高一数学必修一小结

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函 数 的 应 用 第三章 本章内容 3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用 第三章 小结 本章小结 本章小结 知识要点 自我检测题 复习参考题 知识要点 返回目录 1. 方程的根与函数的零点 函数 y = f ( x ) 的零点  方程 f ( x ) = 0. 若 f ( a )· f ( b )<0, 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内必有零点 . 若 y = f ( x ) 是区间 [ a , b ] 上的单调函数 , 且 f ( a )· f ( b )<0, 则 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 有且只有一个零点 . 知识要点 2. 用二分法求方程近似根 (1) 求使 f ( a )· f ( b )<0 的单调区间 ( a , b ). (2) 取 a , b 的中点 x 1, 判断 f ( x 1 ) f ( a ) 与 f ( x 1 ) f ( b ) 的正负 . (3) 取积为负的两数的区间 , 判断区间长度是否小于精确度 e . (4) 若满足精确度 , 则取区间内任一数为近似根 ; 若不满足精确度 , 再重复上面的步骤 . 知识要点 3. 几种函数模型的增长特点 x y o 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 y = 2 x y = x 2 y = 2 x y = log 2 x ① x 很小时 , 对数函数 增速最快 , 但是负值 . ② x 很小时 , 直线快于 ③ x 较小时 , 幂函数快 幂函数和指数函数 . 于指数函数 . ④ x 增大到一定数值时 , 指数函数最快 , 对数函数最慢 . “ 直线上升 , 指数爆炸 , 对数增长 .” 知识要点 4. 函数应用 (1) 从图表中获取数据信息 . (2) 求已给函数模型中的常量 , 确定函数 . (3) 根据所获数据的规律建立函数模型 . (4) 画散点图 , 选择函数模型 , 求出所选模型中的常量 , 建立函数式 . 复习参考题 复习参考题 返回目录 复习参考题 A 组 1. 若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0, 16) 、 (0, 8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内 , 那么下列命题中正确的是 ( ) (A) 函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 内有零点 (B) 函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 或 (1, 2) 内有零点 (C) 函数 f ( x ) 在区间 [2, 16) 上无零点 (D) 函数 f ( x ) 在区间 (1, 16) 内无零点 x y o 2 4 8 16 C ∴[2, 16) 上定无零点 . 由题设知 , 零点必在区间 (0, 2) 内 . 分析 : C 选项正确 . 2. 点 P 从点 O 出发 , 按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周 , O 、 P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图 , 那么点 P 所走的图形是 ( ) l x y o O P O P O P O P (A) (B) (C) (D) 分析 : 由图象看出在前半周时 , y 随 x 的增加 而增加 ; 后半周 , y 随 x 的增加而减小 . 由上判断可能选 B 或 C. 而 B 中 , 点 P 在某一边上运动时 , y 随 x 是线性 增长 , 图象应是线段 . 所以应选 C. C 3. 列车从 A 地出发直达 500 km 外的 B 地 , 途中要经过离 A 地 200 km 的 C 地 . 假设列车匀速前进 , 试画出列车与 C 地的距离关于时间的函数图象 . A B C 300 200 解 : 先写出函数关系式 : 设列车的速度为 v km/h, 经过 t h 后列车距 C 地 的距离为 y km. AC 段 : y = 200 - vt , 0≤ vt ≤200. CB 段 : y = vt - 200, 200≤ vt ≤500. 则 t y o 200 300 画函数图象如下 : 4. 设计 4 个杯子的形状 , 使得在向杯中匀速注水时 , 杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象分别与下列图象相符合 . t o h (1) t o h (2) t o h (3) t o h (4) h 随 x 直线型升高 . h 增加先慢后快 . h 增加先快后慢 . h 直线型先慢后快 . 5. 借助计算器或计算机 , 用二分法求方程 2 x 3 - 4 x 2 - 3 x + 1 = 0 的最大的根 ( 精确到 0.01). 解 : 设 f ( x ) = 2 x 3 - 4 x 2 - 3 x + 1, 算得几组函数值如下 : x - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) - 25 - 2 1 - 4 - 5 10 由表知函数在 ( - 1, 0), (0, 1), (2, 3) 内各有一根 , 最大根在 (2, 3) 内 . 