2018届二轮复习不等式问题学案（江苏专用）

2018届二轮复习不等式问题学案（江苏专用）

专题3：不等式问题（两课时）‎ ‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1． 解下列不等式：‎ ‎（1）－3x2＋4x＋4＞0；（2）≤2；（3）4x－3·2－8≤0；（4）ax2－ax＋1＜0.‎ 答案：（1）(－，2)；（2） (－∞，－4]∪(－1，＋∞)；（3）(－∞，]；‎ ‎（4）当0≤a≤4时，解集为Æ；当a＞4时，＜x＜；‎ ‎ 当a＜0时，x＞或x＜．‎ ‎2．(1)已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为________．‎ ‎(2)若不等式x2＋(m－4)x＋4－2m＞0对于一切m∈[－1，1]恒成立，则x的取值范围是________．‎ ‎ (3)已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，其中k为常数．‎ 若对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，则k的取值范围为 ；‎ 若对任意的x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，则k的取值范围为 ．‎ 答案：(1)[－3，1]；(2) (－∞，1)∪(3，＋∞)；(3) k≥45； k≥141．‎ ‎3．（1）已知正数x，y满足xy＝1，求2x＋y的最小值是_____________.‎ ‎（2）已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值是______________.‎ ‎（3）若函数f(x)＝x＋，若 x＞0，则函数的最小值是_________；若x＞3，则函数的最小值是_________.‎ ‎（4）若x＞－2，则函数y＝的最小值是 .‎ ‎（5）已知x＞0，y＞0 ，且＋＝1，则x＋y的最小值为 ．‎ 答案：（1）2；（2）．（3）2，；（4）－3；（5）16；‎ ‎4．设x，y满足约束条件 ，则 ‎(1) z＝x＋2y的最小值为 ；(2)z＝2x－y的最大值为 ； ‎ ‎(3) z＝x2＋2x＋y2的最大值为 ；(4) z＝的最大值为 ．‎ 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)．‎ 二、方法联想 ‎1．解不等式问题 ‎(1)一元二次不等式的解法 ‎ 方法 借助二次函数的图象，‎ ‎ 步骤:①求对应方程的根；②作出对应二次函数的图象(关注根与开口方向)；‎ ‎③根据图象及不等号写解集．‎ ‎(2)分式不等式的解法：‎ 方法:转化为一元二次不等式来解．‎ ‎ ① ＞0等价于f(x)g(x)＞0； ＜0等价于f(x)g(x)＜0．‎ ‎② ≥0等价于f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； ≤0等价于f(x)g(x)≤0且g(x)≠0．‎ 注意 考虑分母不为0的情况．‎ ‎(3)指(对)数不等式的解法 ‎ 方法1：转化为同底的指(对)数，借助于指(对)数函数的单调性，转化为代数不等式；‎ ‎ 方法2：换元转化为代数不等式求解 ‎(4)与分段函数的有关的解不等式 ‎ 方法1：分区间讨论，再求各部分的并集；‎ ‎ 方法2：图象法．‎ ‎(5)已知不等式的解集，求参数的值或范围 ‎ 方法：转化为已知对应方程的根，求系数问题 如：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，则α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0．‎ ‎2．不等式恒成立问题 ‎（1）若不等式的左右都是相同的变量x，如：对"x∈D，f(x)≤g(x)恒成立．‎ 方法1 分离变量法(优先)．‎ 方法2 设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的最值问题．‎ 方法3 构造两个函数的图象判断位置关系．‎ 方法4 转化为二次函数图象问题．‎ 方法5 转化为一次函数图象问题．‎ 技巧 可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．‎ ‎（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对"x1∈D1，"x2∈D2， f(x1)≤g(x2)恒成立，‎ 则f(x)max≤g(x)min．‎ 说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反．‎ ‎3．基本不等式求最值 方法1：直接型 运用不等式一步求出函数的最大值或最小值；‎ 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．‎ 三个不等式关系：‎ ‎ （1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ （2）a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ （3）a，b∈R，≥()2，当且仅当a＝b时取等号．‎ 上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．‎ 其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，‎ 所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．‎ 方法2：间接型 运用不等式构造一个新的不等式，再解不等式即可．‎ ‎ 变式：已知x＞0，y＞0 ，且＋＝1，则xy的最小值为 ．‎ ‎(答案:36)‎ 方法3：双勾函数f(x)＝x＋（其中a＞0，x＞0）型 ‎（1）对定义域的限制，产生的变式问题；‎ ‎（2）形如f(x)＝ (或f(x)＝)型；‎ ‎（3）形如|＋|型．‎ 方法4：形如(ax＋by)(＋)型，其中a，b，m，n，x，y均为正数．‎ ‎4．利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．‎ 变式1：已知三个正实数a，b，c满足b＜a＋c≤2b，a＜b＋c≤2a，则的取值范围是______.‎ ‎(答案：(，)，考查如何将多元函数问题的值(或最值)转化为线性规划问题)‎ 三、例题分析 例1：设函数f(x)＝x2＋ax＋3．‎ ‎（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围．‎ 答案：（1）－6≤a≤2． （2）－7≤a≤2．（3）x≤－3或x≥0．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．不等式恒成立问题 方法1：f(x)≥0，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值．‎ ‎(求最值时，可能要对参数进行讨论)；‎ 方法2：变量分离，转化为求函数的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥a．‎ 方法3：根据函数的图象和几何意义采用数形结合法.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ 本题属于不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理．第二问是二次不等式对x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．第三问是根据a的范围求x的范围，可将函数视为关于a的一次函数.‎ 例2：（1）正数a、b满足a2＋b2＝4，则a＋b的最大值是____________．‎ ‎（2）若a2＋b2＝4，则a＋2b的最大值是____________．‎ ‎（3）满足a2＋2b2＝4，则a＋2b的最大值是____________.