2018届二轮复习 不等式（教师版）学案（全国通用）
第2讲 不等式
函数、导数与不等式
考向预测
1．利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；
2．在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大．
知识与技巧的梳理
1．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法．
①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
2．几个不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．
(2)(a，b∈R)．
(3)≥≥≥(a>0，b>0)．
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
3．利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)．
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值(简记为：和定，
积有最大值)．
4．简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
热点题型
热点一 不等式的性质及解法
【例1】 (1)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2
4} D．{x|00．
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4．
(2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0且f′(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数．
又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，
由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)，
∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是．
答案 (1)C (2)
探究提高 1．解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
2．(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．
(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
【训练1】 (1)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________．
(2)已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________．
解析 (1)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知解之得x∈R．
(2)设y＝，，
故y＝在x∈[2，6]上单调递减，则ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立等价于|a2－a|≤恒成立，化简得
解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2]．
答案 (1)R (2)[－1，2]
热点二 基本不等式
【例2】 (1)(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
(2)(2016·江苏卷改编)已知函数f(x)＝2x＋，若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，则实数m的最大值为________．
解析 (1)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，∴＋＝1(a>0，且b>0)，
则2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8．当且仅当＝，即a＝2，b＝4时上式等号成立．
因此2a＋b的最小值为8．
(2)由条件知．
∵f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
∴对于x∈R恒成立．
又＝f(x)＋≥2＝4，且，
∴m≤4，故实数m的最大值为4．
答案 (1)8 (2)4
探究提高 1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得．
2．特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．
(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．
【训练2】 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A． B． C．8 D．24
(2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2 C．2 D．4
解析 (1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3．∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·(2x＋3y)＝≥(12＋2×6)＝8．当且仅当3y＝2x时取等号．
(2)依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．
∵＋＝，∴≥，即ab≥2，
∴ab的最小值为2．
答案 (1)C (2)C
热点三 简单的线性规划问题
【例3】 (1)(2017·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为( )
A． B．1 C． D．3
(2) (2017·池州模拟)已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝( )
A． B．1 C． D．4
解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合．
(2)解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
∵目标函数z＝2x－3y的最大值是2，
由图象知z＝2x－3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．
由解得A(4，2)，
同时A(4，2)也在直线ax＋y－4＝0上，
∴4a＝2，则a＝．
答案 (1)D (2)A
探究提高 1．线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
2．对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，
所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．
【训练3】 (1)(2017·山东卷)已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
(2)(2017·新乡模拟)若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于( )
A． B．－ C．1 D．
解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
故目标函数z＝x＋2y经过点C(－3，4)时取最大值zmax＝－3＋2×4＝5．
(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，可知目标函数的最优解过点A，由解得A，
∴－＝－3，解得m＝1．
答案 (1)C (2)C
（45分钟）
限时训练
经典常规题
1．(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
【解题思路】 画出可行域，确定取最小值时的点．
【答案】 可行域如图阴影部分所示，
当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，所求最小值为－15．故选A．
2．(2016·山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
【解题思路】 x2＋y2可看做点(x, y)到(0,0)的距离的平方．
【答案】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：
x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，－1)．
由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10．故选C．
3．(2016·全国Ⅲ卷)已知，，，则( )
A．b0，则的最小值为________．
【解题思路】 直接用两次均值不等式，本题恰好能同时取等号．
【答案】 ∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．故填4．
5．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________．
【解题思路】 由于f(x)是分段函数，通过对x进行讨论，求出f(x)＋f 的表达式，进而根据不等式求x的取值范围．
【答案】 当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－1，该式恒成立，
当x>时，，
又x>时，恒成立，
综上可知，不等式的解集为．
故填．
高频易错题
1．(2017·南昌模拟)若正数x，y满足＋＝1，则3x＋4y的最小值是( )
A．24 B．28 C．25 D．26
【解题思路】 “1”的代换法．
【答案】 ∵正数x，y满足＋＝1，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2
＝25，当且仅当x＝2y＝5时取等号．
∴3x＋4y的最小值是25．故选C．
2．(2017·全国Ⅲ卷)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【解题思路】 画出可行域，确定取最小值和最大值时的点．
【答案】 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，
结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
3．已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)
【解题思路】 利用分离参数法分离出m，转化为求最值问题．
【答案】 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因为x＜0，所以m＞＝2x＋．
又2x＋＝－≤－2＝－2．
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，
所以m＞－2．故选C．
4．已知函数那么不等式f(x)≥1的解集为________．
【解题思路】 分类讨论代入不同的函数解析式，进而求出x的范围．
【答案】 当x＞0时，由可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．故填(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．(2017·郴州二模改编)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求实数m的取值范围．
【解题思路】 平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，即表示平面区域与直线x－2y＝2有相交部分．
【答案】 解 先根据约束条件画出可行域(图略)，要使可行域存在，必有m<－2m＋1，要求可行域包含直线y＝x－1上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线y＝x－1的上方，
且(－m，m)在直线y＝x－1的下方，
故得不等式组解之得m<－．
故实数m的取值范围是．
精准预测题
1．(2016·济南十校二模)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【解题思路】 此题作为选择题直接验证答案即可．
【答案】 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
易知A(2，0)，由得B(1，1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z．
∴当a＝－2或－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除
A，故选B．
2．(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
【解题思路】 x2＋y2可看做点(x, y)到(0, 0)的距离的平方，也可利用均值不等式．
【答案】 法一 ∵x≥0，y≥0且x＋y＝1．
∴2≤x＋y＝1，当且仅当x＝y＝时取等号，
从而0≤xy≤，
因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，
所以≤x2＋y2≤1．
法二 可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为．
故填 ．
3．(2017·长郡中 二模)曲线x＝|y－1|与y＝2x－5围成封闭区域(含边界)为Ω，直线y＝3x＋b与区域Ω有公共点，则b的最小值为________．
【解题思路】 y＝3x＋b化为b＝－3x＋y即为目标函数，画出可行域，确定取最小值时的点．
【答案】 作x＝|y－1|与y＝2x－5围成的平面区域如图，
由解得A(6，7)，
平移直线y＝3x＋b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y＝3x＋b在y轴上的截距最小，此时b最小．
∴b＝－3x＋y的最小值为－18＋7＝－11．
故填－11．
4．已知函数f(x)＝．
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
【解题思路】 (1)利用二次不等式的解集与根的关系(2)求f(x)的最大值即可．
【答案】 解 (1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0．
由已知{x|x＜－3或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2．
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－．
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，
故t≥，即t的取值范围是．
5．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放
时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数 关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【解题思路】 (1)根据已知条件列出x，y满足不等式组；(2)确定目标函数，再求出其最优解．
【答案】 解 (1)由已知，x，y满足的数 关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y．
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一簇平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6，3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
