2020届二轮复习 高考解题的数学思想 教案
第1讲 数学思想
数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识．在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等．
数学思想的学习与应用主要有以下两个难点： 一是不会从数学思想的角度去分析问题，二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题，但方法欠恰当，想法欠成熟．
一 函数与方程思想
函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点
(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
已知椭圆C1：＋＝1和圆C2：x2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，若两条曲线没有公共点，求r的取值范围．
【解】 思路一：用函数思想来思考．
从C1和C2的方程中消去一个未知数，比如消去x，得到一个关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①
由方程①变形为r2＝－y2＋2y＋10．
把r2＝－y2＋2y＋10看作y的函数．
由椭圆C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，
等价于在定义域为[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域．
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f＝，可得f(y)的值域是r2∈，即r∈，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此， 两条曲线没有公共点的r的取值范围是0
．
思路二：用方程思想来思考．
从C1和C2的方程中消去一个未知数，比如消去x，得到一个关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，
两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0或者没有实数根，或者两个根y1，y2∉[－2，2]．
若没有实数根，则Δ＝4－4(10－r2)<0,
解得r>或r<－(由r>0，知r<－应舍去)．
若两个根y1，y2∉[－2，2]，
设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，则
解得0．
[名师点评] 本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理，或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．
(2019·南通模拟)已知集合M＝{(x，y)|(x＋)(y＋)＝1}，则集合M表示的图形是________．
【解析】 思路一：把式子中的字母x，y看作变量，把等式中出现的代数式看作函数．
等式化为x＋＝＝－y＋．
构造函数f(x)＝x＋(x∈R)，
则上式就是f(x)＝f(－y)，
由于，函数f(x)＝x＋(x∈R)为R上的增函数，则x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．
思路二：构造一个常见的函数g(x)＝lg(x＋)(x∈R)，则g(x)为R上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g(x)＋g(y)＝lg(x＋)＋lg(y＋)＝lg 1＝0．
于是有g(x)＝－g(y)＝g(－y)，因此x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．
思路三：以方程的知识为切入点，
设s＝x＋，t＝y＋，于是，s，t分别是方程s2－2xs－1＝0，t2－2yt－1＝0的正根．由此可得s－2x－＝0，t－2y－＝0，相加得，
s＋t－2(x＋y)－＝0，又st＝1，所以x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．
【答案】 直线
[名师点评] 本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x，y，如果把所给等式进行整理x＋ ＝＝－y＋ ，不难发现能构造函数f(x)＝x＋ (x∈R)来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究，蛮干是不行的． 本题思路三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．
已知m，n是正整数，且1＜m＜n． 证明：(1＋m)n＞(1＋n)m．
【证明】 (1＋m)n>(1＋n)m⇔nln(1＋m)>mln(1＋n)⇔>．
因此，可以构造函数g(x)＝(x≥2)．只要证明
g(x)＝为减函数即可．
由g′(x)＝<0，
则g(x)＝为减函数，由2≤mg(n)，
因而>， 于是，(1＋m)n＞(1＋n)m成立．
[名师点评] 本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些看起来不像函数问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解．
已知α，β，γ都是锐角，且满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1．求α＋β＋γ的值．
【解】 由cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1可得
cos2α＋(2cos βcos γ)cos α＋(cos2β＋cos2γ－1)＝0，看作关于cos α的一元二次方程，
Δ＝4cos2βcos2γ－4(cos2β＋cos2γ－1)＝4sin2βsin2γ，
所以，cos α＝
＝－cos(β±γ)．
因为α，β，γ都是锐角，所以cos α＝－cos(β－γ)应舍去．
因此，cos α＝－cos(β＋γ) ，又因为0<α<，0<β＋γ<π，所以，
α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．
[名师点评] 本题难在不会用方程思想看待这个等式，导致胡乱化简，得不出结果．数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统．
(2019·淮安质检)已知f(x)＝4x＋ax2－x3(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数．
(1) 求实数a的值组成的集合A；
(2) 设关于x的方程f(x)＝2x＋x3的两个非零实数根为x1，x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围； 若不存在，请说明理由．
【解】 (1)f′(x)＝4＋2ax－2x2，由已知，f(x)在区间[－1，1]上是增函数，等价于f′(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立．即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．
记φ(x)＝x2－ax－2．
法一：要使φ(x)≤0对x∈[－1，1]恒成立，只要φmax(x)≤0．
由于x≤时，φ(x)为减函数，x≥时，φ(x)为增函数，因此，
当x＝≤0时，由φ(x)的图象(图1)可以看出，φ(1)最大． 解不等式组得－1≤a≤0，
当x＝>0时，由φ(x)的图象(图2)可以看出，φ(－1)最大． 解不等式组得00，所以方程x2－ax－2＝0有两个非零实根x1、x2．
由x1＋x2＝a，x1x2＝－2得
|x1－x2|＝＝．
本题等价于是否存在m，使不等式m2＋tm＋1≥，①
对a∈A，t∈[－1，1]恒成立．
把看作关于a的函数T(a)＝，则①式等价于m2＋tm＋1≥T(a)max，②
