福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

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福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

www.ks5u.com 双十中学2019-2020学年高一上第一次月考考卷 一、单选题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.设全集U={﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,0},集合A={﹣1,﹣2,0},B={﹣3,﹣4,0},则(∁UA)∩B=(  )‎ A. {0} B. {﹣3,﹣4} C. {﹣1,﹣2} D. ∅‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∴CUA {−3,−4},‎ ‎∴(CUA)∩B=={−3,−4}.‎ 故答案选B.‎ 点睛:1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.‎ ‎2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.‎ ‎3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.‎ ‎2.已知函数的定义域是,则的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数定义域求法,即可求其定义域.‎ ‎【详解】因为函数的定义域是 所以 所以的定义域满足 解不等式,可得,即 故选B ‎【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,紧扣定义域为的取值范围这一概念即可,属于基础题.‎ ‎3.已知集合,则B的子集个数为(  )‎ A. 3 B. 4 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件,列举出M中的元素,利用集合含子集的个数与集合中元素个数的关系求出集合M的子集个数.‎ ‎【详解】∵集合,‎ ‎∴B={(1,1),(1,2),(2,1)},‎ 所以B中含有3个元素,‎ 集合B的子集个数有23=8‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查若一个集合含有n个元素则其子集的个数是2n,其真子集的个数为2n﹣1,属于基础题.‎ ‎4. 如图所示,I为全集,M、P、S为I的子集,则阴影部分所表示的集合为( )‎ A. (M∩P)∪S B. (M∩P)∩S C. (M∩P)∩(CI S) D. (M∩P)∪(CI S)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由图示可知阴影部分为集合M,P的公共部分,并且不在集合S中,因此为(M∩P)∩(CI S)‎ 考点:集合的表示方法 ‎5.函数的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:,因为,所以为偶函数.所以的图象关于y轴对称.故选D.‎ 考点:函数的奇偶性.‎ ‎6.函数的值域是(  )‎ A. [0,+∞) B. (-∞,0] C. D. [1,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解.‎ ‎【详解】方法一:设,则,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数在上单调递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数的值域是.‎ 故选C.‎ 方法二:由得,‎ ‎∴函数的定义域为,‎ 又由题意得函数为增函数,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数的值域是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】对于一些无理函数,可通过换元转化为有理函数(如二次函数),再利用有理函数求值域的方法解决问题,“换元法”的实质是等价转化的思想方法,解题中要注意新元的范围.‎ ‎7.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论与两种情况.当时满足题意,当时,根据即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时,分母变为常数1,所以定义域为,即符合题意 因为定义域为,所以当时, 符合题意.且同时满足 即,解不等式可得 ‎ 综上所述,实数的取值范围为,即 故选D ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为R时函数满足的条件,属于基础题.‎ ‎8.已知,,,则、、的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性,选取中间量,即可比较大小.‎ ‎【详解】根据指数函数的性质可知,‎ 函数为单调递减函数,所以,即 因为单调递增函数,所以,即 综上可知, ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了指数函数图像与性质,指数幂形式的比较大小,属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,结合特殊值法即可判断选项.‎ ‎【详解】因为 定义域为,所以排除A选项 当时, 且,所以;分母增长的速度大于分子中 的增长速度,所以,排除选项D 当时,分母,分子,所以,排除选项B 综上,故选C ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图像,属于基础题.解决有关函数图像这一类题目,一般从三个方面入手研究图像:(1)分析函数的单调性;(2)分析函数的奇偶性;(3)特殊值法检验,特殊值法包括具体取值与极限取值.‎ ‎10.已知函数,则关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,可知函数为偶函数,结合函数的单调性,解不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】函数,定义域为R 则 所以,即函数为偶函数 当时,为增函数,为增函数 则在时为增函数,在时为减函数 不等式 即满足即可 不等式化简可得 即 解得,即 故选D ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的综合应用,根据函数性质解不等式,属于基础题.‎ 二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的五个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.