【数学】江苏省盐城市2020届高三第二次模拟考试（5月）
江苏省盐城市2020届高三第二次模拟考试（5月）
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面，h为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|－1
B，所以A＋＋B＋＝π，得A＋B＝.(8分)
由a＝2b及正弦定理得sin A＝2sin B，
所以sin(－B)＝2sin B，即sincos B－cossin B＝2sin B，解得cos B＝sin B．(12分)
又sin2B＋cos2B＝1，得sin2B＝.
因为sin B>0，所以sin B＝.(14分)
16. 证明：(1) 在平行四边形ACC1A1中，因为O为AC1与A1C的交点，所以点O为A1C的中点．
因为点P为BC的中点，所以OP∥A1B.(4分)
又OP⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OP∥平面ABB1A1.(6分)
(2) 由(1)知OP∥A1B，又A1B⊥AC1，所以AC1⊥OP.(8分)
在平行四边形ACC1A1中，AA1＝AC，所以四边形ACC1A1为菱形，所以AC1⊥A1C.(10分)
又OP，A1C⊂平面OCP，且OP∩A1C＝O，所以AC1⊥平面OCP.(12分)
又AC1⊂平面ACC1，所以平面ACC1⊥平面OCP.(14分)
17. 解：周长l＝2＋2(1－r)＋·2πr＝4－r，
面积S＝1－(r2－πr2)＝1－r2，(4分)
所以f(r)＝＝，r∈(0，1)．(6分)
令8－r＝x，则f(r)＝＝＝16－(＋)≤16－2.(10分)
当且仅当x＝时，即x＝2，f(r)最大，此时r＝8－2.(13分)
答：当r＝8－2时，该淋浴房底座的满意度最高．(14分)
18. 解：(1) 由椭圆C：＋y2＝1，所以A(0，1)，B(0，－1)．
设M(x0，y0)，则·＝－，(2分)
所以y＝1－x.
又＋y＝1，解得a2＝2，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.(4分)
(2) 设P(t，2)，当t＝0时，xM＝xN＝0，不符题意，所以t≠0，
所以kPA＝，直线PA的方程为y＝x＋1，即x＝ty－t，(6分)
代入椭圆的方程得到＋y2＝1，即t2(y－1)2＋2(y2－1)＝0，
解得yA＝1，yM＝，同理yN＝.(8分)
因为直线MN与x轴平行，所以＝，解得t2＝6，yM＝，
所以直线MN的方程为y＝.(10分)
(3) 由(2)知＝xM＋1，解得xM＝，同理xN＝，(12分)
所以四边形AMBN的面积S＝·2(|xM|＋|xN|)＝＋.
根据对称性，不妨设t＞0，则S＝＋＝.(14分)
所以S＝16·＝16·.
设m＝t＋(m≥2)，则S＝16·＝16·≤16·＝16·＝.
当且仅当t＝，即t＝时等号成立，
所以四边形AMBN面积的最大值为，此时点P(±，2)．(16分)
19. 解：(1) 因为|an＋1－an|＝2n＋1，所以a2－a1＝±3，即a2＝a1±3.
又00，所以a3＝a1＋2，
所以(a1－3)2＝a1(a1＋2)，解得a1＝.(4分)
(2) 因为an是等差数列{bn}的前n项和，所以|an＋1－an|＝|bn＋1|＝2n＋1.(6分)
又bn＋1＝b1＋dn＝dn＋a1，所以|dn＋a1|＝2n＋1.(8分)
当dn＋a1＝－2n－1时，(d＋2)n＋a1＋1＝0，所以d＝－2，不符题意；
当dn＋a1＝2n＋1时，(d－2)n＋a1－1＝0，所以d＝2，a1＝1.(10分)
(3) 因为数列{a2n－1}单调递增，所以a1a4>a6>…
因为a1>a2，
所以…0，且函数h(x)在(0，＋∞)上连续不间断，由零点存在性定理可知h(x)的零点x0唯一存在，得证．(10分)
(3) 解：因为φ(x)＝ax＋b，由(2)得f′(x)＝，g′(x)＝.
记m(x)＝－ax＋a－b，n(x)＝a＋－aln x.
①当a＝0时，m(x)＝－b，n(x)＝，若b＝0，则m(x)＝n(x)＝0，此时f′(x)＝g′(x)＝0，不符题意；
若b≠0，m(x)与n(x)符号相反，此时f′(x)·g′(x)<0，满足题意．(12分)
②当a>0时，若x>，则m(x)<0；
若b>0，当x>1时，则n(x)＝a＋－aln x，所以x>e，
所以x>x0＝max时，m(x)<0，n(x)<0，
此时函数f′(x)<0与g′(x)<0，f′(x)·g′(x)>0，不符题意(舍)；
若b<0，则n(x)＝a＋－aln x1，所以x>e.
所以x>x0＝max时，m(x)<0，n(x)<0，
此时函数f′(x)<0与g′(x)<0，f′(x)·g′(x)>0，不符题意(舍)；(14分)
③当a<0时，若x>，则m(x)>0；
若b>0，则n(x)＝a＋－aln x>a－aln x.
