2019届二轮复习 等差数列与等比数列作业（全国通用）
第八章 数列与数学归纳法
第1节 等差数列与等比数列
一、选择题
1.已知数列{an}满足2an=an+1(n∈N*),且前n项和为Sn,则的值为( A )
(A) (B) (C)4 (D)2
解析:由2an=an+1知{an}是等比数列,公比q=2,
===,故选A.
2.等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于( C )
(A)5 (B)6 (C)9 (D)11
解析:等差数列{an}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d,
则an=a1+(n-1)d=(n-3)d,若ak是a6与ak+6的等比中项,即有=a6ak+6,即为(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去),故选C.
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记Sn是数列{an}的前n项和,则S5等于( B )
(A)32 (B)62 (C)27 (D)81
解析:设等比数列{an}的公比为q,由a2,a4+2,a5成等差数列可知,a2+a5=2(a4+2),
即2q+2q4=2(2q3+2),
q+q4=2q3+2,q(1+q3)=2(q3+1),
又等比数列{an}各项均为正数,
所以q>0,从而q=2,S5==62,选B.
4.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3-+a11=0,数列{bn}为等比数列,且b7=a7,则b1·b13等于( A )
(A)16 (B)8 (C)4 (D)25
解析:由a3-+a11=0,得2a7-=0,a7=4,
所以b7=4,b1·b13==16,选A.
5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个实根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于( C )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:设这个方程的四个实根为x1
0,解得0,前n项和为Sn,若2a3,a5,3a4成等差数列,a2a4a6=64,则an= ,Sn= .
解析:因为a2a4a6=64,
所以=64,所以a4=4,
又2a3+3a4=2a5,2×+3×4=2×4×q,
即2q2-3q-2=0,q=-(舍去)或q=2.
a1=,an=×2n-1=2n-2,
Sn==.
答案:2n-2
10.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .
解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=8+6+4+2+0+2+4+…+20=130.
答案:130
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30= ;
解析:法一 设等差数列{an}的公差为d,
由题意可得
解得d=,a1=,
则S30=30×+×=+=60.
法二 因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,
所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),
所以40=10+S30-30,所以S30=60.
答案:60
12.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,Bn=anbn.若A1=1,A2=3,则An= ;若{Bn}为等差数列,则d1d2= .
解析:因为{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,
所以数列{An}是等差数列,又A1=1,A2=3,
所以数列{An}的公差d=A2-A1=2,则An=2n-1;
因为Bn=anbn,且{Bn}为等差数列,
所以Bn+1-Bn=an+1bn+1-anbn
=(an+d1)(bn+d2)-anbn
=and2+bnd1+d1d2
=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2
=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n.为常数.
所以d1d2=0.
答案:2n-1 0
三、解答题
13.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.
解:(1)由已知a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项,
有2a2=a1+(a3-1)=a3,
所以q==2,故an=a1qn-1=2n-1.
(2)由bn=2n-1+an(n∈N*)有bn=2n-1+2n-1,
则Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]
=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1.
14.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.证明数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.
解:在Sn=-an-()n-1+2中,
令n=1,可得a1=S1=-a1-1+2,
解得a1=.
当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2,
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1,
即2an=an-1+()n-1,
所以2nan=2n-1an-1+1.
而bn=2nan,所以bn=bn-1+1,
即当n≥2时,bn-bn-1=1.
又b1=2a1=1,
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列,于是bn=1+(n-1)×1=n,所以an=.
15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围.
解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q,
由题意可得0bn+1,
即(n+2-λ)·()n-4>(n+3-λ)·()n-3,
所以n+2-λ>(n+3-λ),
所以λ
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