【数学】内蒙古包头市2020届高三第二次模拟试题（理）（解析版）

【数学】内蒙古包头市2020届高三第二次模拟试题（理）（解析版）

内蒙古包头市2020届高三第二次模拟数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎2.设复数，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则的虚部为．‎ 故选：C．‎ ‎3.X表示某足球队在2次点球中射进的球数，X的分布列如下表，若，则（ ）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，可得①，又由②，由①和②可得，，，所以，‎ 故选：D.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,则，‎ 又 故选：B．‎ ‎5.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ 若从集合，中各任取一个数，，‎ 基本事件总数，‎ 为整数包含的基本事件有，，，，‎ ‎，，共有个，‎ 为整数的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎6.已知直线与平面，，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，若，则或与相交，故A不正确；‎ 对于B，若，又，则根据平面与平面垂直的判定定理可得，故B正确；‎ 对于C，若，则或与相交，故C不正确；‎ 对于D，若，则或与为异面直线，或与相交，故D不正确.‎ 故选：B.‎ ‎7.甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，他们获得一、二、三等奖各一人，对于他们分别获得几等奖，其他学生作了如下的猜测：‎ 猜测1：甲获得二等奖，丙获得三等奖；‎ 猜测2：甲获得三等奖，乙获得二等奖；‎ 猜测3：甲获得一等奖，丙获得二等奖；‎ 结果，学生们的三种猜测各对了一半，则甲、乙、丙所获得的奖项分别是（ ）‎ A. 一等、二等、三等 B. 二等、一等、三等 C. 二等、三等、一等 D. 三等、二等、一等 ‎【答案】A ‎【解析】假设猜测1：甲获得二等奖正确，‎ 则猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖错误；与题意矛盾，假设不成立.‎ 故：猜测1：甲获得二等奖错误，丙获得三等奖正确；‎ 根据丙获得三等奖正确得到：‎ 猜测3：甲获得一等奖正确，丙获得二等奖错误；‎ 根据甲获得一等奖正确，得到：‎ 猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖正确，‎ 综上：甲获得一等奖，乙获得二等奖，丙获得三等奖.‎ 故选：A ‎8.过双曲线的左焦点作垂直于实轴的弦，A为E的右顶点.若，则E的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，由题意可得，，‎ 由双曲线的对称性及可得，，解得：，，‎ 所以双曲线的方程为：，‎ 故选：．‎ ‎9.已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）‎ A. 100 B. ‎105 ‎C. 110 D. 115‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数满足，①，‎ ‎②，‎ 由①②可得，‎ ‎，所以数列 是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．‎ 故选：D．‎ ‎10.已知圆柱的高为h，它的两个底面半径为r的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图：‎ 根据题意可得：，则,‎ 所以，则，‎ 当且仅当，即时上式等号成立.‎ 所以，圆柱的侧面积.‎ 即该圆柱的侧面积的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎11.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，由题意可得：‎ ‎，，，，‎ 所以，故，‎ 可得，，，，‎ 利用，则为等腰三角形，所以，，，,可得，可得．‎ 故选：C.‎ ‎12.已知函数是定义在R上连续的奇函数，当时，，且，则函数的零点个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，若，变形可得，‎ 设，‎ 则函数的零点就是方程的根，‎ ‎，其定义域为，‎ 又由为定义在上连续的奇函数，则，‎ 则为上连续的奇函数，‎ ‎，则，‎ 又由当时，，则有，即函数为上的增函数，‎ 又由为上连续的奇函数，且，‎ 则为上的增函数，‎ 又由（1），则（1）（1），则方程只有一个根，‎ 故函数只有1个零点，‎ 故选：B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分题，共20分.‎ ‎13.已知，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，，即，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎14.函数在有且只有3个零点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，.由得，‎ 要使函数在有且只有个零点，‎ 则需，即.所以的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎15.在锐角中，角的对边分别为，已知，且，则锐角面积的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，锐角三角形中，，‎ 即，即.‎ 由正弦定理得，由于，所以.‎ 故，即，‎ 由于，所以，所以，‎ 画出三角形的图象如下图所示，其中，‎ ‎，‎ 由于三角形是锐角三角形，所以在线段内运动（不包括端点），‎ 所以，即.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎16.已知函数，关于函数有下列结论：‎ ‎①，；‎ ‎②函数的图象是中心对称图形，且对称中心是；‎ ‎③若是的极大值点，则在区间单调递减；‎ ‎④若是的极小值点，且，则有且仅有一个零点.‎ 其中正确的结论有________（填写出所有正确结论的序号）.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】易知时，，时，，因此一定存在零点，①正确；‎ ‎，所以图象不一定关于点对称，②错；‎ 由题意，若是的极大值点，则是的一根，则它还有另一根，据题意，只有在上，递减，在时，，递增，③错；‎ 与上面讨论类似，有两个不等实根，，在或时，，在两个区间上都是递增，时，，递减，是极小值点，是极大值点，则，，在上无零点，在上有唯一零点．