百校联盟2020届高三TOP300八月尖子生联考（全国I卷）数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 百校联盟2020届TOP300八月尖子生联考（全国I卷）‎ 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解集合再求交集即可.‎ ‎【详解】因为,,所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了指数与二次方程的求解以及并集的运算,属于基础题.‎ ‎2.已知，，若点满足，则点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先设，由得，再由坐标求解.‎ ‎【详解】设，由得，‎ 即，‎ 所以，‎ - 20 -‎ 解得，‎ 所以点坐标为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎3.已知命题：对，，则为（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题判定即可.‎ ‎【详解】“对,”的否定为“,使得”.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了全称命题的否定为特称命题,属于基础题.‎ ‎4.已知点是角终边上一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点是角终边上一点，利用三角函数的定义求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】由点是角终边上一点，‎ 可得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.‎ ‎5.曲线在处的切线过原点，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导利用导函数的几何意义求解切线斜率,根据切线斜率等于切点到原点的斜率列式求解即可.‎ ‎【详解】由得,由曲线在处的切线过原点,得切线斜率,所以,,所以切线的方程为,即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题.‎ ‎6.直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到，则，然后求得其单调增区间，再根据在上是增函数，由是增区间的子集求解.‎ ‎【详解】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，‎ 所以，，‎ 由，得，‎ 所以在上是增函数，‎ 由，‎ 解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题 ‎7.已知定义在上的奇函数满足，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 的图象关于点对称 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质满足的解析式判断A.再根据奇偶函数分别代换分析BCD即可.‎ ‎【详解】由得的图象关于点对称,选项A正确；‎ 用代换中的,得,‎ 所以选项B正确；‎ 用代换中的,得,选项C错误；‎ - 20 -‎ 用代换中的,得,选项D正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,同时也考查了知识点：若函数关于点对称,则.属于中档题.‎ ‎8.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 即，即，‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理，所以，‎ - 20 -‎ 由的面积公式得 故选：A ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.已知单位向量，满足，若，共线，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算,数形结合分析即可.‎ ‎【详解】设,,,由单位向量,满足,得,‎ ‎,由,共线,得,共线,所以点在直线上,所以当时取得最小值.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及数形结合求解向量中最值的问题,属于基础题.‎ ‎10.已知，，满足，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据，，可得，构造函数，利用导数研究其单调性，比较的大小.‎ 详解】由，，可得，‎ 构造函数，则，‎ 所以在上是减函数，‎ 所以，解得.‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查对数，指数比较大小，还考查了构造函数用导数法研究单调性问题，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，若存在实数，使得，且在上有最小值，没有最大值，则在上的零点个数最少为（ ）‎ A. 1344 B. 1345 C. 1346 D. 1347‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题与在上有最小值,没有最大值,根据三角函数的性质分析可得,再结合三角函数的性质可知当时在上的零点个数再计算即可.‎ ‎【详解】由,且在上有最小值,没有最大值,‎ 不妨令,,‎ 两式相减得,所以的最小正周期,,‎ - 20 -‎ 当时,即时,在上的零点个数最少为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要数形结合根据函数的性质求解对应的周期与相位等.属于中档题.‎ ‎12.设表示不超过的最大整数，若的最小值为，则（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得,根据零点存在定理可知存在,使得,继而可知,在利用极值点满足的关系式代换分析可得即可求得.‎ ‎【详解】由得,‎ 在上为增函数,且,.‎ 所以存在,使得,所以,‎ 易得在上是减函数,上是增函数,‎ 所以.‎ 设,则在上是减函数,‎ 且,.‎ 所以,.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数新定义与求导分析函数的最值以及隐零点的问题,同时也考查了零点存在性定理的运用.属于中档题.‎ - 20 -‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，且，则__________．‎ ‎【答案】或6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义域，分，，两种情况讨论求解.‎ ‎【详解】若，由，得，所以（舍去）或，‎ 若，由，得.‎ 故答案为：或6‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了分类讨论的思想和运算求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎14.__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切的差角公式可知,再代入计算即可.‎ 详解】由可得,‎ 故.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了正切函数的差角公式运用,属于中档题.‎ ‎15.如图所示的平面直角坐标系中，网格小正方形的边长为1，若向量，，满足，且，则_________.‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意利用平面向量的坐标表示分别计算即可.‎ ‎【详解】结合图形得,,,‎ 由得,‎ 解得,,,‎ 由得,即,‎ 所以,所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标线性运算,属于基础题.‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用正弦定理得，再利用两角和的正弦，有，再根据，表示：，，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以，‎ - 20 -‎ 由可得，‎ 所以，，‎ 所以 当时，面积取得最大值3.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知的部分图象如图所示 写出A，，的值直接写出结果；‎ 若，求在上的值域．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的部分图象直接可求得，，和的值； （2）由求得的解析式，化为正弦型函数，再求在上的值域．‎ ‎【详解】解：（1）由的部分图象知， ，解得； ‎ - 20 -‎ ‎； 令， 解得； （2）由（1）知，； 所以； 当时，， 所以， 所以， 即函数在上的值域为．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．‎ ‎18.已知定义域为的函数满足对任意，都有．‎ ‎（1）求证：是偶函数；‎ ‎（2）设时，‎ ‎①求证：在上是减函数；‎ ‎②求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）①证明见解析, ②‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数性质先计算，令即可证明（2）①设，则由通过性质可得出即可证明②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可.‎ ‎【详解】（1）取得，即，‎ 取得，即，‎ 取，得，即是偶函数．‎ ‎（2）①设，则，‎ 由时，得，‎ 则，‎ 即在上为减函数，‎ ‎②由是偶函数且在上是减函数，‎ 则不等式等价为，‎ 即得，得得，‎ 即或或，即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性，单调性证明，利用偶函数及单调性解不等式，属于难题.‎ ‎19.已知中，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ - 20 -‎ ‎（2）若，点在边上，且，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形内角和与正弦的和角公式化简即可.‎ ‎(2) 画图,设,则,在上取一点,使得,再在中利用余弦定理列式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由,得,‎ 即,即,‎ 因为,,所以,所以.‎ ‎（2）如图,设,则,在上取一点,使得,‎ 连接,则.‎ 在中,,,,‎ 由余弦定理得,‎ 即,‎ 所以,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了正弦的和角公式.需要根据题意分析边角关系利用公式求解.属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ - 20 -‎ ‎（2）若时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导可得,再分与两种情况分析函数的极值点与单调性即可.‎ ‎(2)根据(1)中的结论,分,与三种情况分别分析的最小值,并求解对应的的取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）因为,‎ 所以,‎ ‎①当时,,‎ 所以时,时,‎ 故在上是增函数,在上是减函数.‎ ‎②当,由得或,‎ 当,即时,,在上是增函数.‎ 当时，,在,上是增函数,在上是减函数.‎ 当时,,在,上是增函数,在上是减函数.‎ 综上可得,时在上是增函数,在上是减函数；‎ 时，在上是增函数；‎ 当时，在,上是增函数,在上是减函数；‎ 时在,上是增函数,在上是减函数.‎ ‎（2）由（1）知,时,‎ - 20 -‎ 所以当时不恒成立；‎ 当时在上是增函数,‎ 由得,即,解得,所以；‎ 当时在上是减函数,在上是增函数,‎ 所以时,‎ 由得,‎ 所以,,‎ 综上可得,,即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数解决含参函数的单调性问题,同时也考查了根据函数的最值与范围求解参数范围的问题,需要根据题意分情况求函数的最值,再解不等式分析.属于难题.‎ ‎21.中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求，扎实推进社会主义新农村建设，2018年4月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界以及对角线均为绿化区小路（不考虑宽度），，,.‎ ‎ ‎ ‎（1）求四边形的面积；‎ ‎（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.‎ ‎【答案】（1）（m2）（2）900（m）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，分别求和的面积，即可求解；‎ - 20 -‎ ‎（2）由（1）知边长为定值，则在中，可知，根据余弦定理和基本不等式，求解的范围，即可求解.‎ ‎【详解】（1）连接的面积.‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎.又，，，‎ 又，，的面积.‎ 四边形的面积；‎ ‎（2）由已知及（1）可知，，‎ ‎，‎ 可知要使绿化区所有小路长度之和取最大值，应使最大，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 即.‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时取等号.‎ 此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理解三角形的应用，以及三角形面积公式，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若，正数满足，求证：‎ ‎【答案】（1）当时，没有极值；当时，极大值是，没有极小值；（2）证明见解析 - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 求导可得,再分与两种情况求解函数的单调区间与极值即可.‎ ‎(2) 代入条件整理后可得,设,再构造函数,分析的单调性求得最值,进而证明,再代入解二次不等式即可.‎ ‎【详解】（1）因为,‎ 所以,‎ 当时,,在上是增函数,没有极值；‎ 当时,若,则,若,则,‎ 所以在上是增函数,在上是减函数,‎ 所以的极大值是,没有极小值.‎ 综上可得,当时没有极值；‎ 当时的极大值是,没有极小值.‎ ‎（2）若,则,‎ 由得 即,‎ 设,,则,‎ 所以在上是减函数,在上是增函数,‎ - 20 -‎ ‎,‎ 所以,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含参函数的极值讨论问题以及.利用导数分析函数的单调性,并构造函数证明不等式的问题.属于难题.‎ - 20 -‎ - 20 -‎