由于a∈A，则T(a)＝≤＝3，从而②式转化为m2＋tm＋1≥3，
即m2＋tm－2≥0，③对t∈[－1，1]恒成立．
又可以把③式的左边看作t的函数．记g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2．④
对m＝0或m≠0分类研究．
若m＝0，④式化为g(t)＝－2≥0，显然不成立；
若m≠0，g(t)是关于t的一次函数，这样，要使g(t)≥0对t∈[－1，1]恒成立，只要g(－1)≥0及g(1)≥0同时成立即可(图3，4)．
解不等式组
得m≤－2或m≥2．
所以存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A，t∈[－1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≤－2或m≥2}．
[名师点评] 本题难点有三：①对题意理解不清；②对所求问题不会恰当转化为函数问题；③计算分类不准确．
二 分类讨论思想
分类讨论的几种情况
(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念．
(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等．
(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分几个部分分类解决．
(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数．
(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决．
(2019·徐州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(an－1＋2an－2)(n＝3，4，…)．数列{bn}满足b1＝1，bn(n＝2，3，…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn＝nanbn(n＝1，2，…)，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解】 (1)由an＝(an－1＋2an－2)得
an－an－1
＝－(an－1－an－2)(n≥3) ，
又a2－a1＝1≠0，
所以数列{an＋1－an}是首项为1，公比为－的等比数列，
an＋1－an＝，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋＋…＋
＝1＋＝－，
由，得b2＝－1，
由，得b3＝1，…
同理可得当n为偶数时，bn＝－1；当n为奇数时，bn＝1；因此bn＝
(2)cn＝nanbn＝
Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn，
当n为奇数时，
Sn＝－
＝－
．
当n为偶数时，
Sn＝
－
＝－－
，
令Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，①
①×得：Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，②
①－②得：Tn＝1＋＋＋＋＋…＋－n
＝－n＝3－(3＋n)，
所以Tn＝9－(9＋3n)
因此Sn＝
[名师点评] 对于(2)中的求解难点有二：一是数列{cn}的通项公式是分段函数，求其前n项和，对n分奇数或偶数的含义是什么要清楚， 当n为奇数时，表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一项是奇数项，而不是指Sn＝c1＋c3＋…＋cn．同样当n为偶数时表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一项是偶数项，而不是指Sn＝c2＋c4＋…＋cn．二是n分奇数或偶数后对括号中数据的观察处理要类比．不然项数和符号都会出错．
设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围．
【解】 当a>0时，f(x)＝a＋2－，
所以或
或
所以a≥1或；
当a<0时，，解得∅；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6,
所以不符合题意，
由以上得，实数a的取值范围是a>．
[名师点评] 本题先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再对每种情况结合二次函数的图象进行分析，在a>0时将对称轴与开区间的关系分三种进行讨论，
即在开区间的左边、右边、中间．本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图象，也可以看成是“数形结合法”的运用．
三 数形结合思想
数形结合思想在高考试题中的六个常考点
(1)集合的运算及Venn图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)．
设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．
【解】 如图，集合M表示以O(0，0)为圆心，半径r1＝a的上半圆，集合N表示以O′(1，)为圆心，半径r2＝a的圆．因为M∩N≠∅，所以半圆O和圆O′有公共点．
当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．
因为|OO′|＝2，
所以外切时，a＋a＝2，a＝＝2－2．
内切时a－a＝2，a＝2＋2．
所以a的最大值为2＋2，a的最小值为2－2．
[名师点评] 本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，既避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．
(2019·泰州摸底)满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
【解析】 以直线AB 为x轴，线段AB的中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，则由AC＝BC，得＝·，
所以(x－3)2＋y2＝8．点C的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，其半径为2．则△ABC
的面积的最大值等于×2×2＝2．
【答案】 2
[名师点评] 从解题的简捷性原则考虑，例1中将“数”的问题有机地结合在“形”中解决，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，建立直角坐标系求解，则问题利于解决．这进一步验证了华罗庚教授的“数缺形时少直观，形少数时难入微”的数学思维典语．
若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
【解】 设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，结合草图可知，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，
那么，即，
解得，即0恒成立，求a的取值范围．
【解】 设log2＝t,
则log2＝log2＝3－t，log2＝－2t．
于是，已知的不等式化为(3－t)x2＋2tx－2t>0．
该不等式对所有实数x恒成立的充要条件是
解得t<0．
即log2<0，进一步解得00，
所以(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，所以m<－．
即当m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．
而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m≥－．
[名师点评] (1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求．
