广东省梅州市蕉岭县蕉岭中学2021届高三第一学期第三次质检数学试题（word版，含解析）

广东省梅州市蕉岭县蕉岭中学2021届高三第一学期第三次质检数学试题（word版，含解析）

1 2020~2021 学年蕉岭中学高三第一学期第三次质检数学试题 命题人： 审题人： 2020.10.27 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合 ( ) A． 22|  xx B． 2,1 C． }2,1,0{ D． }2,1,0,1,2{  2．已知复数 3 1 2z i   (i 是虚数单位)，则 z 的实部为( ) A. 3 5  B. 3 5 C. 1 5  D. 1 5 3．将函数   2sin 2 3f x x      的图象向左平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.   2sin 2 12g x x      B.   2sin 2 6g x x      C.   72sin 2 12g x x      D.   22sin 2 3g x x      4.已知各项都为正数的等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ， 3 5 64a a  ，则 10S 的值 为（ ） A．1023 B．256 C．512 D．2046 5. 已知命题 Rp x : ，cos 1x  ，则（ ） A. : Rp x ￢ ，cos 1x  B. : Rp x ￢ ，cos 1x  C. : Rp x ￢ ，cos 1x  D. : Rp x ￢ ，cos 1x  6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于 2 齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣 于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的 概率为( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 7. 41( )(1 )x xx   的展开式中 x3 的系数为( ) A．-5 B．10 C．5 D．-12 8.已知奇函数   f x 的导函数为  'f x ，当 0x  时，     0xf x f x  ，若    1 1 , , 1a f b ef e c fe e         ，则 , ,a b c 的大小关系正确的是( ) A. a b c  B.b c a  C.  a c b  D.c a b  二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( ) （注：结余=收入－支出） A．收入最高值与收入最低值的比是 3：l B．结余最高的月份是 7 月 C．1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D．前 6 个月的平均收入为 40 万元 3 10.下图是函数 ( ) sin( )f x A x   （其中 0A  ， 0  ，0 | |   ）的部分图象，下列 结论正确的是（ ） A.函数 12y f x      的图象关于原点对称 B.函数  f x 的图象关于点 ,012     对称 C.函数  f x 在区间 ,3 4      上单调递增 D.方程 ( ) 1f x  在区间 23,12 12      上的所有实根之和为 8 3  11．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线交 于 P，Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A．C 的准线方程为 y＝1 B．线段 PQ 长度的最小值为 4 C．M 的坐标可能为(3，2) D．OP→·OQ→＝－3 12. 已知函数 ( )f x 满足：对于定义域中任意 x ，在定义域中总存在t ，使得 ( ) ( )f t f x  成 立．下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A． ( ) 1f x x  B． 4( )f x x C． 1( ) 2f x x   D． ( ) ln(2 1)f x x  三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分。） 13．函数 5( ) lnf x x x  的图象在 1x  处的切线方程为__________。 14.已知向量  2,2a  ，  1,b x ，若  // 2a a b   ，则 b  __________ 。 15．在 ABC△ 中，角 A B C, , 所对的边分别为 a b c, , ， π 3A  ，若 7a  ，且 3BA AC   uur uuur ，则 ABC△ 的周长为_________。 4 16． 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点． 60ABC   ， 2AC  ，P 为球 O 的球 面上的动点，记三棱锥 Р ABC 的体积为 1V ，三棱锥O ABC 的体积为 2V ．若 1 2 V V 的最大 值为 3．则球 O 的表面积为________。 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题 10 分） 在条件①    a b a b cc b    ，② cosn 6si AA      ，③sin sin2 B C A  中任选一个， 补充到下面问题中，并给出问题解答． 在 ABC△ 中，角 A， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 6b c  ， 2 6a  ，________． 求 ABC△ 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18.（本题 12 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ，且数列 1na  是以为2公比的等比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）已知数列 nb 的通项公式为 1 ( 1)nb n n   ，设 n n nc a b  ，求数列 nc 的前n 项和． 5 19.