2019届二轮复习(理)2-9-2不等式选讲(选修4—5)课件（39张）

2019届二轮复习(理)2-9-2不等式选讲(选修4—5)课件（39张）

9.2 　不等式选讲 ( 选修 4—5) - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - 1 . 绝对值三角不等式 (1) 定理 1: 若 a , b 是实数 , 则 |a+b| ≤ |a|+|b| , 当且仅当 ab ≥ 0 时 , 等号成立 ; (2) 性质 : |a|-|b| ≤ |a ± b| ≤ |a|+|b| ; (3) 定理 2: 若 a , b , c 是实数 , 则 |a-c| ≤ |a-b|+|b-c| , 当且仅当 ( a-b )( b-c ) ≥ 0 时 , 等号成立 . - 7 - 2 . 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式 |x|a ( a> 0) 的解法 : ① |x|a ⇔ x>a 或 x<-a. (2) |ax+b| ≤ c ( c> 0) 和 |ax+b| ≥ c ( c> 0) 型不等式的解法 : ① |ax+b| ≤ c ⇔ -c ≤ ax+b ≤ c ; ② |ax+b| ≥ c ⇔ ax+b ≥ c 或 ax+b ≤ -c. (3) |x-a|+|x-b| ≥ c ( c> 0) 和 |x-a|+|x-b| ≤ c ( c> 0) 型不等式的解法 : ① 利用绝对值不等式的几何意义求解 , 体现了数形结合的思想 ; ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解 , 体现了分类讨论的思想 . ③ 通过构造函数 , 利用函数的图象求解 , 体现了函数与方程的思想 . - 8 - - 9 - 4 . 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等 . (1) 比较法 : 求差比较法 , 求商比较法 . ① 求差比较法 : 由于 a>b ⇔ a-b> 0, ab , 只要证明 a-b> 0 即可 . ② 求商比较法 : 由 a>b> 0 ⇔ > 1 且 a> 0, b> 0, 因此当 a> 0, b> 0 时要证明 a>b , 只要 证明 > 1 即可 . (2) 分析法 : 从待证不等式出发 , 逐步寻求使它成立的充分条件 , 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 ( 已知条件、定理等 ) . - 10 - (3) 综合法 : 从已知条件出发 , 利用不等式的有关性质或定理 , 经过推理论证 , 推导出所要证明的不等式成立 , 即 “ 由因寻果 ” 的方法 , 这种证明不等式的方法称为综合法 . 5 . 柯西 不等式 - 11 - 考向一 考向二 考向三 解不等式、求参数范围 ( 全方位探究 ) 例 1 (2018 广东梅州二模 ,23) 已知函数 f ( x ) =|x+ 1 |-|x- 2 |. (1) 求不等式 f ( x ) ≥ 1 的解集 ; (2) 若不等式 f ( x ) ≥ x 2 -x+m 的解集非空 , 求 m 的取值范围 . 当 x<- 1 时 , f ( x ) ≥ 1 无解 ; 当 - 1 ≤ x ≤ 2 时 , 由 f ( x ) ≥ 1, 得 2 x- 1 ≥ 1, 解得 1 ≤ x ≤ 2; 当 x> 2 时 , 由 f ( x ) ≥ 1 解得 x> 2 . 所以 f ( x ) ≥ 1 的解集为 { x|x ≥ 1} . - 12 - 考向一 考向二 考向三 - 13 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 1 . 解含有两个以上绝对值符号的不等式 , 一般解法是零点分段法 . 即令各个绝对值式子等于 0, 求出各自零点 , 把零点在数轴上从小到大排列 , 然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值 , 进而将绝对值不等式转化为常规不等式 . 2 . 在不等式恒成立的情况下 , 求参数的取值范围 , 可以采取分离参数 , 通过求对应函数最值的方法获得 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 1 已知函数 f ( x ) =|x+m|+| 2 x- 1 | ( m> 0) . (1) 当 m= 1 时 , 解不等式 f ( x ) ≥ 3; (2) 当 x ∈ [ m ,2 m 2 ] 时 , 不等式 f ( x ) ≤ |x+ 1 | 恒成立 , 求实数 m 的取值范围 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 - 16 - 考向一 考向二 考向三 例 2 已知函数 f ( x ) =-x 2 +ax+ 4, g ( x ) =|x+ 1 |+|x- 1 |. (1) 当 a= 1 时 , 求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集 ; (2) 若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [ - 1,1], 求 a 的取值范围 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 当 a= 1 时 , 不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 等价于 x 2 -x+|x+ 1 |+|x- 1 |- 4 ≤ 0 . ① 当 x<- 1 时 , ① 式化为 x 2 - 3 x- 4 ≤ 0, 无解 ; 当 - 1 ≤ x ≤ 1 时 , ① 式化为 x 2 -x- 2 ≤ 0, 从而 - 1 ≤ x ≤ 1; ( 2) 当 x ∈ [ - 1,1] 时 , g ( x ) = 2 . 所以 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [ - 1,1], 等价于当 x ∈ [ - 1,1] 时 f ( x ) ≥ 2 . 又 f ( x ) 在 [ - 1,1] 的最小值必为 f ( - 1) 与 f (1) 之一 , 所以 f ( - 1) ≥ 2 且 f (1) ≥ 2, 得 - 1 ≤ a ≤ 1 . 所以 a 的取值范围为 [ - 1,1] . - 18 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 1 . 对于求参数范围问题 , 可将已知条件进行等价转化 , 得到含有参数的不等式恒成立 , 此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式 , 解不等式得参数范围 . 2 . 