江苏省盐城市东台市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省盐城市东台市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

东台市 2019/2020 学年度第一学期期中考试 高一数学（含答案） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分.不需写出解答过程，请把答案填涂在 答题纸的指定位置上． 1.下列集合中与 是同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用集合相等的定义直接求解． 【详解】解：与 是同一集合的是 ． 故选：D． 【点睛】本题考查集合相等的定义，是基础题． 2.已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据交集的定义求解即可． 【详解】解： 集合 ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题． 3.已知 ， ，则集合 的真子集的个数是（ ） A. 16 B. 4 C. 15 D. 8 【答案】C 【解析】 { }1,9 { } { }{ }1 , 9 ( ){ }1,9 ( ){ }9,1 { }9,1 { }1,9 { }9,1 { }2A x x= > − { }3B x x= < A B { }2x x > − { }3x x < { }2 3x x− < < ∅  { }2A x x= > − { }3B x x= < { }2 3A B x x∴ ∩ = − < < { }1,9A = { }2,0B = A B 【分析】 先求出 ，再根据 中元素的个数求出真子集的个数． 【详解】解： ， ， ， 故 中有 4 个元素 所以集合 的真子集的个数是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查交集的运算，以及真子集的个数，当集合 中含有 个元素的时候，集合 的子集有 个，真子集有 个． 4.已知一个偶函数的定义域为 ,则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果． 【详解】解：如果一个偶函数的定义域为 , 则 ，得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要 关于原点对称，本题难度不大． 5.若集合 ， ，且 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ，知 ，由此能求出实数 的取值范围． 【详解】解：∵集合 ， ， ， A B A B  { }1,9A = { }2,0B = { }0,1,2,9A B∴ = A B A B 42 1 15− = A n A 2n 2 1n − { }2,1, ,m n− m n+ 1− 1 0 2 { }2,1, ,m n− 2 1 0m n− + + + = 1m n+ = { |1 3}A x x= < < { | }B x x a= < A B B∪ = a 3a ≥ 3a ≤ 1a ≥ 1a ≤ A B B∪ = A B⊆ a { |1 3}A x x= < < { | }B x x a= < A B B∪ = ∴ ， ∴ ， ∴实数 的取值范围是 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了集合包含关系的判断，是基础题． 6.下列函数中，既是奇函数又在区间 是增函数的是（　　） A. B. C. D. y=|x﹣1| 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 奇偶性和单调性的定义，即可判断既是奇函数又在区间 上单调递增的函数． 【详解】对于 A，定义域为 不关于原点对称，故不为奇函数，故 A 错． 对于 B， ，则 为奇函数，在区间 上单调递增，故 B 对； 对于 C， 为非奇非偶函数，故 C 错误； 对于 D， 的图象关于 对称，为非奇非偶函数，故 D 错误，故选 B. 【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算 能力，属于基础题. 7.函数 的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 的 A B⊆ 3a ≥ a 3a ≥ (0, )+∞ 1 2y x= 3y x= 1( )2 xy = ( )0, ∞+ [ )0,+∞ ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )0,+∞ 1 2 x y  =    1y x= − 1x = 2xy x = − 【解析】 【分析】 通过分类讨论去绝对值，得到函数的解析式的分段形式，再观察图像即可得结果． 【详解】解：方法一： ， 观察选项，C 符合； 方法二： ，故图像全部在 轴下方，只有 C 符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了分段函数的图像以及函数图像的识别，要充分利用函数的性质来解题， 是个基础题． 8. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 试题分析：在 D 项中，函数 与 的定义域和 对于关系一致，所以是相同函数。