‎ ‎11.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )‎ A. B. C. ‎ D. E. ‎ ‎【答案】DE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性定义和函数单调性的判定即可得解.‎ ‎【详解】对于A,,定义域为.为奇函数,在单调递减,在单调递减,但递减不成立,所以A错误;‎ 对于B,定义域为.为偶函数,所以B错误 对于C,,定义域为.非奇非偶函数,所以C错误;‎ 对于D,,定义域为R,为奇函数,且在R上为递减函数,所以C正确;‎ 对于E, ,定义域为R,即 ,画出函数图像如下图所示 所以为奇函数,且在R上为递减函数,所以E正确 综上,故选DE ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判定,注意定义域的特殊要求,属于基础题.‎ ‎12.对任意两个实数,,定义若,,下列关于函数的说法正确的是( )‎ A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间单调递增 D. 函数有4个单调区间 E. 函数有最大值为1,无最小值 ‎【答案】ABDE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意函数为取小函数,画出与在同一坐标系中的图像,可得的图像,根据图像即可判断选项.‎ ‎【详解】由题意函数为取小函数 根据与,画出的图像如下图所示:‎ 由图像可知,函数关于轴对称,所以A正确.‎ 函数图像与轴有三个交点,所以方程有三个解,所以B正确.‎ 函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,在内单调递减,所以C错误,D正确.‎ 由函数图像可知,函数有最大值为1,无最小值,所以E正确 综上,故选ABDE ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性与最值的综合应用,根据函数图像研究函数的性质,属于基础题.‎ ‎13.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数与函数,为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )‎ A. B. C. ‎ D. E. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知定义域不同且解析式和值域相同,得函数必为不单调函数,举出满足条件的例子构造出同族函数即可.‎ ‎【详解】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确;‎ 对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确;‎ 对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减,在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;‎ 对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确 对于E,定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误 综上,故选ABD ‎【点睛】本题考查了函数新定义的理解,注意定义域、值域和解析式间的关系,属于中档题.‎ ‎14.对于实数,符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,则下列命题中正确的是( )‎ A. ‎ B. 函数的最大值为1‎ C. 函数的最小值为0‎ D. 方程有无数个根 E. 函数是增函数 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出函数的图像,根据图像分析函数的性质即可.‎ ‎【详解】根据符号的意义,讨论当自变量取不同范围时函数的解析式:‎ 当时,,则 当时,,则 当时,,则 当时,,则 画出函数的图像如下图所示:‎ 根据定义可知,,即,所以A正确;‎ 从图像可知,函数最高点处取不到,所以B错误;函数图像最低点处函数值为0,所以C正确;‎ 从图像可知,即有无数个根,所以D正确 根据函数单调性,可知函数在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以E错误 综上,故选ACD ‎【点睛】本题考查了函数新定义的内容,分段函数图像的画法.画出所给函数图像,根据图像分析函数的性质是解决问题的常见方法,属于中档题.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎15.函数(,且)的图像恒过定点________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点.‎ ‎【详解】因为指数函数(,且)过定点 是将向左平移2个单位,向上平移3个单位得到 所以过定点 ‎【点睛】本题考查了指数函数的图像与性质,函数图像的平移变换,属于基础题.‎ ‎16.函数单调减区间是__________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的定义去绝对值,写成分段函数形式,再根据函数单调性求得单调递减区间。‎ ‎【详解】去绝对值,得函数 ‎ 当 时,函数 的单调递减区间为 ‎ 当 时,函数的单调递减区间为 ‎ 综上,函数 的单调递减区间为,‎ ‎【点睛】本题考查了含绝对值函数单调性的求法。首先根据定义去绝对值,写成分段函数形式,再依据各自区间内的单调性写出单调区间;最后注意单调区间不能写成并集。‎ ‎17.已知函数是定义在的增函数,且满足,则不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知函数为奇函数,根据单调性及定义域解不等式,进而求得不等式的解集.‎ ‎【详解】因为,即,定义域为 所以函数为奇函数 则不等式,即 由奇函数性质可化简得 根据函数是定义在的增函数 可得,解不等式组可得 即不等式组的解集为 ‎ 所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,解决问题时一定在定义域内求解,属于中档题.‎ ‎18.已知f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则t的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论.‎ ‎【详解】由于当x>0时,f(x)=x++t在x=1时取得最小值为2+t,‎ 由题意当x≤0时,f(x)=(x﹣t)2,‎ 若t≥0,此时最小值为f(0)=t2,‎ 故t2≤t+2,‎ 即t2﹣t﹣2≤0,解得﹣1≤t≤2,此时0≤t≤2,‎ 若t<0,则f(t)<f(0),条件不成立.