3,5,6 ，有五个， 若 a ＝ b ＝ 5 ， c < a ＋ b ＝ 10 ，则 c ＝ 1,2,3,4,6 ，有五个， 若 a ＝ b ＝ 6 ， c < a ＋ b ＝ 12 ，则 c ＝ 1,2,3,4,5 ，有五个， 故一共有 27 个 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 设 a ， b ， c ∈ {1,2,3,4,5,6} ，若以 a ， b ， c 为三条边的长可以构成一个等腰 ( 含等边 ) 三角形，则这样的三角形有 ___ 个 . 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.2017 年 1 月 27 日，哈尔滨地铁 3 号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街 . 每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为 ___ 种 . 65 解析　 根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街 . 每人只能去一个地方，则每人有 3 种选择，则 4 人一共有 3 × 3 × 3 × 3 ＝ 81( 种 ) 情况， 若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街 . 每人有 2 种选择方法，则 4 人一共有 2 × 2 × 2 × 2 ＝ 16( 种 ) 情况， 故哈西站一定要有人去有 81 － 16 ＝ 65( 种 ) 情况，即哈西站一定有人去的游览方案有 65 种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有 ______ 种 . 4 320 解析　 分步进行： 1 区域有 6 种不同的涂色方法， 2 区域有 5 种不同的涂色方法， 3 区域有 4 种不同的涂色方法， 4 区域有 3 种不同的涂色方法， 6 区域有 4 种不同的涂色方法， 5 区域有 3 种不同的涂色方法 . 根据分步计数原理可知，共有 6 × 5 × 4 × 3 × 3 × 4 ＝ 4 320( 种 ) 不同的涂色方法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有 4 种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为 ___. 96 解析 　 若 A ， D 颜色相同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A ， D 有 3 种涂法，再涂 B 有 2 种涂法， C 只有 1 种涂法，共有 4 × 3 × 2 ＝ 24( 种 ) ； 若 A ， D 颜色不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 2 种涂法，当 B 和 D 相同时， C 有 2 种涂法，当 B 和 D 不同时， C 只有 1 种涂法，共有 4 × 3 × 2 × (2 ＋ 1) ＝ 72( 种 ) ， 根据分类计数原理可得，共有 24 ＋ 72 ＝ 96( 种 ) 不同的涂色方法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设集合 A ＝ { － 1,0,1} ， B ＝ {0,1,2,3} ，定义 A * B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪ B } ，则 A * B 中元素的个数为 ___.( 用数字作答 ) 10 解析　 易知 A ∩ B ＝ {0,1} ， A ∪ B ＝ { － 1,0,1,2,3} ， ∴ x 有 2 种取法， y 有 5 种取法 . 由分步计数原理，知 A * B 中的元素有 2 × 5 ＝ 10( 个 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有 ___ 种 . 25 解析　 根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有 1 种方法； 一个国家粮食，两个国家药品，有 3 种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有 3 种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有 3 种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有 3 种方法； 两个国家粮食，两个国家药品，有 3 × 2 ＝ 6( 种 ) 方法； 三个国家粮食，一个国家药品，有 3 种方法； 三个国家药品，一个国家粮食，有 3 种方法， 故方法总数是 25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 将数字 “ 124467 ” 重新排列后得到不同的偶数的个数为 _____. 240 解析 　 将数字 “ 124467 ” 重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数， ③ 若末位数字为 4 ，因为有 2 个相同数字 4 ，所以共有 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120( 种 ) 情况 . 综上，共有 60 ＋ 60 ＋ 120 ＝ 240( 种 ) 情况 . 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓 . 若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓 . 则不同的固定螺栓方式的种数是 ____. 60 解析　 根据题意，第一个可以从 6 个螺栓里任意选一个，共有 6 种选择方法，并且是机会相等的， 若第一个选 1 号螺栓，第二个可以选 3,4,5 号螺栓，依次选下去，共可以得到 10 种方法， 所以总共有 10 × 6 ＝ 60( 种 ) 方法，故答案是 60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完， 4 个红包中有 2 个 6 元的， 1 个 8 元的， 1 个 10 元的 ( 红包中金额相同视为相同红包 ) ，则甲、乙都抢到红包的情况有 ____ 种 . 36 根据分类计数原理可知，共有 36 种情况 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3443,94249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33 ， … ， 99,3 位回文数有 90 个： 101,111,121 ， … ， 191,202 ， … ， 999. 则 (1)5 位回文数有 _____ 个； 900 解析　 5 位回文数相当于填 5 个方格，首尾相同，且不为 0 ，共 9 种填法，第 2 位和第 4 位一样，有 10 种填法，中间一位有 10 种填法，共有 9 × 10 × 10 ＝ 900( 种 ) 填法，即 5 位回文数有 900 个 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2 n ( n ∈ N * ) 位回文数有 ________ 个 . 9 × 10 n － 1 解析　 根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格 . 结合分步计数原理，知有 9 × 10 n － 1 种填法 . 16. 用 6 种不同的颜色给三棱柱 ABC － DEF 六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 ______ 种 .( 用数字作答 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 520 解析 　 分两步来进行，先涂 A ， B ， C ，再涂 D ， E ， F . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16