区间 中点 f ( 中点 ) 5. 借助计算器或计算机 , 用二分法求方程 2 x 3 - 4 x 2 - 3 x + 1 = 0 的最大的根 ( 精确到 0.01). 解 : 设 f ( x ) = 2 x 3 - 4 x 2 - 3 x + 1, f (2) = - 5<0, (2, 3) 2.5 - 0.25 f (3) = 10<0, (2.5, 3) 2.75 4.09 (2.5, 2.75) 2.625 1.74 (2.5, 2.625) 2.5625 0.70 (2.5, 2.5625) 2.53125 0.21 (2.5, 2.53125) 2.515625 - 0.02 (2.515625, 2.53125) 2.5234375 0.09 (2.515625, 2.5234375) |2.515625 - 2.5234375|≈0.0078 <0.01, 最大根为 x ≈2.52. 6. 借助计算器或计算机 , 用二分法求函数 f ( x ) = lg x 和 f ( x ) = 的交点的横坐标 ( 精确到 0.1). 解 : 交点的横坐标即方程 的根 , 由图象知两函数只有一个交点 . x y o 1 设 f (1) =- 1, f (2)≈ - 0.2, f (3)≈0.14, 于是知交点在 (2, 3) 内 . 6. 借助计算器或计算机 , 用二分法求函数 f ( x ) = lg x 和 f ( x ) = 的交点的横坐标 ( 精确到 0.1). 解 : 设 f (2)≈ - 0.2<0, f (3)≈0.14>0, 区间 中点 f ( 中点 ) (2, 3) 2.5 - 0.002 (2.5, 3) 2.75 0.08 (2.5, 2.75) 2.625 0.04 (2.5, 2.625) 2.5625 0.02 (2.5, 2.5625) <0.1, ∴ 交点的横坐标为 x ≈2.5. |2.5 - 2.5625| ≈0.06 7. 如图 , 有一块半径为 2 的半圆形钢板 , 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 形状 , 它的下底 AB 是⊙ O 的直径 , 上底 CD 的端点在圆周上 . 写出这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数解析式 , 并求出它的定义域 . A B C D O 解 : 作 DE ⊥ AB 于 E , 周长 y = 4 + 2 x + DC 得 DC = 4 - 2 AE . E 在 Rt△ADB 中 , DA 2 = AE · AB , 即 x 2 = 4 AE , P 梯形的腰需大于 0, 而小于如图的 AP , AP = ∴ 定义域为 8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N = N 0 e - l t , 其中 N 0 , l 是正的常数 . (1) 说明函数是增函数还是减函数 ; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数 ; (3) 当 时 , 求 t 的值 . 解 : (1) 函数变为 ∴ 指数型函数 是 ( - ∞, + ∞) 上的 减函数 . 8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N = N 0 e - l t , 其中 N 0 , l 是正的常数 . (1) 说明函数是增函数还是减函数 ; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数 ; (3) 当 时 , 求 t 的值 . 解 : (2) N = N 0 e - l t  当 时 , (3) 9. 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应 . 若公司本次新产品生产开始 x 月后 , 公司的存货量大致满足模型 f ( x ) =- 3 x 3 + 12 x + 8, 那么下次生产应在多长时间后开始 ? 解 : 若存货量大于 0, 则能维持市场供应 ; 反之 , 则不能 , 需进行生产 . ∵ f (1) = 17, f (2) = 8, f (3) = - 37, ∴ 两个月后就应开始生产 . 答 : 下次生产应在两个月后开始 . B 组 1. 经济学家在研究供求关系时 , 一般用纵轴表示产品价格 ( 自变量 ), 而用横轴表示产品数量 ( 因变量 ). 下列供求曲线 , 哪条表示厂商希望的供应曲线 , 哪条表示客户希望的需求曲线 ? 为什么 ? 数量 单价 o 数量 单价 o (A) (B) 答 : 图 (A) 中的 曲线是厂商希望的 . 因为产品数量随着 单价的增加而增大 , 产值就有很大的增加 . 图 (B) 中的曲线是客户希望的 . 因为产品数量随着 单价的降低而增加 , 客户可降低购买成本 . 2. 如图 , △ OAB 是边长为 2 的正三角形 , 记△ OAB 位于直线 x = t ( t >0) 左侧的图形的面积为 f ( t ), 试求函数 f ( t ) 的解析式 , 并画出函数 y = f ( t ) 的图象 . x = t x y o A B C D 解 : 其面积分为三种情况 : 当 0< t ≤1 时 , f ( x ) = 当 1< t ≤2 时 , f ( t ) = S △ OAB - S △ ADC 当 t >2 时 , f ( x ) = 2. 