【数学】2020届一轮复习（文理合用）选修4-4第1讲坐标系作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）选修4-4第1讲坐标系作业

对应学生用书[练案80理][练案69文]‎ 选修4－4　坐标系与参数方程 第一讲　坐标系 ‎1．(2018·江苏高考)在极坐标中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎[解析]　本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．‎ 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，‎ 所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆，‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，‎ 所以直线l过点(4,0)，倾斜角为，‎ 设A(4,0)，则A为直线l与圆C的一个交点．‎ 设另一个交点为B，则∠OAB＝.‎ 连接OB，因为OA为直径，所以∠OBA＝，‎ 所以AB＝4cos＝2.‎ 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ ‎2．(2019·陕西榆林模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(0≤α<π，t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；‎ ‎(2)若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长．‎ ‎[解析]　(1)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，‎ 故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，‎ 故曲线C是抛物线．‎ ‎(2)由题得直线l经过点(1,0)和(0,1)，‎ 故直线l的直角坐标方程是x＋y－1＝0.‎ 联立消去y，得x2－6x＋1＝0.‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝6.‎ 又直线l过抛物线的焦点，‎ 故由抛物线定义，得弦长|AB|＝xA＋xB＋2＝6＋2＝8.‎ ‎3．(2019·河南洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos(θ－)＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎[解析]　(1)由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos(θ－)＝2，‎ 所以ρ2－2ρ(cosθcos＋sinθsin)＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，‎ 即ρsin(θ＋)＝.‎ ‎4．(2017·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解析]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2；y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．‎ 联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．‎ 故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ ‎5．(2019·辽宁模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)若曲线C关于直线l对称，求a的值；‎ ‎(2)若A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－2a－1＝0.‎ 由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 即(x－1)2＋y2＝1，是一个圆，‎ 因为曲线C关于直线l对称，所以圆心(1,0)在直线x＋2y－2a－1＝0上，‎ 所以a＝0.‎ ‎(2)由点A，B在曲线ρ＝2cosθ上，且∠AOB＝，‎ 不妨设A(ρ1，α)，B(ρ2，α－)，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosα＋2cos(α－)＝3cosα＋sinα＝2sin(α＋)≤2，当sin(α＋)＝1，即α＝时取等号，‎ 所以|OA|＋|OB|的最大值为2.‎ ‎6．(2019·湖南模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρsin(α＋)＝2，曲线C1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎[解析]　(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，‎ 将x＝ρcosθ，x2＋y2＝ρ2代入并化简得圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，‎ 则有解得 设点Q的极坐标为(ρ2，θ2)，‎ 则有 解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝，所以线段PQ的长为.‎ ‎7．(2019·海南模拟)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R(2，)．‎ ‎(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．‎ ‎[解析]　(1)由于x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 点R的直角坐标为(2,2)．‎ ‎(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意，可令Q(2，sinθ)，‎ 则|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，‎ 所以|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋)，‎ 当θ＝时，(|PQ|＋|QR|)min＝2.‎ 所以矩形PQRS周长的最小值为4，且P(，)．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程．‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ ‎[解析]　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tanθ＝)．‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