（本题 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD ，E 为 PD 上的动点． （1）确定 E 的位置，使 //PB 平面 AEC ； （2）设 1PA AB  ， 3PC  ，且在第（1）问的结论下，求二面角 D AE C  的余弦 值． 20.（本题 12 分） 中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变.近年来，网络在线学习 已成为重要的学习方式之一.为了解某学校上个月 K ， L 两种网络学习方式的使用情况， 从全校学生中随机抽取了 100 人进行调查，发现 K ，L 两种学习方式都不使用的有 15 人， 仅使用 K 和仅使用 L 的学生的学习时间分布情况如下： （1）用这 100 人使用 K ， L 两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 K ， L 两种学习方式都使用的概率； 6 （2）以频率代替概率从全校仅使用 K 和仅使用 L 的学生中各随机抽取 2 人，以 X 表示这 4 人当中上个月学习时间大于 10 小时的人数，求 X 的分布列和数学期望. 21. （本题 12 分） 已知函数 ( ) xef x x  ， ( ) ln 1g x x  . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）证明： 3 ( ) ( )x f x g x . 22. （本题 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，A ，F 分别为 椭圆的上顶点和右焦点， AOF 的面积为 1 2 ，直线 AF 与椭圆交于另一个点 B ，线段 AB 的中点为 P . （1）求椭圆的方程； （2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线 AF 交于点Q ，求证： 存在常数 ，使得QC QD QA QB      . 7 2020-2021 学年高三级第一学期第三次质检数学答案 一、单选题：1-4 CBBA 5-8DACC 二、多选题： 9．ABC 10.ABD 11.BCD 12.ACD 三、填空题 ： 13.6 5 0x y   14. 2 15． 5 7 16. 2020 1．C 依题意得 ，故选 C． 2．答案：B 解析：∵      3 1 2i3 3 6 i1 2i 1 2i 1 2i 5 5z       ，∴ z 的实部为 3 5 .故选 B. 3.B 函数的周期为 ，将函数  f x 的图象向左平移 1 4 个周期即 4  个单位，所得图象对应的函数为   2sin 2 6g x x      . 4.A 由 3 5 64a a  ，得 2 4 64a  ，又数列 na 的各项都为正数，所以 4 8a  .设等比数列 na 的公比为 q，则 4 33 1 8 21aq a   .所以  10 10 1 1 2 10231 2S    . 5.答案：D 解析：命题 : Rp x  ， cos 1x  ，是一个全称命题 : Rp x ￢ ， cos 1x  ，故选 D. 6 答案：A 解析：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为 a ，b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为 记为 A ， B ，C ， 从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为 Aa ， Ab ， Ac ， Ba ， Bb ， Bc ，Ca ， 8 Cb ，Cc ，根据题设其中 Ab ， Ac ， Bc 是胜局共三种可能， 则田忌获胜的概率为 3 1 9 3  ，故选：A． 7【答案】C【解析】 4(1 )x 的通项为 4 4 41 ( ) ( )1 1r r r r r r rT C x C x     令 2r = ，此时 3x 的系数为 2 2 4( 1) 6C  令 4r  ，此时 3x 的系数为 4 4 4( 1) 1C    则 3x 的系数为 6 1 5  故答案为：C 8. 答案：C 解析：令    g x xf x ，则      ' ' 0g x f x xf x   ，所以  g x 为递增函数， 因为 11e e   ，∴     11g e g g e       ∴     1 11ef e f fe e       ， 又   f x 为奇函数，所以    ef e ef e   ，∴b c a  9．ABC 由图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 3：1，故 A 正确。由图 可知，结余最高为 7 月份，为 80-20=60，故 B 正确。由图可知，1 至 2 月份的收入的变化率为与 4 至 5 月 份 的 收 入 的 变 化 率 相 同 ． 故 C 正 确 。 由 图 可 知 ， 前 6 个 月 的 平 均 收 入 为 45)605030306040(6 1  万元，故 D 错误。 10.ABD【解析】由已知， 2A  ， 2 5 4 3 12 4 T      ，因此T  ，∴ 2 2   ， 所以 ( ) 2sin(2 )f x x   ，过点 2 , 23     ， 因此 4 3 23 2 k     ， k Z ，又 0 | |   ， 所以 6   ，∴ ( ) 2sin 2 6f x x      ， 对 A， 2sin 212y f x x      图象关于原点对称，故 A 正确； 对 B，当 12x   时， 012f      ，故 B 正确； 9 对 C，由 2 2 22 6 2k x k        ，有 3 6k x k      ， k Z 故 C 不正确； 对 D，当 23 12 12x    时，2 [0,4 ]6x    ，所以 1y  与函数  y f x 有 4 个交点令横坐标为 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 1 2 3 1 7 82 26 6 3x x x x           ，故 D 正确. 故选 ABD. 11.BCD.【解析】焦点 F 到准线的距离为 p=2，所以抛物线 C 的焦点为(1，0)，准线方程 为 x=－1，则选项 A 错误；当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小，此时 P(1，2)，Q(1，－2)，所 以|PQ|=4，则选项 B 正确；设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 PQ 的方程为 x=my+1，联立 x=my+1， y2＝2px，消去 y 可得 x2－(4m2+2)x+1=0，消去 x 可得 y2－4my－4=0，所以 x1+x2=4m2+2， y1+y2=4m，当 m=1 时，可得 M(3，2)，则选项 C 正确；又 x1x2=1，y1y2=－4，所以OP→ ·OQ→ ＝x1x2+y1y2=－3，则选项 D 正确；故答案选 BCD. 12【答案】ACD 13．