故选 D。 考点：相同函数 点评：要看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域和对于关系是否一致。 9.若函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 2 , 0 , 0 x xxy x xx − >= − =  < 2 0xy x = − < x ( )f x x= ( ) ( )2 g x x= ( )f x x= ( ) 3 3g x x= ( )f x x x= ( ) ( ) ( ) 2 2 0{ 0 x xg x x x >= − < ( ) 2 1 1 xf x x −= − ( ) ( )1 1g x x x= + ≠ ( ) 2 1 1 xf x x −= − 1, 1x x= + ≠ ( ) ( )1 1g x x x= + ≠ ( )y f x= [ ]1,2020 ( ) ( )1 ln f xg x x += ( ]0,2019 ( ) ( ]0,1 1,2019∪ ( ]1,2021 【答案】B 【解析】 【分析】 直接通过函数 的定义域，求函数 的定义域． 【详解】解：因为函数 的定义域是 ， 所以对于 有： ， 解得： 且 故函数 定义域是 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础 题． 10.设 , , ,则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对于根据指数对数函数的图象和性质，通过判断 和 0，1 之间的大小关系得 之间 的大小关系． 【详解】解： ， ， ， 故 ， 故选：A． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，先判断出各个量的范围，进而得到它们的 大小关系． 的 [ ) ( ]1,1 1,2019− ∪ ( )f x ( )g x ( )y f x= [ ]1,2020 ( ) ( )1 ln f xg x x += 1 1 2020 0 ln 0 x x x ≤ + ≤  >  ≠ 0 2019x< ≤ 1x ≠ ( ) ( )1 ln f xg x x += ( ) ( ]0,1 1,2019∪ 0.5log 3a = 0.21 3 b =     11 3c − =    a b c< < c a b< < c b a< < b a c< < , ,a b c , ,a b c 0.5 0.5log 3 log 1 0a = < = 0.2 01 10 3 3 1b< =    < =       1 3 11 3c − =    = > a b c< < 11.已知函数 ，若 在 上单调递减，则 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在 上单调递减，不仅每一段都要单调递减，还需要左边一段的最低点不能低于 右边一段的最高点，列不等式求出 的范围． 【详解】解：因为函数 ，在 上单调递减， ，解得： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，分段函数为单调函数，则要保证每段函数 单调，且在端点处也要满足对应的大小关系． 12.已知集合 的元素个数为 个且元素为正整数，将集合 分成元素个数相同且 两两没有公共元素的三个集合 ，即 ， ， ， ，其中 ， ， ，若集合 中的元素满足 ， ， ,则称集合 为“完美集 合”例如:“完美集合” ,此时 ．若集合 ，为“完美集合”,则 的所有可能取值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 讨论集合 与集合 ，根据完美集合的概念知集合 ，根据 建立等式求 的 ( ) ( ) ( ) 23 2 1 2 2 1 x xf x a x a x  − + <=  − + ≥ ( )f x ( ),−∞ +∞ a ( )2,+∞ ( ),2−∞ ( )2,4 ( ]2,4 ( )f x ( ),−∞ +∞ a ( ) ( ) ( ) 23 2 1 2 2 1 x xf x a x a x  − + <=  − + ≥ ( ),−∞ +∞ 2 2 0 (1 3) 2 2 2 a a a − <∴ − + ≥ − + 2 4a< ≤ P ( )*3n n N∈ P , ,A B C P A B C= ∪ ∪ A B = ∅ A C∩ = ∅ B C = ∅ { }1 2, , , nA a a a=  { }1 2, , , nB b b b=  { }1 2, , , nC c c c=  , ,A B C 1 2 nc c c< < < k k ka b c+ = 1,2, ,k n=  P { }1 1,2,3P = { } { } { }1 , 2 , 3A B C= = = { }2 1, ,3,4,5,6P x= x 9 16 18 27 A B C k k ka b c+ = x 值． 【详解】首先当 时， 不可能是完美集合， 证明：假设 是完美集合， 若 中元素最小为 3，则 ， 不可能成立； 若 中元素最小为 4，则 ， 不可能成立； 若 中元素最小为 5，则 ， 不可能成立； 故假设 是完美集合不成立，则 不可能是完美集合． 