2018届二轮复习立体几何解答题综合训练课件（全国通用）

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第八章 立体几何 1.(2014 全国新课标 (Ⅱ)) 如图 , 四棱锥 P — ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 , PA ⊥ 面 ABCD , E 为 PD 的中点 . (1) 证明 : PB ∥ 平面 AEC ; (2) 设 AP= 1, AD= , 三棱锥 P-ABD 的体积 V= , 求 A 到平面 PBC 的距离 . 第 7 节 立体几何解答题综合训练 图 (1) 　　 　 图 (2) 　 　 2.(2013 高考广东卷 ) 如图 (1), 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中 , D , E 分别是 AB , AC 边上的点 , AD = AE , F 是 BC 的中点 , AF 与 DE 交于点 G , 将△ ABF 沿 AF 折起 , 得到如图 (2) 所示的三棱锥 A — BCF , 其中 BC = . (1) 证明 : DE ∥ 平面 BCF ; (2) 证明 : CF ⊥ 平面 ABF ; (3) 当 AD = 时 , 求三棱锥 F — DEG 的体积 V F — DEG . 3. 如图 , 四棱锥 P — ABCD 中 , 四边形 ABCD 为矩形 ,△ PAD 为等腰三角形 , ∠ APD =90°, 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , 且 AB =1, AD =2 .E , F 分别为 PC 和 BD 的中点 . (1) 证明 : EF ∥ 平面 PAD ; (2) 证明 : 平面 PDC ⊥ 平面 PAD ; (3) 求四棱锥 P — ABCD 的体积 . 【 解析 】 (1) 证明 : 连接 AC , 因为四边形 ABCD 为平行四边形 , 所以对角线 AC , BD 的交点就是 F 点 . 在△ APC 中 , E , F 分别为 PC 和 AC 的中点 , 所以有 EF ∥ PA , 又因为 EF ⊄ 平面 PAD , AP ⊂ 平面 PAD , 所以 EF ∥ 平面 PAD. (2) 证明 :∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , 平面 PAD ∩ 平面 ABCD=AD , 又 CD ⊥ AD. 由面面垂直的性质定理可以得到 : CD ⊥ 平面 PAD , ∵ CD ⊂ 平面 ABCD ,∴ 平面 PDC ⊥ 平面 PAD. (3) 过 P 作 PM ⊥ AD , 由平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , 平面 PAD ∩ 平面 ABCD=AD , 得到 PM ⊥ 平面 ABCD , 所以 PM 为四棱锥 P-ABCD 的高 ;△ PAD 为等腰三角形 ,∠ APD= 90°, 所以 PM= 1, 所以 4.(2014 深圳一模 ) 如图 (1), 在四边形 ABCD 中 ,∠ A= 90°,∠ B= 135°,∠ C= 60°, AB=AD , M , N 分别是边 AD , CD 上的点 , 且 2 AM=MD ,2 CN=ND , 如图 (1), 将△ ABD 沿对角线 BD 折叠 , 使得平面 ABD ⊥ 平面 BCD , 并连接 AC , MN ( 如图 (2)) . (1) 证明 : MN ∥ 平面 ABC ; (2) 证明 : AD ⊥ BC ; (3) 若 BC= 1, 求三棱锥 A-BCD 的体积 . 图 (1) 　　 　图 (2) 　　 5.(2015 福建文科 ) 如图 , AB 是圆 O 的直径 , 点 C 是圆 O 上异于 A , B 的点 , PO 垂直于圆 O 所在的平面 , 且 PO = OB =1 . (1) 若 D 为线段 AC 的中点 , 求证 AC ⊥ 平面 PDO ; (2) 求三棱锥 P — ABC 体积的最大值 ; (3) 若 BC= , 点 E 在线段 PB 上 , 求 CE + OE 的最小值 . 【 解析 】 (1) 证明 : 在△ AOC 中 , 因为 OA=OC , D 为 AC 的中点 , 所以 AC ⊥ OD. 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面 , 所以 PO ⊥ AC. 因为 DO ∩ PO=O , 所以 AC ⊥ 平面 PDO. (2) 因为点 C 在圆 O 上 , 所以当 CO ⊥ AB 时 , C 到 AB 的距离最大 , 且最大值为 1 . 又 AB= 2, 所以△ ABC 面积的最大值为 ×2×1=1. 又因为三棱锥 P-ABC 的高 PO =1, 故三棱锥 P-ABC 体积的最大值为 ×1×1= . (3) 解法一 : 在△ POB 中 , PO=OB= 1,∠ POB= 90°, 所以 PB = 同理 PC = , 所以 PB = PC = BC. 在三棱锥 P-ABC 中 , 将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC'P , 使之与平面 ABP 共面 , 如图所示 . 当 O , E , C' 共线时 , CE+OE 取得最小值 . 又因为 OP=OB , C'P=C'B , 所以 OC' 垂直平分 PB , 即 E 为 PB 中点 . 从而 OC‘ = OE + EC = , 亦即 CE+OE 的最小值为 6 . (2015 湛江上学期调研试题 ) 如图 , 已知棱柱 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是正方形 , 且 AA 1 ⊥ 平面 ABCD , E 为棱 AA 1 的中点 , F 为线段 BD 1 的中点 . (1) 证明 : EF ∥ 平面 ABCD ; (2) 证明 : EF ⊥ 平面 BB 1 D 1 D. 