2018届二轮复习利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围学案（全国通用）
利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题
（1）恒成立问题求参数范围：
例1已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
练习1.设函数在及时取得极值（1）求a,b的值,
(2)若对于任意的［0,3］都有成立,求c的取值范围
答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8c
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（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。
例2. 已知函数 (1)时，求函数的单调区间和极值，(2)若函数在［1，4］是减函数，求实数的取值范围
解得：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是（，极小值是
（2）由得依题意所以即又在［1，4］上是减函数，故（4）min
=所以
练习1.已知（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围。（2）求证：
解：（1）
(2)构造函数且则由（1）知当a=-1时，故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)0时，
参考答案:
1.解：1.
2.令
函数的图像恒在直线下方，等价于在区间上恒成立。令得
（1）。若时，在区间上是增函数，在减函数，并且在区间上有，不合题意；
（2）.当时，g(x)在区间上也是增函数，也不合题意；
（3）.若，则有2a-1,此时在区间上是减函数，要使
在此区间上恒成立，只需有此求得a的范围是.
2.解: （Ⅰ）函数的定义域是，
设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为
（4）恒成立问题求参数范围—不等式放缩法
例5.设函数 (1)若a=0,求的单调区间。（2）若当时，，求a的取值范围。
解：（1）在（单调递减，在单调增加。
(2)由（1）知当且仅当x=0时等号成立。故当1-2a0即。
由可得从而当时故当而于是不合题意，故
例6. 设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
练习1.设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的
，恒成立，求m的取值范围。
2.已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.（1解：当
所以曲线处的切线斜率为1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极小值
极大值
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 w.w.w.k. 综上，m的取值范围是
2.（Ⅰ）解：．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
0
2
－
0
＋
0
－
0
＋
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即
，在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．