所以 ； 若集合 ，根据完美集合的概念知集合 ； 若集合 ，根据完美集合的概念知集合 ； 若集合 ，根据完美集合的概念知集合 ； 则 的所有可能取值之和为 ， 故选：D． 【点睛】本题是新概念题，考查学生分析问题，理解问题的能力，是中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题纸上相应的位置 上． 13.若全集 ，集合 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 先化简集合 ，再计算集合 即可． 【详解】解：由已知 ， ， 故答案 ： ．为 2x = { }2 1,2,3,4,5,6P = { }2 1,2,3,4,5,6P = C 1 1 1 2 3a b+ = + = 2 2 24 5 6a b c+ = + = = C 1 1 1 3 4a b+ = + = 2 2 22 5 6a b c+ = + = = C 1 1 1 4 5a b+ = + = 2 2 22 3 6a b c+ = + = = { }2 1,2,3,4,5,6P = { }2 1,2,3,4,5,6P = 2x ≠ {1,5}, {3,6}A B= = { }4, , 5 6 11C x x= ∴ = + = {1,3}, {4,6}A B= = { }5, , 3 6 9C x x= ∴ = + = {1,4}, {3,5}A B= = { }6, , 3 4 7C x x= ∴ = + = x 7 9 11 27+ + = U = R { }1 2 8xA x= < < { }2B x x= ≥ ( )UA C B = { }0 2x x< < A ( )UA C B∩ { } { }1 2 8 0 3xA x x x= < < = < < ( ) { }0 2UA C B x x∴ ∩ = < < { }0 2x x< < 【点睛】本题考查指数不等式以及集合的运算，是基础题． 14.设函数 ,则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求 ，再代入求 即可． 【详解】解： ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查求分段函数的函数值，注意自变量的取值范围，是基础题． 15.定义在 上的偶函数 满足:对任意的 ,都有 ,且 ,则不等式 的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据 ，可推断 在 上单调递减，又由于 是偶函数， 可知在 单调递增．进而由 ，可得不等式 的解集． 【详解】解：对任意的 ,都有 ， 在 上单调递减， 又 是偶函数， ( ) 4 2 1 log 1 x xf x x x − ≤=  > ( )( )4f f 1 2 ( )4f ( )( )4f f ( ) 4log4 4 1f = = ( ) 1 11 2 2f −= = 1 2 R ( )f x [ )1 2 1 2, 0, ,x x x x∈ +∞ ≠ ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x − <− ( )1 0f = ( ) 0xf x < ( ) ( )1,0 1,− ∪ +∞ ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x − <− ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ,0]−∞ ( )1 ( 1) 0f f= − = ( ) 0xf x < [ )1 2 1 2, 0, ,x x x x∈ +∞ ≠ ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x − <− ∴ ( )f x [ )0,+∞ ( )f x 上单调递增， 又 ， 由 ，得 或 ， 由 ，得 ， 因为 ，所以 异号， 不等式 的解为 或 ， 即不等式 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用，属中档题． 16.已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是 ________． ①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2. 【答案】④ 【解析】 由图示可知 a<0 时，b 的符号不确定，1>c>0，故①②错； ∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|， ∴|2a－1|>|2c－1|， 即 1－2a>2c－1， 故 2a＋2c<2，④成立． 又 2a＋2c>2 ，∴2a＋c<1， ∴a＋c<0，∴－a>c， 在∴ ( )f x ( ,0]−∞ ( )1 ( 1) 0f f= − = ( ) 0f x < 1x < − 1x > ( ) 0f x > 1 1x− < < ( ) 0xf x < , ( )x f x ( ) 0xf x < 1x > 1 0x− < < ( ) 0xf x < ( ) ( )1,0 1,− ∪ +∞ ( ) ( )1,0 1,− ∪ +∞ 2a c+ ∴2－a>2c，③不成立． 三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 17.