④正确．‎ 故答案：①④‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.在①，且，②，且，③，且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出和数列的通项公式与前项和；若不存在，请说明理由.‎ 设为各项均为正数的数列的前项和，满足________，是否存在，使得数列成为等差数列？‎ ‎【答案】答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】选择①，‎ 因为，所以，两式相减，得 ‎，‎ 即，又，所以，‎ 因为，且，所以，‎ 由，得，即，‎ 把代入上式，得，‎ 当时，由及，得，‎ 所以，，满足，可知数列是以3为首项，以2为公差的等差数列.‎ 数列的通项公式为，‎ 数列的前项和为.‎ 选择②，‎ 因为，所以，两式相减，得 ‎，‎ 即，又，所以，‎ 由，得，即，‎ 因为已知数列的各项均为正数，所以，‎ 因为关于的一元二次方程至少存在一个正实数解的充要条件是 ‎，‎ 解得，‎ 这与已知条件矛盾，所以满足条件的不存在.‎ ‎（注：若存在两个实数解分别为，，则，，‎ 当时，的解一正一负；当时，的解一正一零；‎ 当时，的解均为正.‎ 所以方程至少存在一个正实数解，当且仅当.）‎ 选择③，因为，所以，两式相减，得 ‎，‎ 即，又，所以，‎ 由，得，又已知，‎ 所以，，‎ 由，得，，所以，‎ 当时，由及得，‎ 由，及，得，‎ 所以和满足，‎ 可知数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，‎ 数列的通项公式为，‎ 数列的前项和为.‎ ‎18.如图，在中，，点P为的中点，交于点D，现将沿翻折至，使得平面平面.‎ ‎（1）若Q为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点E，使得二面角大小为.若存在，请求出点E所在位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎（1）证明：在中，，，‎ 将沿翻折至，，‎ 又，平面，‎ 平面，，‎ 在中，Q为的中点，，‎ 又，平面 ‎（2）解：在，，，‎ 又沿翻折至，‎ 且平面平面，由（1）有，得平面.‎ 以点P为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 则，‎ ‎.‎ 设，则，所以 设平面的一个法向量为 则由即 可得 可取平面的一个法向量为 则，解得.‎ 所以当点E为线段的中点时，二面角大小为.‎ ‎19.某校举行了全体学生的一分钟跳绳比赛，为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，其跳绳个数的频数分布表如下：‎ 一分钟跳绳个数 频数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎（1）若将抽取的100名学生一分钟跳绳个数作为一个样本，请将这100名学生一分钟跳绳个数的频率分布直方图补充完整（只画图，不需要写出计算过程）；‎ ‎（2）若该校共有3000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.利用所得正态分布模型，解决以下问题：‎ ‎①估计该校一分钟跳绳个数超过165个的人数（结果四舍五入到整数）；‎ ‎②若在该校所有学生中任意抽取4人，设一分钟跳绳个数超过180个的人数为，求随机变量的分布列、期望与方差.‎ 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.‎ 解：（1）由题意可得，‎ ‎（2）样本数据的平均数的估计值为（个）‎ 所以该校全体学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布 ‎①，‎ 所以该校一分钟跳绳个数超过165个的人数约为（人）‎ ‎②由正态分布可得，在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为，所以，的所有可能的取值为0，1，2，3，4.‎ 所以，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以 ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若函数，讨论在的单调性；‎ ‎（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值.‎ 解：（1）因为，‎ 令，则.‎ 所以函数在单调递增，从而，所以.‎ 由，得；由得.‎ 所以区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎（2）因为，对任意恒成立，‎ 所以.‎ 令，则，所以在R上单调递增，‎ 又，‎ 所以存在唯一的，使得又 由（1）知当时，，所以 所以存在唯一的，使得，即.‎ 当时，，所以单调递减；‎ 当时，，所以单调递增；‎ 所以 ‎，‎ 又，所以k的最大值为.‎ ‎21.已知抛物线上一点到焦点F的距离为.‎ ‎（1）求抛物线M的方程；‎ ‎（2）过点F斜率为k的直线l与M相交于C，D两点，线段的垂直平分线与M相交于两点，点分别为线段和的中点.‎ ‎①试用k表示点的坐标；‎ ‎②若以线段为直径的圆过点C，求直线l的方程.‎ 解：（1）根据抛物线的定义和已知条件，得，故，‎ 由点Q在M上，可知，把代入，得.‎ 所以抛物线M的方程为：.‎ ‎（2）①由（1）可知点F的坐标为，所以直线l的方程为：.‎ 联立消去y得，‎ 设，则，所以，‎ 所以线段中点.‎ 因为过点E且与l垂直，所以的方程为：‎ 联立消去y，得，显然成立.‎ 设，则，所以，‎ 所以线段中点 ‎②因为以线段为直径的圆过点C，所以，‎ 在中，，‎ 即.‎ 根据抛物线定义，得，‎ 又 ‎，‎ ‎，‎ 所以，由，‎ 得，‎ 解方程得，所以直线l的方程为，或.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.‎ ‎（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线和曲线交于，两点，求.‎ 解：（1）消去参数得到的普通方程为，‎ 是以为圆心，5为半径的圆，将，代人的普通方程中，‎ 得到，化简整理得到：.‎ ‎（2）设，两点所对应的极径分别为，，‎ 将曲线的极坐标方程代人曲线的极坐标方程，得.‎ 于是，，‎ ‎.‎ 由，得，两边平方整理得，‎ 所以.‎ ‎23.已知，，为正实数，且，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 解：（1）因为，，为正实数，所以，，，‎ ‎（当且仅当时，等号同时成立），‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以 又，‎ 即.（当且仅当时，等号同时成立）.‎ 所以，即.‎