‎ ‎（4）非负数a、b满足a2＋2b2＝4，则a＋2b的最小值是____________．‎ 答案：（1）2；（2）2；（3）2；（4）2．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎ （1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．利用基本不等式最值．‎ ‎ 方法1：直接选用不等式求最值．‎ ‎ 方法2：消元，再用不等式求最值，或利用函数的方法求最值．‎ ‎ 方法3：利用变量的几何意义求最值．‎ 第(1)题，3种方法均可采用，第(2)(3)(4)用方法1行不通，用方法2时，考虑三角换元的方法进行消元，也可用方法3，利用图形的几何意义来解．‎ ‎ （2）方法选择与优化建议：‎ 不等式是解决一类含有两个变量的最值问题，因此对这样的问题不仅仅是方法的选择，也是一种解题思路的优化．不等式作为解题的基本方法（其实它是一种解题的工具），在求最大值和最小值时，应作为解题的首选方法，不管问题是含有条件的二元函数还是一元函数，都应该首先想到能否运用不等式求解．‎ 例3：(1)已知函数f(x)＝x2－2lnx－m，g(x)＝()x＋m．‎ ‎ ①存在x1∈[1，4]，对任意x2∈[－2，－1]，有不等式f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围；‎ ‎②对任意x1∈[1，4]，对存在x2∈[－2，－1]，使不等式f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围．‎ ‎ (2)对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使不等式x＋x1x2＋x≥2x1＋mx2＋3成立，求实数m的取值范围．‎ 答案：(1)[－，＋∞)； (2) [6－2ln2，＋∞)；(3) (－∞，]．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．不等式恒成立问题(不等式的左右是不相同的变量)．‎ 方法：转化为研究两个函数的最值的关系．‎ 对"x1∈D1，"x2∈D2， f(x1)≤g(x2)恒成立，则f(x)max≤g(x)min．‎ 对$x1∈D1，"x2∈D2， f(x1)≤g(x2)恒成立，则f(x)min≤g(x)min．‎ 对"x1∈D1，$x2∈D2， f(x1)≤g(x2)恒成立，则f(x)max≤g(x)max．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ 第(1)小题转化为研究两个函数最值之间的关系，通过解不等式求出参数的取值范围；‎ 第(2)小题先将含x2的项集中到左边，再求其最小值，然后变成含有x2及参数的不等式，‎ 对x2∈[1，2]有解问题，再用分离参数的方法求解．‎ 四、反馈练习 ‎1.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②‎2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞‎2a2b.其中一定成立的不等式是________. (填写序号)‎ 答案：①②③；(考查不等式的基本性质).‎ ‎2.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________．‎ 答案：27；(考查不等式的基本性质).‎ ‎3.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．‎ 答案：9；(考查一元二次不等式的解集，二次函数与一元二次方程).‎ ‎4. 若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是________.‎ 答案：3； (考查基本不等式求最值).‎ ‎5.已知函数f(x)＝x＋(p为常数且p＞0)，若f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4，‎ 则实数p的值为________．‎ 答案：；(考查基本不等式的应用).‎ ‎6.已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________.‎ 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)； (考查分段函数，解不等式).‎ ‎7.已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，若点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y的最大值为　　　　　.‎ 答案：6；(考查线性规划问题).‎ ‎8.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.‎ 答案：64；(考查基本不等式的应用).‎ ‎9. 已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________.‎ ‎ 答案：[－1，2]. (考查不等式恒成立，解不等式).‎ ‎10.若关于x的不等式(2ax－1)·ln x≥0 对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．‎ ‎ 答案：；(考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系).‎ ‎11.已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根x1＝3，x2＝4.‎ ‎（1）求函数f(x)的表达式；（2）设k＞1，解关于x的不等式f(x)＜.‎ 答案：（1） f(x)＝；‎ ‎（2）当1＜k＜2时，不等式的解集为(1，k)∪(2，＋∞)；‎ 当k＝2时，不等式的解集为(1，2)∪(2，＋∞)；‎ 当k＞2时，不等式的解集为(1，2)∪(k，＋∞).‎ ‎(考查求函数解析式，解含参的关于x的不等式，分类讨论的思想方法).‎ ‎12.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b．‎ ‎（1）解关于a的不等式f(1)＞0；‎ ‎（2）若不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，求实数a，b的值；‎ ‎（3）若不等式f(x)≥b＋4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：（1）x≤－6时，不等式无解；b＞－6时，不等式的解集为{x|3－＜x＜3＋}．‎ ‎ （2） a＝3±，b＝9．‎ ‎（3）实数a的取值范围为[2，4]．‎ ‎(考查解不等式，不等式的解集与方程根的关系，不等式恒成立问题).‎ ‎13.若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.‎ ‎（1）求xy的取值范围；（2）求x＋y的取值范围．‎ 答案：（1）(0，18]；（2）[8－3，30)．‎ ‎(考查基本不等式的应用，函数的单调性).‎ ‎14. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.‎ 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.‎ 设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).‎ ‎(1)求θ关于x的函数关系式；‎ ‎(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？‎ 答案：（1）θ＝(0＜x＜10)； ‎ ‎（2）y＝，(0＜x＜10)；当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．‎ ‎(考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题).‎