【数学】2020届一轮复习人教版基本不等式教案

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【数学】2020届一轮复习人教版基本不等式教案

一、教学目标 1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数. 2.理解定理 1 和定理 2(基本不等式). 3.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题. 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 理解定理 1 和定理 2(基本不等式). 四、教学难点 掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题. 五、教学过程 (一)导入新课 已知 lg x+lg y=2,则1 x +1 y 的最小值为______. 【解析】 ∵lg x+lg y=2, ∴x>0,y>0,lg(xy)=2,∴xy=102, ∴1 x +1 y ≥2 1 xy =1 5 ,当且仅当 x=y=10 时,等号成立. 【答案】 1 5 (二)讲授新课 教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均 1.两个定理 定理 内容 等号成立的条件 定理 1 a2+b2≥ (a,b∈R) 当且仅当 时,等号成立 定理 2 a+b 2 ≥ (a,b>0) 当且仅当 时,等号成立 2.算术平均与几何平均 如果 a,b 都是正数,我们称 为 a,b 的算术平均, 为 a,b 的几何平均. 教材整理 2 利用基本不等式求最值 已知 x,y 为正数,x+y=S,xy=P,则 (1)如果 P 是 ,那么当且仅当 时,S 取得最小值 ; (2)如果 S 是 ,那么当且仅当 x=y 时,P 取得最大值 . (三)重难点精讲 题型一、利用基本不等式证明不等式 例 1 已知 a,b,c 都是正数,求证:a2 b +b2 c +c2 a ≥a+b+c. 【精彩点拨】 观察不等号两边差异,利用基本不等式来构造关系. 【自主解答】 ∵ a>0,b>0,c>0, ∴a2 b +b≥2 a2 b ·b=2a, 同理:b2 c +c≥2b,c2 a +a≥2c. 三式相加得: a2 b +b2 c +c2 a +(b+c+a)≥2(a+b+c), ∴a2 b +b2 c +c2 a ≥a+b+c. 规律总结: 1.首 先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件,然后合 理地选择基本不等式或其变形式进行证明. 2.当且仅当 a=b=c 时,上述不等式中“等号” 成立,若三个式子中有一个“=”号取不到,则三 式相加所得的式子中“=”号取不到. [再练一题] 1.已知 x,y,z 均为正数,求证: x yz + y zx + z xy ≥1 x +1 y +1 z. 【证明】 ∵x,y,z 都是正数, ∴ x yz + y zx =1 z x y +y x ≥2 z. 同理可得 y zx + z xy ≥2 x , z xy + x yz ≥2 y. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, 得 x yz + y zx + z xy ≥1 x +1 y +1 z. 题型二、利用基本不等式求最值 例 2 设 x,y,z 均是正数,x-2y+3z=0,则y2 xz 的最小值为________. 【精彩点拨】 由条件表示 y,代入到y2 xz 中,变形为能运用基本不等式求最值的形式,求出最小值, 但要注意等号取到的条件. 【自主解答】 由 x-2y+3z=0,得 y=x+3z 2 , ∴y2 xz =x2+9z2+6xz 4xz =1 4 x z +9z x +6 ≥1 4 2 x z ·9z x +6 =3. 当且仅当 x=y=3z 时,y2 xz 取得最小值 3. 【答案】 3 规律总结: 1.本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的 y,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉 的使用基本不等式求最值的问题. 2.使用基 本不等式求最值,必须同时满足三个条件:①各项均为正数;②其和或积为定值;③等号 必须成立,即“一正、二定、三相等”.在具体问题中,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性, 决定着成败的关键. [再练一题] 2.已知 x>0,y>0,且1 x +9 y =1,试求 x+y 的最小值. 【解】 ∵x>0,y>0,且1 x +9 y =1, ∴x+y=(x+y) 1 x +9 y =y x +9x y +10≥2 y x ·9x y +10=16. 当且仅当y x =9x y ,即 y=3x 时等号成立. 又1 x +9 y =1,∴当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16. 题型三、基本不等式的实际应用 例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2018 年里约热内卢奥运会期间进行一系 列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销售量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成 反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件.已知 2018 年生产化妆品的设备折旧、 维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定 为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)若计划 2018 年生产的化妆品正好能销售完,试将 2018 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函 数; (2)该企业 2018 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? 【精 彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本= 固定费用+生产费用; (2)表示出题中的所有已知量 和未知量,利用它们之间的关系式列出函数表达式.利用基本不等式求最 值. 