【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第13课　矩阵的简单应用学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第13课　矩阵的简单应用学案（江苏专用）

第13课__矩阵的简单应用____‎ ‎1. 初步了解三阶或高阶矩阵．‎ ‎2. 了解矩阵的简单问题.‎ ‎1. 阅读：选修42第74～81页. ‎ ‎2. 解悟：①一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达．‎ ‎②矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征值与特征向量计算．‎ ‎③有关数列的递推关系由＝M得到转移矩阵M，因此＝Mn，可利用矩阵的特征值与特征向量的性质求.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第 81页习题第1、2题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 设数列{an}，{bn}满足an＋1＝3an＋2bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M，则二阶矩阵M＝________．‎ ‎2. 设某校午餐有A，B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，第二天再订A便当的概率是；今天订B便当的人，第二天再订B便当的概率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的概率是多少？‎ ‎　范例导航　‎ 考向 Anα(n∈N*)的求法 ‎　　例1　自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，有关系式其中a1＝6，b1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势．‎ 已知矩阵M＝，β＝.‎ ‎(1) 求出矩阵M的特征值和特征向量；‎ ‎(2) 计算M4β，M10β，M100β；‎ ‎(3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？‎ 考向 Anα(n∈N*)在具体应用题中的应用 ‎　　例2　某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问：‎ ‎(1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？‎ ‎(2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位)‎ ‎(3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．‎ 学校餐厅每天供应1 000名学生用餐，每星期一有A，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B菜，而选B菜的，下周星期一会有30%改选A菜，若用An，Bn分别表示在第n个星期一选A，B菜的人数．‎ ‎(1) 若＝M，请写出二阶矩阵M；‎ ‎(2) 若第一周有300人选择A菜，700人选择B菜，试判断其变换趋势．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知矩阵M＝，β＝，计算M6β.‎ ‎2. 已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.　‎ ‎1. 对于二阶矩阵A，它的特征值分别为λ1，λ2，其对应的特征向量分别为α1，α2，若当非零向量β＝mα1＋nα1，则Akβ＝______________．‎ ‎2. 求Anβ的一般步骤为：‎ 第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量α；‎ 第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即________________；‎ 第三步：由公式Anβ＝____________________计算．‎ ‎3. 你还有哪些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 第13课　矩阵的简单应用 ‎　基础诊断　‎ ‎1. 　解析：由题设得＝，设A＝，则M＝A2，所以M＝＝.‎ ‎2. 解析：设M＝，则M3＝＝，故星期四时订A便当同学的概率是.‎ ‎　范例导航　‎ 例1　解析：令β＝＝，M＝，则＝M，‎ 由此可求得矩阵M的特征值λ1＝4，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量为α1＝，α2＝.‎ 假设β＝mα1＋nα2(m，n∈R)，解得m＝n＝2.‎ ＝M＝M2＝…＝M20.‎ M20＝M20β＝M20(2α1＋2α2)＝2M20α1＋2M20α2，‎ 即＝2×420＋2×(－1)20＝.　‎ 因此，20个时段后，种群X，Y的数量分别约为242＋2和3×241－2.‎ 解析：(1) 矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，‎ 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.‎ 所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝，‎ α2＝.‎ ‎(2) 令β＝mα1＋nα2，‎ 则有m＋n＝，‎ 解得m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2，‎ 所以M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝.‎ 同理可得，M10β＝，M100β＝.‎ ‎(3) 当n很大时，可近似的认为 Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.‎ 例2　解析：(1) 从第1个环节转出的信号中，0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000，‎ ‎1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.‎ ‎(2) 数字错转的转移矩阵为A＝，1和0的个数对应列矩阵，于是最终接收端收到的信号中1，0个数对应矩阵A10，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)．‎ 令f(λ)＝0，得到矩阵A的特征值为1或0.5，‎ 将1代入方程组 解得3x－2y＝0，不妨设x＝2，于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.‎ 同理，把λ＝0.5代入上述方程组得x＋y＝0，不妨设x＝1，可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为.‎ 设＝m＋n，‎ 所以解得 所以A10＝3 000×110＋4 000×0.510＝≈，所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个，1约有6 000个．‎ ‎(3) 设修正器的转移矩阵为B＝(0

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