【数学】2021届一轮复习人教A版利用求导法则构造函数学案

【数学】2021届一轮复习人教A版利用求导法则构造函数学案

联想导数运算法则，巧设可导函数 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“、、”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆用、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法，供大家参考．‎ 总结：常用的有：‎ 和与积联系 ‎，构造；‎ ‎，构造；‎ ‎，同样构造；‎ ‎，构造；‎ ‎…………………‎ ‎，构造；‎ ‎，构造．等等．‎ 减法与商联系：‎ 如，构造；‎ ‎，构造；‎ ‎…………………‎ ‎，构造．‎ ‎，构造，‎ ‎，构造，‎ ‎………………‎ ‎，构造，‎ 奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）‎ 构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。‎ 给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。‎ ‎（一）巧设“”型可导函数 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“”时，不妨联想、逆用“”，构造可导函数，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．‎ ‎1．若的定义域为，恒成立，，则解集为（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】令，恒成立，即在定义域上单调递增．‎ 又，则，即．故本题答案选．‎ 解法二：将题中的含导数不等式移项为一边为零：令 变式1．1．已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，，所以在上单调递减，又，所以的解集为，选A．‎ 变式：1．2．已知函数的定义域为，是的导函数，且，，则不等式的解集为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】令，因为，且，所以，，‎ 即在上单调递减，且可化为，则，即不等式的解集为．‎ 点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集．解决本题的关键是合理根据条件(且)构造函数和，再利用单调性进行求解．‎ ‎2．函数的定义域为，，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造函数，则，所以函数在定义域上为减函数，且，由有，即，所以，不等式的解集为．‎ 点睛：本题主要考查抽象不等式的解法，导数在求函数单调性中的应用，属于中档题．构造函数是解答本题的关键．‎ 变式：设定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________．‎ 答案：(－1，1)．换元 ‎3．设奇函数在上的可导函数，当时有，则当时，有 A． B．‎ C． D．‎ 解析：联想，可知函数在 在上为减函数，又为奇函数，故也为奇函数，所以在上也为减函数，‎ 故当时，，即．答案：A．‎ ‎4．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，而，且，∴，即在上单调递减，不等式可化为，即，故，解得：，‎ 故解集为：．‎ ‎（二）巧设“”型可导函数 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“”时，可联想、逆用“”，构造可导函数，然后利用该函数的性质巧妙解决问题．‎ ‎5．设函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案：A．‎ 解析：联想，‎ 可知函数在内递增，‎ 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，‎ ‎∴为奇函数，则在内也为增函数．‎ 又，∴．‎ ‎∴不等式的解集是．‎ 变式5．1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）‎ ‎ A．或 B．或 ‎ C．或 D．或 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】令，则为奇函数，且当时，恒成立，即函数在，上单调递减，又，则，则可化为或，则或．故选D．‎ 点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及导数与函数的单调性；本题的易错点在于“利用函数在上单调递减”得到“函数在上单调递减”，忽视了“”，即函数在上不可能单调递减．‎ 变式5．2．已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为__________．‎ ‎【答案】0．‎ ‎【解析】令函数，因为，所以函数在上单调递增，则函数在上也单调递增，且，故该函数在上无零点，应填答案．‎ 点评：解答本题的关键是构造函数，然后借助导数的有关知识判定函数的单调性，从而确定函数与轴没有一个交点，即函数的零点的个数是0．‎ 点睛：本题的求解是先借助题设条件构设函数 ‎，然后求导借助导数值域函数单调性之间的关系判断出其单调递增函数，进而确定函数是单调递增函数，最后依据，确点函数的零点个数使得问题获解．‎ 变式5．3．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】试题分析：设，所以，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在的偶函数，当时，，此时函数单调递增．因为，，，又，所以．故选D．‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．‎ ‎【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数，并对进行求导，可以发现，，就是的三个函数值，再根据的单调性，就可以比较出，，的大小，进而得出结论．‎ ‎6．设函数是奇函数()的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】设，当时，，在上为减函数，且，‎ 当时，，，，；‎ 当时，，，，，‎ ‎∵为奇函数，‎ ‎∴当时，，；‎ 当时，，．