【答案】 6 5 0x y   【解析】由 5( ) lnf x x x  ，得 4 1( ) 5f x x x    ， 所以 (1) 5 1 6f     ，又 (1) 1 ln1 1f    ， 故所求的切线方程为 1 6( 1)y x   ，即 6 5 0x y   ．故答案为： 6 5 0x y   ． 14. 2 因为向量  2,2a  ，  1,b x ，所以  2 4,2 2a b x    ， 因为  // 2a a b   ，所以 4 2 2 2 2 x ，所以 1x  ，所以 2b  . 10 15．答案： 5 7 解析： 3BA AC   uur uuur Q ， cos 3bc A   . π 3A Q 1cos 2A  ， 6bc  . 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc   Q ， 2 2 7b c bc    ，  2 7 3b c bc    ，  2 25b c   ， 5b c   . ABC△ 的周长为 5 7 . 16 如图所示，设 ABC 的外接圆圆心为 1O ，半径为 r，则 1OO  平面 ABC． 设球 O 的半径为 R， 1OO d ，则 2 4 32 sin sin 60 3 ACr ABC     ，即 2 3 3r  ． 1 2 1 3 1 3 P ABC ABC P ABC ABC h S hV V dd S         V V Q 所 以 当 P ， O ， 1O 三 点 共 线 时 ， 1 2 max 3V R d V d        ，即 2R d ． 由 2 2 2R d r  ，得 2 16 9R  ，所以球 O 的表面积 2 644 9S R   ．故答案为： 64 9  四、解答题 16. (本题 10 分) 解：若选①：即 22 2b c a bc   ，-----2 分 所以 2 2 2 co 1 2 2 2s b c a bc bc bA c     ，因为 ,( )0A  ，所以 3A  ---------------5 分 又 2 2 2 2( ) 3a b c bc b c bc      ， 11 2 6a  ， 6b c  ，所以 4bc  ，所以 1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS bc A     △ ．----------10 分 若选②： cosn 6si AA      ，化简得 3 1sin cos sin2 2A A A  ， 即 3tan 3A  ，因为 0 A   ，所以 6A  ．·····································································5 分 又因为 2 2 2 2 cos 6a b c bc    ， 所以 2 2 2 2( ) 6 (2 6) 2 3 2 3 b c abc       ，即 24 12 3bc   ， 所以  1 1 1sin 24 12 3 6 3 32 2 2ABCS bc A      △ ．·················································· 10 分 若选③： sin sin2 B C A  ，因为 B C A   ，所以 cos 2sin cos2 2 2 A A A ， 因为 0 A   ， 0 2 2 A   ，所以 cos 02 A  ， ∴ 1sin 2 2 A  ， 2 6 A  ，所以 3A  ．----------------5 分 又 2 22 2( ) 3a b c bc b c bc      ， 2 6a  ， 6b c  ，所以 4bc  ， 所以 1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS bc A     △ ．-------------------------10 分 18．（本题 12 分）解： 12 （1）∵ 1 2na   ， ∴数列{ 1}na  是首项为 2，公比为 2 的等比数列，--------------------- 2 分 ∴ 11 2 2 2n n na     ， ∴ 2 1n na   ．------------------5 分 （2）设数列 na 、 nb 的前 n 项和分别为 nS 、 nT ，则  1 2 3 12(1 2 )2 2 2 2 2 21 2 n n n nS n n n           ，··············································7 分 ∵ 1 1 1 ( 1) 1n n n n nb     ，····························································································· 9 分 ∴ 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1nT n n n                                 ，···········································11 分 所以数列 nc 的前 n 项和为： 1 11 12 2 1 2 21 1 n n n nS T n nn n             ················ 12 分． 19.（本题 12 分） 解：（1）E 为 PD 的中点．---------1 分 证明：连接 BD ，使 AC 交 BD 于点 O，取 PD 的中点为 E，连接 EO ，----2 分 ∵O，E 分别为 BD ， PD 的中点， ∴ / /OE PB ．又OE  平面 AEC ， PB  平面 AEC ， ∴ / /PB 平面 AEC ----------5 分 （2）分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， (0,0,0)A ， (0,1,0)D ， 1 10, ,2 2E     ， (1,0,0)B ， (1,1,0)C ，--------7 分 13 ∴ 1 10, ,2 2AE       ， (1,1,0)AC  ，∴平面 DAE 的法向量为 (1,0,0)AB  ． 