2018届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想课件（全国通用）

2018届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想课件（全国通用）

第 1 讲　函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 　 函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中 . 1. 函数与方程思想的含义 (1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法 . (2) 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 . 2. 函数与方程的思想在解题中的应用 (1) 函数与不等式的相互转化，对于函数 y ＝ f ( x ) ，当 y ＞ 0 时，就转化为不等式 f ( x ) ＞ 0 ，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 . (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 . (3) 解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 . 3. 数形结合是一个数学思想方法，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： (1) 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质； (2) 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 . 4. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围 . 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合 . 热点一　函数与方程思想的应用 [ 微题型 1] 　 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题 探究提高 　 (1) 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题； (2) 函数 f ( x ) ＞ 0 或 f ( x ) ＜ 0 恒成立，一般可转化为 f ( x ) min ＞ 0 或 f ( x ) max ＜ 0 ；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解 . [ 微题型 2] 　 运用函数与方程思想解决数列问题 [ 微题型 3] 　 运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题 探究提高 　 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 ( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 . 热点二　数形结合思想的应用 [ 微题型 1] 　 运用数形结合思想解决函数、方程问题 【例 2 － 1 】 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2( a ＋ 2) x ＋ a 2 ， g ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2( a － 2) x － a 2 ＋ 8 ，设 H 1 ( x ) ＝ max{ f ( x ) ， g ( x )} ， H 2 ( x ) ＝ min{ f ( x ) ， g ( x )}(max{ p ， q } 表示 p ， q 中的较大值， min{ p ， q } 表示 p ， q 中的较小值 ) ，记 H 1 ( x ) 的最小值为 A ， H 2 ( x ) 的最大值为 B ，则 A － B ＝ ________. 可见， A ＝ H 1 ( x ) min ＝ f ( a ＋ 2) ＝－ 4 a － 4 ， B ＝ H 2 ( x ) max ＝ g ( a － 2) ＝ 12 － 4 a . 从而 A － B ＝－ 16. 答案　 － 16 探究提高 　 (1) 用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 . (2) 数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型： ① 研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性 . ② 研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性 . ③ 比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小 . [ 微题型 2] 　 运用数形结合思想解决不等式中的问题 探究提高 　 不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系，故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集 . [ 微题型 3] 　 运用数形结合思想解决解析几何中的问题 【例 2 － 3 】 已知 P 是直线 l ： 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ________. 探究提高 　 在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值 . 1. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 . 2. 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 . 3. 许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量 . 4. 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 . 5. 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的 . 6. 利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 .