2019届二轮复习解题技巧直线与圆锥曲线的位置关系学案(全国通用)
第14讲 直线与圆锥曲线的位置关系
专 题 探 究 【p51】
【命题趋势】
1.本部分考查的知识点主要是直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦、弦中点、直线与曲线的切线等问题,有些问题还涉及到代数、几何、三角函数、平面向量等多方面的知识.
2.题型多以解答题为主,由于考查的知识点较综合,所以难度也较大.
3.预计在今年的高考中,对本节的考查仍是热点.主要以解答题形式综合考查直线与圆锥曲线位置关系的判定、求参数取值范围及求最值等问题,难度较大.
【备考建议】
1.复习直线与圆锥曲线公共点个数的问题,一是转化为直线方程与圆锥曲线方程的方程组的解的个数;二是数形结合.在用方程组解的个数问题研究曲线交点个数时,应注意分类讨论的数学思想的应用,如对直线的斜率是否存在,方程中二次项系数是否为0,方程根的符号问题等.
2.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度看,可以分为三类:无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
(1)复习直线与圆锥曲线的相离关系时,常通过求曲线上的点到已知直线的距离的最大值和最小值来解决.
(2)直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于圆或椭圆,表示直线与其相切;对于双曲线,表示直线与其相切或与双曲线的渐近线平行;对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.
(3)直线与圆锥曲线有两个相异的公共点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.
典 例 剖 析 【p51】
探究一 直线与圆锥曲线位置关系的
判定与应用
例1 (1)直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是________.
【解析】相交
由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.
(2)直线l:y=k与曲线x2-y2=1相交于A、B两点,则直线l倾斜角的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.∪
【解析】选B.
因为曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,若直线l:y=k与曲线x2-y2=1相交于A、B两点,则k<-1或k>1,而直线l的斜率存在,所以α∈∪,故选B.
【点评】一般遇到直线与双曲线的位置关系时,注意结合其渐近线分析求解.
例2(1)已知直线l和双曲线-=1相交于A,B两点,线段AB的中点为M.设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OM的斜率为k2,则k1k2=( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.
由题意可设A、B,则点M的坐标为,又点A在双曲线上,又由-=1,得y=,同理y=,因为k1=,k2=,所以k1k2=·===,故选D.
(2)直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D,则的值为( )
A.16 B. C.4 D.
【解析】选B.
由得x2-3x-4=0,
∴xA=-1,xD=4,直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1),
∴|AF|=yA+1=,|DF|=yD+1=5,
∴==.故选B.
探究二 中点弦问题
例3 已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M、N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
【解析】(1)由已知b=4,且=,即=,
∴=,解得a2=20,∴椭圆方程为+=1;
由4x2+5y2=80与y=x-4联立,
消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=,
∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=;
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(x0,y0),
由三角形重心的性质知=2,又B(0,4),
∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得x0=3,y0=-2,
求得Q的坐标为(3,-2);
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=-4,
且+=1,+=1,
以上两式相减得+=0,
∴kMN==-·=-·=,
故直线MN的方程为y+2=(x-3),即6x-5y-28=0.
【点评】中点弦问题求解有两种方法,一是联立方程组,利用根与系数的关系求解;二是“点差法”.本题用的是第一种.
探究三 弦长问题
例4 在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和.
(1)求点P的轨迹C;
(2)设过点F的直线l与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),
则d=4+3|x-2|=x+18, ①
由题设当x>2时,
由①得=6-x, ②
化简得+=1.
当x≤2时由①得=3+x, ③
化简得y2=12x,故点P的轨迹C是椭圆C1:+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1.
(2)如图2所示,易知直线x=2与C1,C2的交点都是A(2,2),
B(2,-2),直线AF,BF的斜率分别为kAF=-2,kBF=2.
当点P在C1上时,由②知=6-x. ④
当点P在C2上时,由③知=3+x. ⑤
若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为y=k(x-3),
(i)当k≤kAF,或k≥kBF,即k≤-2 或k≥2时,直线l与轨迹C的两个交点M(x1,y1),N(x2,y2)都在C 1上,此时由④知|MF|=6-x1,|NF|=6-x2,
从而|MN|=|MF|+|NF|=+=12-( x1+x2),
由得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-108=0,则x1,x2是这个方程的两根,所以
x1+x2=,|MN|=12-(x1+x2)=12-,因为k≤-2或k≥2时,k2≥24,
=12-=12-≤.
当且仅当k=±2时,等号成立.
(ii)当kAF
0,y2>0,根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4.易知F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以·=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=4-5+1+8=8,故选D.
【命题立意】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算,考查数形结合能力、运算求解能力、考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
考题2 [2018·全国卷Ⅲ]已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
【解析】(1)设A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),
则+=1,+=1.
两式相减,并由=k得+·k=0.
由题设知=1,=m,于是k=-. ①
由题设得00,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(1,) D.(1,]
【解析】选B.
因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以10,b>0)的 两条渐近线的交点分别为B、C,若xC是xB与xF的等比中项,则双曲线的离心率等于( )
A. B.
C.2 D.
【解析】选D.
抛物线y2=4ax的焦点为F,双曲线的渐近线方程为y=±x.
由,解得xB=;由,解得xC=,
由题意,x=xB·xF,即=·a,
整理得a=,即b=3a.
所以c===a.
e==.故选D.
4.过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,如果=3,>,∠BFO=,那么的值为( )
A.1 B.
C. D.2
【解析】选A.
如图所示,令|AF|=x,由抛物线的定义知|BE|=3-x,
所以=cos 60°=,解得x=1.故选A.
5.椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,C是AB的中点,O为坐标原点,OC的斜率为,则=________.
【解析】
(点差法)令A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),
作差有a(x1-x2)(x1+x2)=-b(y1-y2)(y1+y2),
kAB===-1.
