2020届二轮复习　数列的概念及其表示法课件（全国通用）

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第六章 数 列 §6.1 数列的概念及其表示法 高考理数 考点　数列的概念及其表示 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 知识清单 3.数列的表示法 (1)列举法: a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … ; (2)图象法:数列可用一群孤立的点表示; (3)解析法(公式法):通项公式或递推公式. 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N * (或它的有限子集)为定义域的函数 a n = f ( n ),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数 y = f ( x ),如果 f ( i )( i =1,2,3, … )有意义,那么我们可以得到一个数 列 f (1), f (2), f (3), … , f ( n ), … 5.数列的确定 (1)递推公式的定义 如果已知数列{ a n }的①     第一项     (或②     前几项     ),且从第二项(或第 k +1项, k ∈N * )起的任何一项 a n 与它的前一项 a n -1 (或前几项)间的关系可以 用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列{ a n }的递推公式. (2)通项公式 如果数列{ a n }的第 n 项 a n 与③     序号 n      之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (3)前 n 项和公式 S n = a 1 + a 2 + … + a n 称为数列{ a n }的前 n 项和,由 S n 可求出通项公式 a n .已知 S n , 则 a n =   1.数列的通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系是: a n =   2.由 S n 求 a n 时,要分 n =1和 n ≥ 2两种情况讨论,然后验证两种情况能否用 统一的式子表示,若不能,则分段表示为 a n =   例1    (2017广东湛江一中等四校第一次联考,14)已知数列{ a n }的前 n 项 和为 S n ,且 a 1 =1, a n +1 =2 S n ,则数列{ a n }的通项公式为 　　　　　　     . 利用 S n 与 a n 的关系求通项公式 方法 1 方法技巧 解析　当 n ≥ 2 时 , a n =2 S n -1 , ∴ a n +1 - a n =2 S n -2 S n -1 =2 a n , 即 a n +1 =3 a n , ∴ 数列 { a n } 的第 2 项及以后各项构成等比数列 , a 2 =2 a 1 =2, 公比为 3,∴ a n =2· 3 n -2 , n ≥ 2, 当 n =1 时 , a 1 =1, ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n =   答案     a n =   易错警示    利用 a n = S n - S n -1 求通项时,应注意 n ≥ 2这一前提条件. 由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如 a n +1 = a n + f ( n ),常用累加法,即利用 a n = a 1 +( a 2 - a 1 )+( a 3 - a 2 )+ … +( a n - a n -1 ) ( n ≥ 2, n ∈N * )求解. (2)形如 a n +1 = a n · f ( n ),常用累乘法,即利用 a n = a 1 ·   ·   · … ·   ( n ≥ 2, n ∈N * )求解. (3)形如 a n +1 = ba n + d ( b ≠ 1),常用构造等比数列法. 对 a n +1 = ba n + d 变形得 a n +1 + x = b ( a n + x )   ,则{ a n + x }是公比为 b 的等 比数列,利用它可求出 a n . (4)形如 a n +1 =   ,将其变形为   =   ·   +   . 由递推公式求数列的通项公式 方法 2 若 p = r ,则   是等差数列,且公差为   ,可用等差数列的通项公式求   , 进而求 a n ; 若 p ≠ r ,则采用(3)的方法来求   ,进而求 a n . (5)形如 a n +2 = pa n +1 + qa n ( p + q =1),常用构造等比数列法. 将 a n +2 = pa n +1 + qa n 变形为 a n +2 - a n +1 =(- q )·( a n +1 - a n ),则{ a n - a n -1 }( n ≥ 2, n ∈N * )是等比数列,且公比为- q ,可以求得 a n - a n -1 = f ( n )( n ≥ 2, n ∈N * ),然后用累加法求 a n . 例2    (2017湖北武汉四月调研,7)已知数列{ a n }满足 a 1 =1, a 2 =   ,若 a n ( a n -1 + 2 a n +1 )=3 a n -1 · a n +1 ( n ≥ 2, n ∈N * ),则数列{ a n }的通项 a n =   (　 B 　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引 解析　由 a n ( a n -1 +2 a n +1 )=3 a n -1 · a n +1 ( n ≥ 2, n ∈N * ), 可得   -   =2   ,   -   =3-1=2, ∴ 数列   是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 , ∴   -   =2 n . ∴   =   +   + … +   +   =2 n -1 +2 n -2 + … +2+1=   = 2 n -1. ∴ a n =   . 故选 B. 1. 作差比较法 : a n +1 - a n >0 ⇔ 数列 { a n } 是单调递增数列 ; a n +1 - a n <0 ⇔ 数列 { a n } 是单调递减数列 ; a n +1 - a n =0 ⇔ 数列 { a n } 是常数列 . 2. 作商比较法 : 当 a n >0 时 ,   >1 ⇔ 数列 { a n } 是单调递增数列 ;   <1 ⇔ 数 列 { a n } 是单调递减数列 ;   =1 ⇔ 数列 { a n } 是常数列 . 当 a n <0 时 ,   >1 ⇔ 数列 { a n } 是单调递减数列 ;   <1 ⇔ 数列 { a n } 是单调递 增数列 ;   =1 ⇔ 数列 { a n } 是常数列 . 3. 结合相应函数的图象直观判断数列的单调性 . 例 3    (2017 湖南湘潭高考数学三模 ,16) 数列 { a n } 满足 a 1 + a 2 + a 3 + … + a n =2 n - 数列的单调性和最大 ( 小 ) 项 方法 3 a n ( n ∈N * ),数列{ b n }满足 b n =   ( a n -2),则{ b n }中的最大项的值是 　         . 解析　由 a 1 + a 2 + a 3 + … + a n =2 n - a n , 得 S n =2 n - a n , 取 n =1, 求得 a 1 =1, 由 S n =2 n - a n , 得 S n -1 =2( n -1)- a n -1 ( n ≥ 2), 两式作差得 a n =2- a n + a n -1 ,∴2 a n = a n -1 +2, 即 a n -2=   ( a n -1 -2)( n ≥ 2). 又 a 1 -2=-1 ≠ 0,∴ 数列 { a n -2} 是以   为公比的等比数列 , 则 a n -2=-1 ×   , 则 b n =   ( a n -2)=   ·   =   , 当 n =1 时 , b 1 =-   , 当 n =2 时 , b 2 =0, 当 n =3 时 , b 3 =   , 当 n =4 时 , b 4 =   , 而当 n ≥ 4时, b n >0,   =   =   <1,得 b n > b n +1 , ∴ b 1 < b 2 < b 3 = b 4 > b 5 > … , ∴{ b n }中的最大项的值是   . 故答案为   . 答案