2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11

2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11

www.ks5u.com 课时分层作业(十九)　直线与平面垂直 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：‎ ‎①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；‎ ‎②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；‎ ‎③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；‎ ‎④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.‎ 其中正确说法的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ B　[①正确，因为n∥β，α∥β，‎ 所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；‎ ‎②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，‎ 因为m⊥n，则还可能n⊂β；‎ ‎③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则还可能n⊂β，n∥β或n与β相交；‎ ‎④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.]‎ ‎2．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是C‎1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)‎ A．－ B． C．－ D． B　[取B1D的中点O，连接EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，‎ 所以sin∠EBO＝＝，故选B．]‎ ‎3．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)‎ A． B．‎2 C． D．4‎ A　[取A′D的中点N，连接PN，MN.因为M是A′C 的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A．]‎ ‎4．已知ABCDA1B‎1C1D1为正方体，下列结论错误的是(　　)‎ A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1‎ D　[正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；‎ 由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；‎ 由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D‎1C，‎ 因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；‎ 由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D．]‎ ‎5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)‎ A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH B　[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．]‎ 二、填空题 ‎6．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．‎ ‎4　[⇒‎ ⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，‎ ‎∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．]‎ ‎7．如图，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为________．‎ 　[取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E于点F.在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则AB ‎⊥CC1，∵△ABC是等边三角形，∴AB⊥CE.又CE∩CC1＝C，CE⊂平面CC1E，CC1⊂平面CC1E，∴AB⊥平面CC1E.∵CF⊂平面CC1E，∴CF⊥AB．又 AB∩C1E＝E，AB⊂平面ABC1，C1E⊂平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求．在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝，∴C1E＝＝，由C1E×CF＝CC1×CE，得CF＝＝.]‎ ‎8．如图，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：‎ ‎①点H是△A1BD的中心；‎ ‎②AH垂直于平面CB1D1；‎ ‎③AC1与B‎1C所成的角是90°.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎①②③　[①正确，因为AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，‎ 所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，‎ 所以HA1＝HB＝HD，‎ 所以点H是△A1BD的外心，又因为A1B＝BD＝DA1，‎ 所以点H是△A1BD的中心．‎ ‎②正确．易证平面A1BD∥平面CB1D1，‎ 又因为AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.‎ ‎③正确．易证A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B‎1C，所以AC1⊥B‎1C，所以AC1与B‎1C所成的角是90°.]‎ 三、解答题 ‎9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.‎ ‎[证明]　因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，‎ 所以BC⊥平面ABE.‎ 又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC．‎ 因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.‎ 又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，‎ 所以AE⊥平面BCE.‎ 又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.‎ ‎10．如图所示，四边形ABB‎1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点．求证：AC⊥平面BB‎1C．‎ ‎[证明]　因为四边形ABB‎1A1为圆柱的轴截面，‎ 所以BB1⊥底面ABC．‎ 因为AC⊂底面ABC，‎ 所以BB1⊥AC．‎ 因为AB为底面圆的直径，‎ 所以∠ACB＝90°，‎ 所以BC⊥AC．‎ 又因为BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB‎1C，BC⊂平面BB‎1C，‎ 所以AC⊥平面BB‎1C．‎ ‎11．(多选题)如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，则下列结论正确的是(　　)‎ A．AF⊥PB 　 B．EF⊥PB C．AF⊥BC 　　　 D．AE⊥平面PBC ABC　[AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC．‎ 又PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥BC．∵PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC．∵AF⊂平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB，A，C正确．又AE⊥PB，AF∩AE＝A，∴PB⊥平面AEF.∵EF⊂平面AEF，∴EF⊥PB，B正确．假如AE⊥平面PBC，则AE⊥BC．又BC⊥AC，连接EC(图略)，则BC⊥平面AEC，这与BC⊥平面PAC矛盾，D错误．]‎ ‎12．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D． A　[如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE.‎ ‎∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．∵BE⊂平面ADB，∴CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，‎ ‎∴∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．由题意，可知AD＝BD＝，AB＝＝2.设△ADB中，AB边上的高为h，则h＝＝1.由AD·BE＝AB·h，得BE＝，‎ ‎∴sin∠BCE＝＝，故选A．]‎ ‎13．已知平面α，β和直线m，给出下列条件：‎ ‎①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.‎ 当满足条件________时，有m⊥β.‎ ‎②④　[若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.]‎ ‎14．如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②直线BC∥平面PAE；③∠PDA＝45°.‎ 其中正确的有________．(把所有正确的序号都填上)‎ ‎①③　[对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．‎ 对于②，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故②不正确．‎ 对于③，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故③正确．]‎ ‎15．如图所示，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.‎ ‎(1)求证：PA∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：AC⊥平面PBD；‎ ‎(3)求直线BC与平面PBD所成角的正切值．‎ ‎[解]　(1)证明：令AC∩BD＝O，连接OE，如图所示．‎ ‎∵AD＝CD，DB平分∠ADC，‎ ‎∴点O为AC的中点．‎ ‎∵E为PC的中点，∴OE∥PA．‎ ‎∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE.‎ ‎(2)证明：由(1)知AC⊥BD．‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．‎ 又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD．‎ ‎(3)∵AC⊥平面PBD，‎ ‎∴OB即为BC在平面PBD内的射影，‎ ‎∴∠CBO即为直线BC与平面PBD所成的角．‎ 在Rt△CBO中，OC＝，OB＝，‎ ‎∴tan∠CBO＝＝＝，‎ ‎∴直线BC与平面PBD所成角的正切值为.‎