函数 的定义域为 ,集合 ． （1）求集合 ； （2）若 ,求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据被开方数不小于零，真数大于零，列不等式求解即可； （2）由 ，可知 与 没有有公共元素，可得到实数 的取值范围． 【详解】解:（1） 函数 的定义域为 ， ， ， ； （2） 集合 ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及交集的运算，属于基础题． 18.计算下列式子的值： （1） ； （2） . 【答案】（1） （2） 【解析】 ( ) ( )3 lg 2 4xf x x= − + − A { }0,B x x a a R= − ≤ ∈ A A B = ∅ a { }2 3A x x= < ≤ 2a ≤ A B = ∅ A B a  ( ) ( )3 lg 2 4xf x x= − + − A ∴ 3 0 2 4 0x x− ≥  − > ∴ 2 3x< ≤ ∴ { }2 3A x x= < ≤  { }0,B x x a a R= − ≤ ∈ ∴ { }B x x a= ≤  A B = ∅ ∴ 2a ≤ 3 3 3 1log 1 log log 327 − + 1 3 1 03 2 210.064 ( ) 4 0.252 − − − + + 5 10 【分析】 （1）利用对数的运算性质进行计算即可； （2）利用幂指数性质来进行计算即可． 详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查指数对数的运算，是基础题． 19.已知函数 （ ）． (1)若函数 为奇函数，求 的值； (2)判断函数 在 上的单调性，并证明． 【答案】(1) ； (2)增函数，证明见详解 【解析】 【详解】(1)因为函数 为奇函数,所以 ,因此 ； (2)函数 在 上单调递增,理由如下： 设 , 因为 ,所以 ,因此 , 所以)函数 在 上单调递增. 20.已知函数 ， （ 且 ）． （1）求函数 的定义域； （2）求使函数 的值为负数的 的取值范围． 【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【 3 3 3 1log 1 log log 3=0+3+2=527 − + 01 3 1 33 2 2 31 1000 1 10 10.064 4 0.25 1 ( 4) 1 8 102 64 4 4 2 −  − − + + = − + + = − + + =   1( ) 2 3 1xf x a= − + a R∈ a R 1 4a = (0) 0f = 0 1 12 =03 1 4a a− ⇒ =+ R 1 2 1 2, ,x x R x x∀ ∈ < 1 2 1 2 1 21 2 1 1 3 3( ) ( ) 2 (2 )3 1 3 1 (3 1)(3 1) x x x x x xf f ax x a− −= − − − =+ + + + 1 2x x< 1 2 1 23 1 0,3 1 0,3 3x x x x+ > + <> 1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( )x x xf f f xf− < ⇒ < R ( ) ( )log 1af x x= + ( ) ( )log 4ag x x= − 0,a > 1a ≠ ( ) ( )y f x g x= − ( ) ( )y f x g x= − x ( )1,4− 【分析】 （1）两个真数大于 0，列不等数组求解； （2）讨论 的单调性，根据单调性解对数不等式． 【详解】（1）由题意可知， ， 由 ，解得 ， ∴ ， ∴函数 的定义域是 ； （2）由 ，得 ，即 ，① 当 时，由①可得 ，解得 ； 当 时，由①可得 ，解得 ； 综上所述： 当 时， 的取值范围是 ； 当 时， 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法、分类讨论解对数不等式，属基础题． 21.已知函数 是偶函数,且 时, ． （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在区间 上的最小值是 ,求实数 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）设 ，则 ，利用函数为偶函数可得 的解析式； （2）由（1）知，当 时， ，然后对 分类求解得答 a ( ) ( ) ( ) ( )log 1 log 4a ay f x g x x x= − = + − − 1 0 4 0 x x + >  − > 1 4 x x > −  < 1 4x− < < ( ) ( )y f x g x= − ( )1,4− ( ) ( ) 0f x g x− < ( ) ( )f x g x< ( ) ( )log 1 log 4a ax x+ < − 1a > 0 1 4x x< + < − 31 2x− < < 0 1a< < 1 4 0x x+ > − > 3 42 x< < 1a > x 31, 2  −   0 1a< < x 3 ,42      ( )f x 0x ≤ ( ) 2 6 10f x x x= + + ( )y f x= ( )y f x= [ ]0,a 2 a ( ) 2 2 6 10 0 6 10 0 x x xf x x x x  + + ≤=  − + > 2a = 0x > 0x− < ( )f x [ ]0,x a∈ ( ) ( )22 6 10 3 1f x x x x= − + = − + a 案． 