如图 , △ OAB 是边长为 2 的正三角形 , 记△ OAB 位于直线 x = t ( t >0) 左侧的图形的面积为 f ( t ), 试求函数 f ( t ) 的解析式 , 并画出函数 y = f ( t ) 的图象 . x = t x y o A B C D 解 : 其面积分为三种情况 : 当 0< t ≤1 时 , f ( x ) = 当 1< t ≤2 时 , f ( t ) = S △ OAB - S △ ADC 当 t >2 时 , f ( x ) = x y o 得函数的解析式为 : 1 2 画图象如图 : 自我检测题 返回目录 检测题 一、选择题 ( 每小题只有一个正确选项 ) 1. 方程 x-1=lgx 必有一个根的区间是 ( ) (A) (0.1, 0.2) (B) (0.2, 0.3) (C) (0.3, 0.4) (D) (0.4, 0.5) 2. 函数 y= 与函数 y=lgx 的图象的交点的横坐标 ( 精确度 0.1) 约是 ( ) (A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6 3. 如果一个立方体的体积在数值上等于 V, 表面面积在数值上等于 S, 且 V=S+1, 那么这个立方体 的一个面的边长 ( 精确度 0.01) 约为 ( ) (A) 5.01 (B) 5.08 (C) 6.03 (D) 6.05 4. 实数 a, b, c 是图象连续不断的函数 y=f(x) 定义域中的三个数 , 且满足 a0, = 0.5 - lg5 <0, f (0.3) = 0.3 - 1 - lg0.3 = 0.3 - lg3 <0, f (0.2) = 0.2 - 1 - lg0.2 = 0.2 - lg2 <0, f (0.1)· f (0.2)<0. A 2. 函数 y = 与函数 y = lg x 的图象的交点的横坐标 ( 精确度 0.1) 约是 ( ) (A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6 分析 : 两函数图象的交点横坐标 , 即方程 D 3. 如果一个立方体的体积在数值上等于 V , 表面面积在数值上等于 S , 且 V = S + 1, 那么这个立方体的一个面的边长 ( 精确度 0.01) 约为 ( ) (A) 5.01 (B) 5.08 (C) 6.03 (D) 6.05 解 : 设这个立方体的边长为 x , 则 V = x 3 , S = 6 x 2 , 于是得 x 3 = 6 x 2 + 1. 设 f ( x ) = x 3 - 6 x 2 - 1, f (5) = 5 3 - 6 5 2 - 1 =- 26<0, f (6) = 6 3 - 6 6 2 - 1 =- 1<0, f (6.05) = 6.05 3 - 6 6.05 2 - 1≈0.83>0, f (6)· f (6.5)<0. C 4. 实数 a , b , c 是图象连续不断的函数 y = f ( x ) 定义域中的三个数 , 且满足 a < b < c , f ( a )· f ( b )<0, f ( b )· f ( c )<0, 则函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , c ) 上的零点个数为 ( ) (A) 2 (B) 奇数 (C) 偶数 (D) 至少是 2 分析 : f ( a )· f ( b )<0, 知在 ( a , b ) 内有零点 ; f ( b )· f ( c )<0, 知在 ( b , c ) 内有零点 . 各种情况如图 : x y O ( a , f ( a )) ( b , f ( b )) ( c , f ( c )) x y O ( a , f ( a )) ( b , f ( b )) ( c , f ( c )) x y O ( a , f ( a )) ( b , f ( b )) ( c , f ( c )) D 5. 假设银行 1 年定期的年利率为 2%. 某人为观看 2008 年的奥运会 , 从 2001 年元旦开始在银行存款 1 万元 , 存期 1 年 , 第二年元旦再把 1 万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款 , 以后每年元旦都这样存 , 则到 2007 年年底 , 这个人的银行存款共有 ( 精确到 0.01 万元 ) ( ) (A) 7.14 万元 (B) 7.58 万元 (C) 7.56 万元 (D) 7.50 万元 分析 : 2001 年底 : 1 (1 + 2%) = 1.02. 2002 年底 : (1+1.02) (1 + 2%) 2003 年底 : (1 + 1.02+1.02 2 ) (1 + 2%) …… 2007 年底 : 1.02 + 1.02 2 + … + 1.02 6 + 1.02 7 ≈7.58( 万元 ). = 1.02 + 1.02 2 . = 1.02 + 1.02 2 + 1.02 3 . B 6. 若方程 a x - x - a = 0 有两个解 , 则 a 的取值范围是 ( ) (A) (1, + ∞) (B) (0, 1) (C) (0, + ∞) (D)  解 : 原方程变为 a x = x + a , 方程解的个数即为两函数 y = a x 与 y = x + a 的交点 个数 . 当 0< a <1 时 , 如图 : x y O y = a x y = x + a 只有一个交点 , 排除 B, C 选项 . 