又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,kOC=,
∴=1,∴==.
6.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A、B,则直线AB恒过定点________.
【解析】(0,2)
设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
抛物线方程变为y=x2,则y′=x,
则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),
化简得,y=x1x-y1,
同理,在点B处的切线方程为y=x2x-y2.
又点Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,
代入得:-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,
则说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=xt-y,即直线AB的方程为:y-2=tx,
故直线AB恒过定点(0,2).
7.在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.
(1)当k=0时,分别求曲线C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
【解析】(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).
又y′=,故y=在x=2处的导数值为,曲线C在点(2,a)处的切线方程
为y-a=(x-2),即x-y-a=0.
y=在x=-2处的导数值为-,
曲线C在点(-2,a)处的切线方程
为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.
故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.
(2)存在符合题意的点.证明如下:
设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
将y=kx+a代入C的方程,得x2-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
从而k1+k2=+
==.
当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.
8.已知曲线C1上任意一点M到直线l:x=4的距离是它到点F距离的2倍;曲线C2是以原点为顶点,F为焦点的抛物线.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F作两条互相垂直的直线l1,l2,其中l1与C1相交于点A,B,l2与C2相交于点C,D,求四边形ACBD面积的取值范围.
【解析】(1)设M(x,y),则由题意有2=,化简得:+=1.
故C1的方程为+=1,易知C2的方程为y2=4x.
(2)由题意可设l2的方程为x=ky+1,代入y2=4x得y2-4ky-4=0,
设C,D,则y1+y2=4k,
所以=+=x1+1+x2+1=k(y1+y2)+4=4(k2+1).
因为l1⊥l2,故可设l1的方程为y=-k(x-1),
代入+=1得x2-8k2x+4k2-12=0,
设A,B,则x3+x4=,x3x4=,
==,
故四边形ACBD的面积为:
S=·====,
(其中t=k2+1≥1,s=4t-1≥3).
设f(s)=s+(s≥3),则f′(s)=1-=>0,故f(s)在单调递增,因此
S=≥=8,当且仅当s=3即k=0等号成立.
故四边形ACBD面积的取值范围为.
9.在平面直角坐标系xOy中,一动圆经过点且与直线x=-相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设P是曲线E上的动点,点B、C在y轴上,△PBC的内切圆的方程为(x-1)2+y2=1,求△PBC面积的最小值.
【解析】(1)由题意可知圆心到点的距离等于点到直线x=-的距离,由抛物线的定义可知,曲线E的方程为y2=2x.
(2)解法一:设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),
直线PB的方程为:(y0-b)x-x0y+x0b=0,
又圆心(1,0)到PB的距离为1,
所以=1,
整理得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0,
所以b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,
所以b+c=,bc=,
依题意bc<0,即x0>2,
则(b-c)2=,
因为y=2x0,
所以|b-c|=,
所以S=|b-c|x0=(x0-2)++4≥8,
当x0=4时上式取得等号,
所以△PBC面积的最小值为8.
解法二:设P(x0,y0),直线PB∶y-y0=k(x-x0),
由题知PB与圆(x-1)2+y2=1相切,则=1,
整理得:
(x-2x0)k2+2(1-x0)y0k+y-1=0,
k1+k2=-,k1k2=,
依题意x0>2,
则|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|=|k1-k2|x0,
又|k1-k2|=,则|yB-yC|=,
所以S=|yB-yC||x0|=(x0-2)++4≥8,
当且仅当x0=4时上式取得等号,
所以△PBC面积的最小值为8.
B组 能力提升
10.直线y=x+1与曲线-=1的公共点个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.
数形结合法.
11.已知点A(-,0),点B(,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k∈________.
【解析】(-∞,-1)∪(1,+∞)
由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则b==1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为y=x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
12.已知动圆C过定点M(0,2),且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)点A为直线l:x-y-2=0上任意一点,过A作曲线C的切线,切点分别为P、Q,求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标.
【解析】(1)设动圆圆心坐标为C(x,y),根据题意得=,
化简得x2=4y.
(2)解法一:设直线PQ的方程为y=kx+b,由消去y得x2-4kx-4b=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,且Δ=16k2+16b,
以点P为切点的切线的斜率为y′=x1,其切线方程为y-y1=x1(x-x1),即y=x1x-x,
同理过点Q的切线的方程为y=x2x-x,
设两条切线的交点为A(xA,yA)在直线x-y-2=0上,
解得,即A(2k,-b),则:2k+b-2=0,即b=2-2k,
代入Δ=16k2+16b=16k2+32-32k=16(k-1)2+16>0,
|PQ|=|x1-x2|=4,
A(2k,-b)到直线PQ的距离为d=,
∴S△APQ=|PQ|·d=4|k2+b|·
=4(k2+b),
当k=1时,S△APQ最小,其最小值为4,此时点A的坐标为(2,0).
解法二:设A(x0,y0)在直线x-y-2=0上,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线x2=4y上,则以点P为切点的切线的斜率为y′=x1,其切线方程为y-y1=x1(x-x1),即y=x1x-y1,
同理以点Q为切点的方程为y=x2x-y2,
设两条切线的交点A(x0,y0),则,点P,Q的坐标均满足方程y0=xx0-y,即直线PQ的方程为:y=x0x-y0代入抛物线方程x2=4y,消去y可得:x2-2x0x+4y0=0.
∴|PQ|=|x1-x2|
=,
A(x0,y0)到直线PQ的距离为d=,
∴S△APQ=|PQ|·d=|x-4y0|·
=(x-4y0)=(x-4x0+8)
=[(x0-2)2+4]
所以当x0=2时,S△APQ最小,其最小值为4,此时点A的坐标为(2,0).