‎ 综上所述：使得成立的的取值范围是 ‎【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有与的积或商，与的积或商，与的积或商，与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．‎ ‎7．是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】构造函数，则．‎ 又是定义在上的奇函数，所以为奇函数，‎ 且当时，，在上函数单减，‎ ‎．‎ 又，所以有的解集．‎ 故选C．‎ 点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．‎ 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．‎ ‎8．已知函数的导函数满足，则对都有（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，‎ 则，‎ 当时，，递增；‎ 当时，，递减，‎ 所以在时取最小值，‎ 从而，‎ 故选A．‎ 点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：‎ ‎，构造；‎ ‎，构造；‎ ‎，同样构造；‎ ‎，构造；‎ ‎…………………‎ ‎，构造；‎ ‎，构造．等等．‎ 变式8．1．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】构造函数，；‎ 时，∵，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴解得：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ 变式8．2．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】由，得，即，令，则当时，，即在上是减函数，‎ ‎∴，，‎ 即不等式等价为，‎ ‎∵在是减函数，偶函数是定义在上的可导函数，，‎ ‎∴，在递增，‎ ‎∴由得，，或，‎ 故答案为或．‎ 变式8．3．已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当 且时，，若曲线在处的切线的斜率为，则（）‎ ‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】曲线在处的切线的斜率为，所以，当且时，，可得时，，时，，‎ 令，．‎ ‎∴，‎ 可得时，，时，，可得函数在处取得极值，‎ ‎∴，∴，故选C．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义以及构造函数的应用，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．‎ ‎9．设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时，，所以 在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为．故选C．‎ 点睛：本题考查利用导数研究不等式问题．利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数．‎ 变式9．1．奇函数定义域为，其导函数是．当时，有，则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】令，‎ 则，‎ 由条件得当时，，‎ ‎∴函数在上单调递减．‎ 又函数为偶函数，‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎①当时，，不等式可化为 ‎，∴；‎ ‎②当时，，不等式可化为 ‎，∴．‎ 综上可得不等式的解集为．‎ 答案：．‎ 点睛：对于给出含有导函数的不等式来解不等式或比较大小的问题，往往采用构造新函数的方法，然后判断出新函数的单调性，再结合单调性进行解题．在构造新函数时，要注意观察所给的不等式的特征，根据乘积、商的导数的求导法则进行构造，并根据条件中所给出的不等式判断出所构造的函数的单调性．‎ ‎10．定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】设，则，在上递减，‎ ‎∴，即，化为，故选A．‎ ‎【方法点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．‎ 变式10．1．定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】由可得．‎ 令，则．‎ ‎∴函数在在上为增函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．选A．‎ 点睛：解答本题的关键是构造函数，主要考查导数运算法则的逆用．根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数是函数与的乘除的组合；④原函数是函数与的乘除的组合；⑤原函数是函数与的乘除的组合；⑥原函数是函数与的乘除的组合．‎ 变式10．2．设定义在上的函数满足，且，则下列结论正确是（）‎ A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值 D．在上有最小值 答案：C．‎ 解析：由，得．‎ 可设，又，则，则， ‎ ‎，‎ ‎∴在上递增，在上递减，‎ ‎∴在上有最大值．‎ ‎（三）巧设“”型可导函数 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“”时，可联想、逆用“”，构造可导函数，然后利用该函数的性质巧妙解决问题．‎ ‎11．已知定义在上的函数，，满足：，，且．若且，则有：（）‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ 答案：D．‎ 解析：构造函数，则．‎ ‎∵，∴，‎ 即为减函数．‎ 又当且时，，‎ ‎∴，即．‎ 又，，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 变式11．1设函数是奇函数的导函数，，且当时，，则使得成立的的取值范围是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】设，则的导数为：，‎ ‎∵当x＞0时，，‎ 即当x＞0时，恒大于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数为增函数，‎ ‎∵为奇函数 ‎∴函数为定义域上的偶函数 又∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0，‎ ‎∴当x＞0时，，当x＜0时，，‎ ‎∴x＞1或－1＜x＜0．