2018届二轮复习函数模型及其应用学案（全国通用）
2.9 函数模型及其应用
考情考向分析 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越 越快
越 越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10 出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使<1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越 越快的形象比喻．( × )
题组二 教材改编
2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2 ，则y关于x的函数关系式是 ．
答案 y＝100(1＋1.2 )x(x∈N*)
解析 本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y＝100(1＋1.2 )x(x∈N*)．
3．[P104习题T2]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件．
答案 18
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
4．[P77例2]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(00，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是 万元．
答案 2 500
解析 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.
则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
题型二 构建函数模型的实际问题
命题点1 构造一次函数、二次函数模型
典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.
答案 19
解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 元．
答案 95
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．
∴当x＝95时，y最大．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
典例 一片森林原 面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原 的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为x(00)型函数
典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 ．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润＝12－，
∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立，
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，
考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝ .
答案 2
解析 由题意可得BC＝－，
∴y＝＋≥2 ＝6.
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
命题点4 构造分段函数模型
典例 (2017·山西孝义模拟)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
思维升华 构建数 模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数
语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1 ，若初时含杂质2 ，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤 次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案 8
解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，
则2 n≤0.1 ，即n≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
(2)大 毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是 ．
答案 300
解析 由题意知，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
函数应用问题
典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．
规范解答
解 (1)当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7 360.
所以W＝[6分]
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2 ＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以此时W的最大值为5 760.[12分]
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值6 104万美元．[14分]
解函数应用题的一般步骤：
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数 语言，用数 知识建立相应的数 模型；
第三步：(解模)求解数 模型，得到数 结论；
第四步：(还原)将用数 方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数 模型得到的数 结果，必须验证这个数 结果对实际问题的合理性．
1．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，∴再经过16 min.
2．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 km.
答案 9
解析 设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p ，超过280万元的部分按(p＋2) 征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25) ，则该公司的年收入是 万元．
答案 320
解析 设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有＝(p＋0.25) ，
解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．
4．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12 ，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 年．
答案 2020
解析 设从2016年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12 )n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为 m3.
答案 13
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，
由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，
解得x＝13.
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，
若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 万元．
答案 43
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
7．某种病毒经30分钟繁殖为原 的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝ ，经过5小时，1个病毒能繁殖为 个．
答案 2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－(x>0)．则当年广告费投入 万元时，该公司的年利润最大．
答案 4
解析 由题意得L＝－≤－2
＝，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立．
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y m，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(050，
所以这两位同 会影响其他同 休息．
12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15－0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由
解得00，
则(150－x)＋≥2
＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，总费用最小．
答案 40
解析 设每小时的总费用为y元，
则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，
解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，
当且仅当0.6v＝，即v＝40时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(00，函数f(x)单调递增；在上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．