‎ 故答案为:[0,2].‎ ‎【点睛】本题主要考查函数最值的应用,根据分段函数的性质,结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键.‎ 四、解答题:(本大题共6小题70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(1)计算:‎ ‎(2)己知集合,,若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数幂运算法则,化简运算即可.‎ ‎(2)根据可知A为B的子集.讨论与两种情况关于的不等式满足的条件,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由指数幂运算,化简 ‎(2)因为所以 ‎①当时,即 解得,此时满足.‎ ‎②当时,即,且 则 则有,‎ 综上所述, 的取值范围为或.‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂的化简求值,集合与集合关系的简单应用,注意研究集合与集合关系时,讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若,用定义证明在上是增函数;‎ ‎(2)若,且在上的值域是,求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)代入得函数解析式,根据作差法证明函数的单调性即可.‎ ‎(2)利用分离常数法对函数解析式变形,可判断出函数在定义域内单调递减,通过函数的定义域与值域,即可分析得.代入解析式即可求得的值.‎ ‎【详解】(1)因为 所以 证明:任取,则 因为 ‎ 所以,‎ 故即 故在上是增函数.‎ ‎(2)对函数解析式变形可得 由于,故在上单调递减 因为在上的值域是 所以,代入解析式可得,解方程求得 故有 ‎【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,并根据单调性求参数的取值,属于基础题.‎ ‎21.设函数对任意实数,都有,且时,,.‎ ‎(1)求证是奇函数;‎ ‎(2)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)最小值-1,最大值1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用赋值法,令,代入函数式,可求得,再令代入函数式,即可证明函数为奇函数.‎ ‎(2)利用定义法,可证明函数在上单调递减.再根据,用表示出最大值与最小值即可求解.‎ ‎【详解】(1)证明:令,代入函数式可得 即 令,代入函数式可得 所以 函数定义域为R,所以是奇函数 ‎(2)先证明函数的单调性,证明过程如下:‎ 任取,则 由题意可知 因为 所以 即 所以在上单调递减,且 所以在区间上的, ‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,注意在解决此类问题时,赋值法在求值中的应用,属于中档题.‎ ‎22.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,.‎ ‎(1)写出函数的解析式;‎ ‎(2)若函数,;求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数为偶函数,求得当时函数的解析式,由此求得函数的解析式.(2)利用配方法化简的解析式,根据其对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,结合二次函数的性质求得的最小值的表达式.‎ ‎【详解】解:(1)时,,‎ ‎∵为偶函数,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)时,,‎ 对称轴,‎ ‎①当时,即时,在区间上单调递增,‎ 所以:‎ ‎②当,即时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,‎ 所以:‎ ‎③当,即时,在区间上单调递减,‎ 所以.‎ 综上所述,‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式,考查二次函数最小值的求法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎23.集合,,且实数.‎ ‎(1)证明:若,则;‎ ‎(2)是否存在实数,满足且?若存在,求出,的值,不存在说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1),则代入方程成立,两边同除以可得代入成立,即可得证;(2)由(1)的结论可知,所以 ‎,由方程根与系数的关系可求得,的值 试题解析:(1)若,则,可得,即是方程实数根,即.‎ ‎(2)假设存在,则根据,,易知集合、有且只有一个公共元素,设,根据条件以及(1)有,,显然,则有,那么,,代入方程有,,联立解得,所以存在满足且.‎ 考点:1.方程的根的情况;2.集合的交并补运算 ‎24.已知函数在区间单调递减,在区间单调递增.函数.‎ ‎(1)请写出函数与函数在的单调区间;(只写结论,不需证明)‎ ‎(2)求函数的最大值和最小值;‎ ‎(3)讨论方程实根的个数.‎ ‎【答案】(1)的减区间是,增区间是;的减区间是,增区间是;(2)最小值,最大值;(3)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知函数的单调区间,即可得到所求的两个函数的单调区间;‎ ‎(2)化简的函数解析式,再由已知结论,可得函数在上单调递减,在上单调递增,即可得到所求函数的最值;‎ ‎(3)化简方程可得或,又函数在上单调递减,在上单调递增,分类讨论可得到方程根的个数.‎ ‎【详解】根据条件,的单调递减区间是 单调递增区间是;‎ 函数的单调递减区间是,单调递增区间是;‎ ‎ ‎ 由可知,与均在单调递减,在上单调递增,‎ 则有函数在单调递减,在上单调递增,‎ 所以,;‎ 由可得,‎ 所以有或,‎ 又函数在单调递减,在单调递增,‎ 而,‎ 所以当时,方程无实数根;‎ 当时,有一个实数根;‎ 当,且即,方程有两个实数根;‎ 当,,方程有三个实数根;‎ 当时,方程有四个实数根.‎ 综上,当时,方程实根个数为0;‎ 当时,方程实根个数为1;‎ 当时,方程实根个数2;‎ 当,时,方程实根个数为3;‎ 当时,方程实根个数为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,以及函数与方程的综合应用问题,其中解答中合理利用题设条件,求得函数的单调区间和最值,以及利用函数与方程的思想合理转化,分类讨论求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及分类讨论思想的应用,以及推理与运算能力,属于难题.‎ ‎ ‎
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