‎ 故使得成立的x的取值范围是，‎ 故答案为：A．‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．‎ 变式11．2．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】令，∴。‎ ‎∵，为偶函数 ‎∴在上单调递减．‎ 或，选A．‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造．构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造，，构造；等．‎ 变式11．3．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．以上都不正确 ‎【答案】C．‎ ‎【解析】令，则当时：，‎ 即函数在上单调递增，由可得：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 不等式在上的解集为，‎ 同理，不等式在上的解集为，‎ 综上可得：不等式的解集是．‎ 变式11．4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】设则，函数在区间上是增函数，由题是定义在上的偶函数，故是上的奇函数，则函数在区间上是增函数，‎ 而， ，即，，‎ 当时，不等式等价于，由，得 当时，不等式等价于，由，得，‎ 故所求的解集为．‎ 故选C．‎ ‎12．设是函数，的导数，且满足，若是锐角三角形，则（）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】∵，时，‎ ‎∴在上递增，又A，B，C是锐角，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．‎ ‎13．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足对恒成立，为自然对数的底数，则（）‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．与的大小不能确定 ‎【答案】A．‎ ‎【解析】设，‎ ‎∵对于恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上递减，‎ 且，‎ ‎∴化简得到．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：本题考查抽象函数的单调性的综合应用，对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．‎ 变式13．1．若函数满足为自然对数底数)，,其中为的导函数，则当时，的取值范围是（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】由题意，构造函数，则，所以，‎ ‎，∵，∴，‎ 因此，，，‎ 当时，，当且仅当时，等号成立，故选C．‎ 变式13．2．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】由，得，‎ 令则．‎ ‎∵满足，‎ ‎∴当时，．∴．此时函数单调递减．‎ ‎∴．‎ 即.‎ ‎∵．‎ ‎∴．故选：C．‎ 变式13．3．函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】令，，，‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，即，，‎ 令，，，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴函数在上单调递减，∴，‎ 即，，‎ 故选D．‎ 点睛：本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，即得函数单调递增，得函数单调递减，解决该题最大的难点在于构造函数，难度较大；分别构造函数，和令，，利用导数研究其单调性即可得出结论．‎ ‎（四）综合运用求导法则及复合函数的求导法则，构造函数 ‎14．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，，则在上的零点个数为（）‎ ‎ A．5 B．3 C．1或3 D．1‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】根据题意可构造函数，‎ 则．‎ 由题当时，满足，，∴．‎ 即函数在时是增函数，又，‎ ‎∴当，成立，‎ ‎∵对任意，，∴．‎ ‎∵是奇函数，‎ ‎∴时，即只有一个根就是0．故选D．‎ ‎15．定义在上的函数使不等式恒成立，其中是的导数，则（）‎ ‎ A．， B．‎ ‎ C．， D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】令，‎ 则，‎ 又因为，‎ 所以，即，‎ 所以函数在上单调递增，所以，‎ 即，所以，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了抽象函数的单调性，根据已知条件构造符合题意的函数是解决本题的关键，一般构造函数的来源有两个：一是，利用已知条件转化为两个函数的乘积或商式的导数式；二是，根据选项，可以提示从结构上应该构造什么样的函数．‎ ‎16．设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】由已知得，考虑到基本初等函数的导数，与函数有关，因此设，，‎ 由题意，，，‎ 又，所以，，所以，不等式为，，即．故选B．‎ 方法2：由题得： ，，即，‎ ‎∴，又，∴．所以．‎ 反思：题中若已知函数值，则函数解析式能求出来或者零点可推测。‎ 点睛：已知导数与原函数的不等关系，可构造新函数，利用已知条件判断新函数的单调性，从而解决问题，如已知，可设，则，因此是增函数，类似地还可以设，，等等；本题已知的是，如果设，则，因此已知条件变为，这样可联想应该有，从而可求得，把问题具体化．‎ ‎17．（2018年辽宁理12）设函数满足，，则时，（）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．即有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 答案：D．‎ 解析：由题意知．‎ 令，则 ‎．‎ 由，得，‎ 当时，，‎ 即，则当时，，‎ 故在上单调递增，即无极大值也无极小值．‎ 反思：考察函数的极值，应该通过函数的导数情况。‎