2019届二轮复习导数中的点关于线对称问题学案（全国通用）

2019届二轮复习导数中的点关于线对称问题学案（全国通用）

专题 05 导数中的点关于线对称问题 导数中的存在点关于线的对称问题在平时的练习中比较常见，一开始很多同学无法下手，但是其实根据对 称思想确定对称点的坐标，转化为一个函数是否存在零点的问题，再利用导数分析函数的单调性，确定最 值，数形结合即可求解。 【题型示例】 1、已知函数 （ 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学 【答案】A 【解析】 因为函数 与 的图象在 上存在关于直线 对称的点，所以问题转化为方程 在 上有解，即 在 上有解.令 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，所以 ，即 ，故选 A. 2、已知函数 的图象上存在两点关于 轴对称，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设 是 上一点，则点 关于 y 轴的对称点为 ，于是 ， ∴ ，令 ，则 ，∴ 在 上是增函数，在 与 上是减函数， 又 时， ， ， ，∴ ，故选 D. 3、已知函数 ， ，若存在 使得 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4、已知函数 的图象上存在点 .函数 的图象上存在点 ，且 关 于原点对称，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. . 【答案】A 【解析】 由题知 有解，令 ， ，故函数在 递减，在 递增，所以 ，解得 . 【专题练习】 1、已知函数 , ,若 图象上存在 两个不同的点与 图象上 两点关于 轴对称，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵ 图象上存在 两个不同的点与 图象上 两点关于 轴对称， 在 上有两解，即 有两解，整理得 ．设 ，则．令 ，得 ，解得 或 （舍）．当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，则当 时， 取得极小值 ，当 时， ， 有两解， ． 的取值范围是 ．故选 D．学= 2、已知函数 与 的图象在 上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 学 【答案】D 【解析】 依题意，存在 ，使 成立，即 ， 在 上有解.令 ，则 .因为 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 . 3、已知函数 ， ，若 与 的图象上分别存在点 ，使得 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4、已知函数 ( , 是自然对数的底)与 的图象上存在关于 轴对称的 点,则实数 的取值范围是( ) 学 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据题意,若函数 ( , 是自然对数的底)与 的图象上存在关于 轴对 称的点, 则方程 在区间 上有解, ,即方程 在区间 上有解, 设函数 ,其导数 , 又由 , 在 有唯一的极值, 分析可得:当 时, , 为减函数, 当 时, , 为增函数, 故函数 有最小值 , 又由 , ，比较可得: , 故函数 有最大值 , 故函数 在区间 上的值域为 ; 若方程 在区间 上有解, 必有 ,则有 , 即 的取值范围是 . 5、若平面直角坐标系内的 两点满足：①点 都在 的图象上；②点 关于原点对称，则称点 对 是函数 的一个“姊妹点对”（点对 与 可看作同一个“姊妹点对”）.已知函数 则 的“姊妹点对”的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B