设平面 AEC 的法向量为 ( , , )n x y z ， 由 1 1, 0,2 2 0, n AE y z n AC x y            令 1x  ，则 1y   ， 1z  ，∴ (1, 1,1)n   ，-----------10 分 由图可知二面角 D AE C  的平面角为锐角 ∴二面角 D AE C  的平面角的余弦值为 3cos 3| | | | AB n AB n         ．----------12 分 20. （本题 12 分） （1）记：该学生上个月 K ， L 两种学习方式都使用为事件 A . 由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：100 30 35 15 20    人， 该学生上个月 K ， L 两种学习方式都使用的概率   20 1 100 5P A   .----------4 分 （2）由题意可知，仅使用 K 学习方式的学生中，学习时间不大于 10 小时的人数占 1 2 ，时间大于 10 小时的人数占 1 2 ，仅使用 L 学习方式的学生中，学习时间不大于 10 小时的人数占 3 5 ，时间大于 10 小时的人数占 2 5 ， X 可能的取值为 0，1，2，3，4.------6 分   2 21 3 90 2 5 100P X              ，   2 2 21 3 1 3 2 30 31 2 22 5 2 5 5 100 10P X                          ， 14   2 2 2 2 21 3 1 3 2 1 2 372 2 22 5 2 5 5 2 5 100P X                                       ，   2 2 21 3 2 1 2 200 13 2 22 5 5 2 5 100 5P X                          ，   2 21 2 4 14 2 5 100 25P X               .---------------------------9 分 ∴ X 的分布列： X 0 1 2 3 4 P 9 100 3 10 37 100 1 5 1 25 数学期望   9 3 37 1 10 1 2 3 4 1.8100 10 100 5 25E X            .-------------12 分 21. （本题 12 分） （1） ( )f x 定义域为 ( ,0) (0,+ )x   ，由题易知 2 ( 1)'( ) xx ef x x  ，------------2 分 当 ( ,0) (0,1)x   时， '( ) 0f x  ，当 (1, )x  时， '( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 的单调递减区间为 ( ,0) (0,1) ， ，单调递增区间为 (1, ) .-------4 分 （2） g( )x 的定义域为 (0, ) ，要证 3 ( ) ( )x f x g x ，即证 3 ln 1xe x x x  .------5 分 由（1）可知 ( )f x 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，所以 ( ) (1)f x f e  .---7 分 设 3 ln 1( ) xh x x  ， 0x  ，因为 4 2 3ln'( ) xh x x   ， 15 当 2 3(0, )x e   时， '( ) 0h x  ，当 2 3( , )x e    时， '( ) 0h x  ，-----10 分 所以 ( )h x 在 2 3(0, )e  上单调递增，在 2 3( , )e   上单调递减，所以 2 2 3( ) ( ) 3 eh x h e    ， 而 2 3 ee  ，所以 3 ( ) ( )x f x g x .----------------12 分 22. （本题 12 分） （1）因为椭圆的离心率为 2 2 ，所以 2 2 2 2 a b a   ，即 2 22a b ， 2 2 2 2c a b b   ，----2 分 所以 (0, )A c ， ( ,0)F c ，所以 21 1 2 2c  ，所以 1c  ，所以椭圆的方程为 2 2 12 x y  .---4 分 （2）由 A、F 两点坐标得直线 AF 的方程为 1y x   ，联立 2 2 1,2 1, x y y x        消去 y 得 23 4 0x x  ， 所以 4 3x  或 0x  ，所以 4 1,3 3B    ，从而得线段 AB 的中点 2 1,3 3P     .所以直线 OP 的斜率为 1 0 13 2 203    .-----------7 分 设直线l 的方程为 1 ( 0)2y x t t   .联立 1 ,2 1, y x t y x        得 2 2 ,3 2 1.3 tx ty     所以点的坐标为 2 2 2 1,3 3 t t      . 所以 2 2 2 2,3 3 t tQA        ， 2 2 2 2,3 3 t tQB        .所以 28 ( 1)9QA QB t    . 16 联立 2 2 1,2 1 ,2 x y y x t       消去 y 得 2 23 2 2 2 02 x tx t    ， 由已知得 24(3 2 ) 0t    ，又 0t  ，得 6 6,0 0,2 2t                设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ，则 1 1 1 2y x t  ， 2 2 1 2y x t  ， 1 2 4 3 tx x   ， 2 1 2 4 4 3 tx x  ------9 分 所以 1 1 2 2 2 1,3 3 t tQC x y        1 1 2 2 1 1,3 2 3 t tx x       ， 2 2 2 2 1 1,3 2 3 t tQD x x        ， 故 1 2 2 2 2 2 3 3 t tQC QD x x             1 2 1 1 1 1 2 3 2 3 t tx x          1 2 1 2 5 5 5 ( )4 6 tx x x x   25( 1) 9 t   25 4 4 5 5 4 4 3 6 3 t t t    25( 1) 9 t  25 8 ( 1)4 9 t   . 所以 5 4QC QD QA QB      .所以存在常数 5 4   ，使得QC QD QA QB      .---------12 分 17