2020届二轮复习小题考法——不等式课时作业（全国通用）

2020届二轮复习小题考法——不等式课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（二十） 小题考法——不等式 A组——10＋7提速练 一、选择题 ‎1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 　B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选C　由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.‎ ‎2．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选C　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.‎ ‎3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C. D．7‎ 解析：选C　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0] B．[－3,2]‎ C．[0,2] D．[0,3]‎ 解析：选B　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．‎ ‎5．(2018·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ A．－15 B．－9‎ C．1 D．9‎ 解析：选A　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.‎ ‎6．设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1，则m的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－2] B．[－2,0]‎ C．(0,2] D．[2，＋∞)‎ 解析：选A　如图，当x＋y＝1与y＝mx交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.‎ ‎7．已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选B　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故选B.‎ ‎8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极小值，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．9 D．10‎ 解析：选C　由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，则f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故选C.‎ ‎9．(2018·衢州二中交流卷)若实数x，y满足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超过x的最大整数)，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　因为|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根据[x]的具体值进行分类：‎ ‎①当[x]＝－1，即－1≤x<0时，y＝0；‎ ‎②当[x]＝0，即0≤x<1时，|y|≤1，即－1≤y≤1；‎ ‎③当[x]＝1，即1≤x<2时，y＝0.‎ 在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．‎ ＝1＋，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为＝，又由图知取不到最小值，所以∈，故选A.‎ ‎10．(2018·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．[－2，2] D. 解析：选A　法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．‎ 当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－‎ x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.‎ 法二：关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，‎ 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，‎ 令g(x)＝－f(x)－.‎ 当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3‎ ‎＝－2－，‎ 当x＝时，g(x)max＝－；‎ 当x>1时，g(x)＝－－＝－≤－2，‎ 当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，‎ 故g(x)max＝－2.‎ 综上，g(x)max＝－.‎ 令h(x)＝f(x)－，‎ 当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3‎ ‎＝2＋，‎ 当x＝时，h(x)min＝；‎ 当x>1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，‎ 当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，‎ 故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.‎ 故a的取值范围为.‎ 二、填空题 ‎11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－‎3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．‎ 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)‎ ‎12．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________________．‎ 解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．‎ 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)‎ ‎13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x，y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________，z＝2x－y的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z＝2x－y的斜率为2，所以过点A(3,0)时取到最大值6.‎ 答案：1　6‎ ‎14．(2018·杭州二中调研)已知x>3y>0或x<3y<0，则(x－2y)2＋的最小值是________．‎ 解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，当4y＝x，x－2y＝±2时取等号．‎ 答案：8‎ ‎15．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．‎ 解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.‎ 答案：1‎ ‎16．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．‎ 解析：由题知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y，‎ 而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)≤2，因此3x＋y≥13，当且仅当3x＋9＝y＋2，即时取等号．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，则xy＋5x＋4y的最小值为55.‎ 答案：55‎ ‎17．若不等式|‎2a＋b|＋|‎2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，则实数x的取值范围是________．‎ 解析：不等式|‎2a＋b|＋|‎2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因为≥＝＝4，当且仅当(‎2a＋b)(‎2a－b)≥0，即2|a|≥|b|时等号成立，所以的最小值为4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．‎ 答案：[－2,2]‎ B组——能力小题保分练 ‎1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：选D　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.‎ ‎2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋ 的最小值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．2 D．4‎ 解析：选B　依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ ‎∵a>0，b>0，‎ ‎∴当直线z＝ax＋by经过点(2,4)时，z取得最大值6，‎ ‎∴‎2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.‎ ‎∴＋＝(a＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.‎ ‎3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　不等式组表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.‎ ‎4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为(　　)‎ A.＋2 B.－2‎ C．2＋2 D．2－2‎ 解析：选B　由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－‎2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤‎4ac－‎4a2，则≤＝ ‎，又‎4ac－‎4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.‎ ‎5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值为＝2.由得B0(2,3)，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值为|P1B0|＝＝5.‎ 故2≤|PA|＋|AB|≤5.‎ 答案：[2，5]‎ ‎6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x＋y的最大值为15，则实数m＝________；设min{a，b}＝则z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是________．‎ 解析：因为直线x＋y－3＝0与x－3y＋5＝0交于点A(1，2)，而直线x＋my－1＝0过点(1,0)，则当m>0时，不等式组不能构成可行域．当m＝0时，可行域为点A(1,2)，不符合题意．当－>，即－3

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