解答此类问题应熟记以下转化 : f ( x ) >a 恒成立 ⇔ f ( x ) min >a ; f ( x ) a 有解 ⇔ f ( x ) max >a ; f ( x ) a 无解 ⇔ f ( x ) max ≤ a ; f ( x ) 0, 且关于 x 的不等式 f ( x ) < x 有解 , 求实数 a 的取值范围 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 在不等式 f ( x ) ≤ g ( x ) 有解或恒成立时 , 求不等式中所含参数的取值范围或最值 , 可分别作出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象 , 根据图象找到不等式 f ( x ) ≤ g ( x ) 有解或恒成立的条件 , 从而得出参数的取值范围或最值 . - 23 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 3 (2018 全国卷 3, 理 23) 设函数 f ( x ) =| 2 x+ 1 |+|x- 1 |. (1) 画出 y=f ( x ) 的图象 ; (2) 当 x ∈ [0, +∞ ) 时 , f ( x ) ≤ ax+b , 求 a+b 的最小值 . - 24 - 考向一 考向二 考向三 y=f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 由 (1) 知 , y=f ( x ) 的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2, 且各部分所在直线斜率的最大值为 3, 故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时 , f ( x ) ≤ ax+b 在 [0, +∞ ) 成立 , 因此 a+b 的最小值为 5 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 例 4 (2018 全国卷 1, 理 23) 已知 f ( x ) =|x+ 1 |-|ax- 1 |. (1) 当 a= 1 时 , 求不等式 f ( x ) > 1 的解集 ; (2) 若 x ∈ (0,1) 时不等式 f ( x ) >x 成立 , 求 a 的取值范围 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 在不等式 f ( x ) >g ( x ) 成立下 , 求不等式中所含参数的取值范围 , 可对参数进行讨论 , 看参数在哪些范围内不等式能成立 , 然后把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可 . - 27 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 4 已知 f ( x ) =|x-a|+ 3 x , 其中 a ∈ R . (1) 当 a= 1 时 , 求不等式 f ( x ) ≥ 3 x+| 2 x+ 1 | 的解集 ; (2) 若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x|x ≤ - 1}, 求 a 的值 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) a= 1 时 , f ( x ) =|x- 1 |+ 3 x , 由 f ( x ) ≥ | 2 x+ 1 |+ 3 x , 得 |x- 1 |-| 2 x+ 1 | ≥ 0, 故 |x- 1 | ≥ | 2 x+ 1 | , 解得 - 2 ≤ x ≤ 0, ∴ 不等式的解集为 { x|- 2 ≤ x ≤ 0} . - 29 - 考向一 考向二 考向三 不等式的证明 例 5 (2018 山东潍坊三模 , 文 23) 已知函数 f ( x ) =|x+ 4 | , 不等式 f ( x ) > 8 -| 2 x- 2 | 的解集为 M. (1) 求 M ; (2) 设 a , b ∈ M , 证明 : f ( ab ) >f (2 a ) -f ( - 2 b ) . - 30 - 考向一 考向二 考向三 (1) 解 : 将 f ( x ) =|x+ 4 | 代入 f ( x ) > 8 -| 2 x- 2 | , 得 |x+ 4 |+| 2 x- 2 |> 8 . ① 当 x ≤ - 4 时 , 不等式转化为 -x- 4 - 2 x+ 2 > 8, 解得 x <- , 所以此时 x ≤ - 4 . ② 当 - 4 8, 解得 x<- 2, 所以此时 - 4 8, 解得 x> 2, 所以此时 x> 2 . 综上 , M= { x|x<- 2 或 x> 2} . - 31 - 考向一 考向二 考向三 (2) 证明 因为 f (2 a ) -f ( - 2 b ) =| 2 a+ 4 |-|- 2 b+ 4 | ≤ | 2 a+ 4 + 2 b- 4 |=| 2 a+ 2 b| , 所以要证 f ( ab ) >f (2 a ) -f ( - 2 b ), 只需证 |ab+ 4 |>| 2 a+ 2 b|. 即证 ( ab+ 4) 2 > (2 a+ 2 b ) 2 , 即证 a 2 b 2 + 8 ab+ 16 > 4 a 2 + 8 ab+ 4 b 2 , 即证 a 2 b 2 - 4 a 2 - 4 b 2 + 16 > 0, 即证 ( a 2 - 4)( b 2 - 4) > 0, 因为 a , b ∈ M , 所以 a 2 > 4, b 2 > 4, 所以 ( a 2 - 4)( b 2 - 4) > 0 成立 , 所以原不等式成立 . - 32 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 不等式证明的常用方法是 : 比较法、综合法与分析法 . 其中运用综合法证明不等式时 , 主要是运用基本不等式证明 , 与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式 . 证明过程中一方面要注意不等式成立的条件 , 另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形 . - 33 - 考向一 考向二 考向三 - 34 - 考向一 考向二 考向三 - 35 - 考向一 考向二 考向三 求代数式的最值 例 6 (2018 河北唐山一模 , 文 23) 设函数 f ( x ) =|x+ 1 |-|x| 的最大值为 m. (1) 求 m 的值 ; - 36 - 考向一 考向二 考向三 - 37 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 若题设条件有 ( 或者经过化简题设条件得到 ) 两个正数和或两个正数积为定值 , 则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值 . - 38 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 6 (2018 湖南衡阳二模 , 理 23) 已知 a> 0, b> 0, c> 0 . 若函数 f ( x ) =|x+a|+|x-b|+c 的最小值为 4 . (1) 求 a+b+c 的值 ; 解 : (1) ∵ f ( x ) =|x+a|+|x-b|+c ≥ | ( x+a ) - ( x-b ) |+c=|a+b|+c=a+b+c , 当且仅当 -a ≤ x ≤ b 时 , 等号成立 , ∴ f ( x ) 的最小值为 a+b+c , ∴ a+b+c= 4 . - 39 - 考向一 考向二 考向三