【自主解答】 (1)由题意可设 3-x= k t+1 (k>0), 将 t=0,x=1 代入,得 k=2. ∴x=3- 2 t+1. 当年生产 x 万件时,年生产成本为 32x+3=32× 3- 2 t+1 +3. 当销售 x 万件时,年销售收入为 150%× 32× 3- 2 t+1 +3 +1 2t. 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完, 得年利润 y=-t2+98t+35 2?t+1? (t≥0). (2)y=-t2+98t+35 2?t+1? =50- t+1 2 + 32 t+1 ≤50-2 t+1 2 × 32 t+1 =50-2 16=42, 当且仅当t+1 2 = 32 t+1 ,即 t=7 时,等号成立,ymax=42, ∴当促销费定在 7 万元时,年利润最大. 规律总结: 设出变量 ――→ 建立 数学模型 ――→ 定义域 利用均值不等式求最值 ――――→ “=”成 立的条件 结论 [再练一题] 3.如图所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a m,高度为 b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 m2,问当 a,b 各为多长时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小(A,B 孔的面积忽略不计)? 【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为 y,由题意 y= k ab ,其中 k 为比例系数(k>0).根据题 意,得 2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0), ∴b=30-a 2+a (由 a>0,b>0,可得 a<30). ∴y= k ab = k 30a-a2 2+a . 令 t=a+2,则 a=t-2. 从而30a-a2 2+a =30t-2-t-22 t =34t-t2-64 t =34- t+64 t , ∴y= k ab ≥ k 34-2 t·64 t = k 18. 当且仅当 t=64 t ,即 a+2= 64 a+2 时,取“=”,∴a=6. 由 a=6,可得 b=3. 综上所述:当 a=6 m,b=3 m 时,经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小. 法二 设流出的水中杂质的质量分数为 y,依题意y= k ab ,其中 k 为比例系数(k>0).要求 y 的最小值必 须先求出 ab 的 最大值. 依题设 4b+2ab+2a=60,即 ab+a+2b=30(a>0,b>0). ∵a+2b≥2 2ab(当且仅当 a=2b 时取“=”), ∴ab+2 2 ab≤30,可解得 00,lg x+ 1 lg x ≥2;②任意 x∈R,ax+ 1 ax ≥2;③任意 x∈ 0,π 2 ,tan x+ 1 tan x ≥2; ④任意 x∈R,sin x+ 1 sin x ≥2. 其中真命题有( ) A.③ B.③④ C.②③ D.①②③④ 【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定. 【自主解答】 在①④中,lg x∈R,sin x∈[-1,1],不能确定 lg x>0 与 sin x>0.因此①④是假命题; 在②中,ax>0,ax+1 ax ≥2 ax·1 ax =2,当且仅当 x=0 时,取等号,则②是真命题; 在③中,当 x∈ 0,π 2 时,tan x>0,有 tan x+ 1 tan x ≥2,且 x=π 4 时取等号,∴③是真命题. 【答案】 C 规律总结: 1.本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件.在定理 1 和定理 2 中,“a=b”是等号成 立的充要条件.但两个定理有区别又有联系:(1)a+b 2 ≥ ab是 a2+b2≥2ab 的特例,但二者适用范围不同, 前者要求 a,b 均为正数,后者只要求 a,b∈R;(2)a,b 大于 0 是a+b 2 ≥ ab的充分不必要条件;a,b 为 实数是 a2+b2≥2ab 的充要条件. 2.当 b≥a>0 时,有变形不等式 a≤ 2ab a+b ≤ ab≤a+b 2 ≤ a2+b2 2 ≤b. [再练一题] 4.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab C.1 a +1 b> 2 ab D.b a +a b ≥2 【解析】 A 选项中,当 a=b 时,a2+b2=2ab,则排除 A; 当 a<0,b<0 时,a+b<0<2 ab,1 a +1 b<0< 2 ab ,则排除 B,C 选项;D 选项中,由 ab>0,则b a>0,a b>0, ∴b a +a b ≥2 b a ·a b =2,当且仅当 a=b 时取“=”,所以选 D. 【答案】 D (四)归纳小结 基本不等式—| — 定理的理解 — 证明不等式 — 求最值 — 实际应用 (五)随堂检测 1.下列结论中不正确的是( ) A.a>0 时,a+1 a ≥2 B.b a +a b ≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2+b2≥a+b2 2 【解析】 选项 A,C 显然正确 ;选项 D 中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥a+b2 2 成立;而选项 B 中,b a +a b ≥2 不成立,因为若 ab<0,则不满足不等式成立的条件. 【答案】 B 2.下列各式中,最小值等于 2 的是( ) A.x y +y x B. x2+5 x2+4 C.tan θ+ 1 tan θ D.2x+2-x 【解析】 ∵2x>0,2-x>0,∴2x+2-x≥2 2x·2-x=2,当且仅当 2x=2-x,即 x=0 时,等号成立.故 选 D. 【答案】 D 3.已知5 x +3 y =1(x>0,y>0),则 xy 的最小值是( ) A.15 B.6 C.60 D.1 【解析】 ∵5 x +3 y ≥2 15 xy(当且仅当 x=10,y=6 时,取等号), ∴2 15 xy ≤1,∴xy≥60, 故 xy 的最小值为 60. 【答案】 C 六、板书设计 1.1.2 基本不等式 教材整理 1 两个定理 及算数平均与几何平均 1.两个定理 2.算术平均与几何平均 例 1: 例 2: 例 3: 例 4: 学生板演练习 七、作业布置 同步练习:1.1.2 基本不等式 八、教学反思
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