【详解】解:（1）当 时, ， ∴ ， 又 是偶函数,∴ ， ∴当 时, ， ∴ ； （2）由题意知:当 时, ， 若 , ,不符合题意， 若 , 在 内单调递减， ∴ ， ∴ 或 ， ， ∴ ， 综上所述： ． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数的奇偶性及单调性的应用，是中 档题． 22.已知函数 (其中 为常量,且 )的图像经过点 ． （1）求 的值； （2）当 时,函数 的图像恒在函数 图像的上方,求实数 的取值 范围； （3）是否存在实数 ,使得函数 的定义域为 ,值域为 ? 若存在,求出 的值；若不存在,则说明理由. 【答案】（1） （2） （3）满足条件的 存在, 【解析】 0x > 0x− < ( ) ( ) ( )2 6 10f x x x− = − + − +  ( )f x ( ) ( )f x f x= − 0x > ( ) ( ) 2 6 10f x f x x x= − = − + ( ) 2 2 6 10 0 6 10 0 x x xf x x x x  + + ≤=  − + > [ ]0,x a∈ ( ) ( )22 6 10 3 1f x x x x= − + = − + 3a ≥ ( ) ( )min 3 1f x f= = 0 < < 3a ( ) ( )22 6 10 3 1f x x x x= − + = − + [ ]0,a ( ) ( ) ( )2 min 3 1 2f x f a a= = − + = 2a = 4a =  0 < < 3a 2a = 2a = ( ) xf x ba= ,a b 0, 1a a> ≠ ( ) ( )1,1 , 3,9M N +a b 3x ≤ − 1 1x y a b  = +   2y x t= + t ,m n ( )2 32 logy x f x= + [ ],m n [ ]4 ,4m n ,m n 10 3a b+ = 36t < ,m n 1 2, 1 2m n= − = + 【分析】 （1）把点 的坐标代入函数 的解析式中，求得 的值即可求和； （2）由题意构造函数 ，根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及 的取值范围； （3） ，即 ，判断其单调性与 之间的位置关系，进 而求出最值，根据值域为 ，列方程求出 的值． 【详解】解:（1） 函数 的图像经过点 ， ， ， , ， ； （2） 当 时,函数 的图像恒在函数 图像的上方， 当 时,函数 的图像恒在函数 图像的上方， 即当 时,不等式 恒成立， 设 ,( )， 在 上单调递减, 在 上单调递减， 在 上单调递减， ， ,M N ( )f x ,a b ( )y g x= t ( )2 32 logy x f x= + 2 2 1y x x= + − [ ],m n [ ]4 ,4m n ,m n  ( ) xf x ba= ( ) ( )1,1 , 3,9M N ∴ 3 1 9 ba ba =  = ∴ 2 9a =  0, 1a a> ≠ ∴ 3a = 1 3b = ∴ 10 3a b+ =  3x ≤ − 1 1x y a b  = +   2y x t= + ∴ 3x ≤ − 1 33 x y  = +   2y x t= + 3x ≤ − 1 3 2 03 x x t  + − − >   ( ) 1 3 23 x g x x t = + − −   3x ≤ −  1 3 x y  =    ( ], 3−∞ − 2y x= − ( ], 3−∞ − ∴ ( ) 1 3 23 x g x x t = + − −   ( ], 3−∞ − ∴ ( ) ( )min 3 36g x g t= − = − 要使 图像的在 轴上方恒成立， 即 恒成立， ； （3） 函数 ， ， , ， 又 函数 的图像对称轴为直线 ， 当 时,函数 在 上为增函数， 若满足题设条件的 存在,则 ， 解得 ， 又 ， ， 此时定义域为 ,值域为 ， 综上所述,满足条件的 存在, ． 【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，其中某图像恒在另一图像上方的问题转化为恒 成立问题，最终转化为最值问题，考查了学生计算能力，是难题． ∴ ( ) 1 3 23 x g x x t = + − −   x 36 0t− > ∴ 36t <  ( ) 22 2 3 32 log log 3 1 2 2 1xy x f x x x x = + = − + = + −  ∴ ( )22 2 1 2 2y x x x= + = + − ≥ − ∴ 4 2m ≥ − ∴ 1 2m ≥ −  2 2y x x= + 1x = − ∴ 1 2m ≥ − 2 2 1y x x= + − [ ],m n ,m n 2 2 2 1 4 2 1 4 m m m n n n  + − =  + − = 1 2 1 2 m n  = ± = ±  1 2 m n− ≤ < ∴ 1 2, 1 2m n= − = + 1 2,1 2 − +  4 4 2,4 4 2 − +  ,m n 1 2, 1 2m n= − = +