【 证明 】 (1) 连接 AC 交 BD 于 O , 连接 OF , ∵ 底面 ABCD 是正方形 , ∴O 是 BD 的中点 , 又∵ F 为线段 BD 1 的中点 , ∴OF ∥ DD 1 且 OF= DD 1 , ∵ E 为棱 AA 1 的中点 ,∴ OF ∥ AE 且 OF=AE ,∴ 四边形 EFOA 是平行四边形 , ∴ EF ∥ OA ,∵ OA ⊂ 平面 ABCD , 且 EF ⊄ 平面 ABCD ,∴ EF ∥ 平面 ABCD. (2)∵ AA 1 ⊥ 平面 ABCD 且 AA 1 ∥ DD 1 , ∴ DD 1 ⊥ 平面 ABCD , ∴DD 1 ⊥ OA , ∵ BD ⊥ OA 且 BD ⊂ 平面 BB 1 D 1 D , D 1 D ⊂ 平面 BB 1 D 1 D , BD ∩ D 1 D=D , ∴ OA ⊥ 平面 BB 1 D 1 D ,∵ EF ∥ OA ,∴ EF ⊥ 平面 BB 1 D 1 D. 7 . (2013 北京高考 ) 如图 , 在四棱锥 P — ABCD 中 , AB ∥ CD , AB ⊥ AD , CD= 2 AB , 平面 PAD ⊥ 底面 ABCD , PA ⊥ AD , E 、 F 分别是 CD 和 PC 的中点 , 求证 : (1) PA ⊥ 底面 ABCD ; (2) BE ∥ 平面 PAD ; (3) 平面 BEF ⊥ 平面 PCD. 8 . (2011 全国新课标 (Ⅱ)) 如图 , 四棱锥 P — ABCD 中 , 底面 ABCD 为平行四边形 , ∠ DAB= 60°, AB= 2 AD , PD ⊥ 底面 ABCD. (1) 证明 : PA ⊥ BD ; (2) 设 PD=AD= 1, 求棱锥 D — PBC 的高 . 9 . (2012 全国新课标 ( Ⅱ )) 如图 , 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 侧棱垂直底面 , (1) 证明 : 平面 BDC 1 ⊥ 平面 BDC ; (2) 平面 BDC 1 分此棱柱为两部分 , 求这两部分体积的比 . 【 答案 】 　 (1) 证明 : 由已知得 BC ⊥ AC , BC ⊥ CC 1 , CC 1 ∩ AC=C , 所以 BC ⊥ 平面 ACC 1 A 1 , 又因为 DC 1 ⊂ 平面 ACC 1 A , 所以 DC 1 ⊥ BC. 由已知得∠ A 1 DC 1 = ∠ ADC= 45°, 所以∠ CDC 1 = 90°, 即 DC 1 ⊥ DC , 又 DC 1 ⊥ BC , DC ∩ BC=C , 所以 C 1 D ⊥ 平面 DCB , 又 C 1 D ⊂ 平面 BDC 1 , 所以平面 BDC 1 ⊥ 平面 BDC. 10 . (2013 全国新课标 ( Ⅱ )) 如图 , 直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 , D , E 分别是 AB , BB 1 的中点 . (1) 证明 : BC 1 ∥ 平面 A 1 CD ; 11 . (2014 全国新课标 ( Ⅰ )) 如图 , 三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 , 侧面 BB 1 C 1 C 为菱形 , B 1 C 的中点为 O , 且 AO ⊥ 平面 BB 1 C 1 C. (1) 证明 : B 1 C ⊥ AB ; (2) 若 AC ⊥ AB 1 , ∠ CBB 1 =60 ° , BC= 1, 求三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的高 . 12 . (2015 全国新课标 ( Ⅰ )) 如图四边形 ABCD 为菱形 , G 为 AC 与 BD 交点 , BE ⊥ 平面 ABCD , (1) 证明 : 平面 AEC ⊥ 平面 BED ; 考点 :1 . 线面垂直的判定与性质 ;2 . 面面垂直的判定 ;3 . 三棱锥的体积与表面积的计算 ;4 . 逻辑推理能力 ;5 . 运算求解能力 . 13 . (2017 全国新课标 ( Ⅰ )18) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , AB ∥ CD , 且∠ BAP = ∠ CDP= 90 ° . (1) 证明 : 平面 PAB ⊥ 平面 PAD ; 15 . (2017 新课标 ( Ⅲ )19) 如图 , 四面体 ABCD 中 , △ ABC 是正三角形 , AD = CD. (1) 证明 : AC ⊥ BD ; (2) 已知△ ACD 是直角三角形 , AB=BD. 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点 , 且 AE ⊥ EC , 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 . 【 解析 】 　 (1) 证明 : 取 AC 中点 O , 连 OD , OB , ∵ AD=CD , O 为 AC 中点 ,∴ AC ⊥ OD , 又∵△ ABC 是等边三角形 ,∴ AC ⊥ OB , 又∵ OB ∩ OD=O ,∴ AC ⊥ 平面 OBD , BD ⊂ 平面 OBD ,∴ AC ⊥ BD. 16 . (2016 新课标文科 (Ⅰ)) 如图 , 已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形 , PA= 6, 顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D , D 在平面 PAB 内的正投影为点 E , 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1) 证明 : G 是 AB 的中点 ; (2) 在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F ( 说明作法及理由 ), 并求四面体 PDEF 的体积 . 【 解析 】 　 (1) 证明 : 连接 DG , 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D , 所以 AB ⊥ PD , 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E , 所以 AB ⊥ DE , PD ∩ DE=D , 所以 AB ⊥ 平面 PED , 所以 AB ⊥ PG , 已知 PA=PB , 从而 G 为 AB 的中点 . (2) 在平面 PAB 内 , 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 . 理由如下 : 由已知可得 PB ⊥ PA , PB ⊥ PC , 又 EF ∥ PB , 所以 EF ⊥ PA , EF ⊥ PC , 因此 EF ⊥ 平面 PAC , 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 . 连接 CG , 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D , 所以 D 是正三角形 ABC 的中心 .