当 a >1 时 , 如图 : x y O y = a x y = x + a 有两交点 . A 二、 填空题 7. 函数 y = x 2 与函数 y = x ln x 在区间 (0, + ∞) 上增长较快的一个是 . 这里幂函数增长最快 , 如图 . y = x 2 分析 : 8. 若方程 x 3 - x + 1 = 0 在区间 ( a , b ) ( a , b 是整数 , 且 b - a = 1) 上有一根 , 则 a + b = . 解 : 设 f ( x ) = x 3 - x + 1, 估算 f ( 整数 ) 接近于 0 的正负值 , f (0) = 1>0, f ( - 1) = 1>0, f ( - 2) =- 5<0, f ( - 1)· f ( - 2)<0, ∴ b =- 1, a =- 2. - 3 9. 某商品进货单价为 30 元 , 按 40 元一个销售 , 能卖 40 个 ; 若销售单价每涨 1 元 , 销售量减少一个 , 要获得最大利润时 , 此商品的售价应该为每个 元 . 解 : 设涨价 x 元 , (40 + x )(40 - x ) - 30(40 - x ) 利润 y = = - x 2 + 30 x + 400, y 最大 = 625( 元 ). 55 10. 已知图象连续不断的函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) ( b - a = 0.1) 上有唯一零点 , 如果用 “二分法” 求这个零点 ( 精确度 0.0001) 的近似值 , 那么将区间 ( a , b ) 等分的次数至少是 . 分析 : 等分 1 次 , 等分 2 次 , …… 等分 x 次 , 两边取常用对数得 ≈9.97, ∴ 至少要等分 10 次 . 10 三、 解答题 11. 截止到 1999 年年底 , 我国人口约 13 亿 , 如果经过 30 年后 , 我国人口不超过 18 亿 , 那么人口年平均增长率不应该超过多少 ( 精确到 0.01)? 解 : 设人口平均增长率为 x , 则 13(1 + x ) 30 ≤18, ≈0.005, 1 + x ≤10 0.005 ≈1.01, x ≤0.01. 答 : 人口年平均增长率不应该超过 1%. 12. 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市 . 通过市场调查 , 得到西红柿种植成本 Q ( 单位 : 元 /10 2 kg) 与上市时间 t ( 单位 : 天 ) 的数据如下表 : (1) 根据上表数据 , 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系 . Q = at + b , Q = at 2 + bt + c , Q = a log b t . (2) 利用你选取的函数 , 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 . 150 108 150 种植成本 Q 250 110 50 时间 t 解 : 而 Q = at + b 和 Q = a log b t 在 (0, + ∞) 上是关于 t 的单调函数 , 根据表中数据 , 在 [50, 250] 上 , 函数不单调 , ∴ 只有 Q = at 2 + bt + c 较能描述 Q 与 t 的变化关系 . (1) 12. 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市 . 通过市场调查 , 得到西红柿种植成本 Q ( 单位 : 元 /10 2 kg) 与上市时间 t ( 单位 : 天 ) 的数据如下表 : (1) 根据上表数据 , 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系 . Q = at + b , Q = at 2 + bt + c , Q = a log b t . (2) 利用你选取的函数 , 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 . 150 108 150 种植成本 Q 250 110 50 时间 t 解 : 将表中三组数据代入 Q = at 2 + bt + c 得方程组 (2) 12. 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市 . 通过市场调查 , 得到西红柿种植成本 Q ( 单位 : 元 /10 2 kg) 与上市时间 t ( 单位 : 天 ) 的数据如下表 : (1) 根据上表数据 , 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系 . Q = at + b , Q = at 2 + bt + c , Q = a log b t . (2) 利用你选取的函数 , 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 . 150 108 150 种植成本 Q 250 110 50 时间 t 解 : 将表中三组数据代入 Q = at 2 + bt + c 得方程组 (2) 解得 即函数为 Q = 0.005 t 2 - 1.5 t + 212.5. Q 最小 = 100 ( 元 /10 2 kg). 答 : 上市天数为 150 天时 , 种植成本最低为 100 元 /10 2 kg. 完 耶！这本书完了！ ……………………………