由a－aln x>0，得ln x>1，所以x>e，
所以x>x0＝max时，m(x)>0，n(x)>0，
此时函数f′(x)>0与g′(x)>0，f′(x)·g′(x)>0，不符题意(舍);
若b<0，当x>1时，则n(x)＝a＋－aln x>a＋b－aln x.
由a＋b－aln x>0，得x>e，
所以x>x0＝max时，m(x)>0，n(x)>0，
此时函数f′(x)>0与g′(x)>0，f′(x)·g′(x)>0，不符题意(舍)．
综上所述，当a＝0且b≠0时，
函数f(x)与g(x)满足f′(x)·g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立．(16分)
2020届高三模拟考试试卷(盐城)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解：(解法1)平面列向量关于原点逆时针旋转α所对应的变换矩阵为M(α)＝，(4分)
直线l经矩阵M＝作用，即顺时针旋转θ以后得到直线l′，且l⊥l′，θ∈(0，π)，
所以θ＝.(10分)
(解法2)在直线l上任取一点P(x，y)，经过矩阵M作用后得到点P′(x′，y′)，
则＝＝ .(6分)
又点P′(x′，y′)在直线l′：y＝2x上，
所以sin θ·x＋cos θ·y＝2×(cos θ·x－sin θ·y)，
即(cos θ＋2sin θ)·y＝(2cos θ－sin θ)·x.(8分)
因为l⊥l′，所以＝－，所以4cos θ－2sin θ＝－2sin θ－cos θ，所以cos θ＝0.
因为θ∈(0，π)，所以θ＝.(10分)
B. 解：直线l的直角坐标方程为x＋y＋1＝0，(2分)
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2，圆心为C(0，0)，半径r＝，(6分)
圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以直线l被曲线C截得的弦长为2＝.(10分)
C. 解：因为正数a，b，c满足2a＋4b＋c＝3，所以2(a＋1)＋4(b＋2)＋(c＋3)＝16.
所以＋＋＝[2(a＋1)＋4(b＋2)＋(c＋3)]·(＋＋)
≥(＋2＋1)2＝.(8分)
当且仅当a＝，b＝，c＝时，取最小值.(10分)
22. 解：(1) 记“A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M.
A考生获得录取资格的概率为×＝；B考生获得录取资格的概率为×＝；
所以P(M)＝×＋×＝.
答：A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为.(4分)
(2) 随机变量X可能的取值为0，1，2，3.
C考生获得录取资格的概率为×＝，由(1)得A，B两位考生获得录取资格的概率均为.
所以A，B，C三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X～B(3，)．
则P(X＝0)＝C()3＝，P(X＝1)＝C()2·()1＝，
P(X＝2)＝C()1·()2＝，P(X＝3)＝C()3＝，
随机变量X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P(X)
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝(人)．(8分)
答：X的数学期望为人．(10分)
注：(1) 如果随机变量X的概率分布列写成P(X＝k)＝C()3－k·()k
(k＝0，1，2，3)，可酌情给分．(如果由二项分布的期望公式直接得出结果，可酌情给分．)
23. 解：(1) 当n＝3时，T3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴ S3＝1；(1分)
当n＝4时，T4＝{1，2，3，4}，
3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴ S4＝1×C＋2C＝5；(2分)
当n＝5时，T5＝{1，2，3，4，5}，
3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，
∴ S5＝1×C＋2×C＋3×C＝15.(4分)
(2) (解法1)Tn＝{1，2，3，…，n}，以1为最小值的3元子集个数为C；以2为最小值的3元子集个数为C；…以n－2为最小值的3元子集个数为C.
∴ Sn＝1×C＋2×C＋…＋(n－3)×C＋(n－2)×C(n≥3)
＝(n－2)×C＋(n－3)×C＋…＋[n－(n－2)]×C＋[n－(n－1)]×C
＝n(C＋C＋…＋C)－[2C＋3C＋…＋(n－1)C] (*)．
∵ C＝C＋C，
∴ C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C.(6分)
下求2C＋3C＋…＋(n－1)C.
记f(x)＝(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n－1(x≠0)，
则f′(x)＝2(1＋x)1＋3(1＋x)2＋…＋(n－1)(1＋x)n－2(x≠0)．
记g(x)＝(x＋1)f′(x)＝2(1＋x)2＋3(1＋x)3＋…＋(n－1)(1＋x)n－1(x≠0)，
则g(x)的展开式中x2项前的系数为2C＋3C＋…＋(n－1)C.
又f(x)＝(x≠0)，
f′(x)＝(x≠0)，
g(x)＝(x≠0)，
则g(x)的展开式中x2项前的系数又可以写作nC－C，
∴ 2C＋3C＋…＋(n－1)C＝nC－C，
∴(*)式＝nC－(nC－C)＝C(n≥3)．(10分)
(解法2)由S3＝1，S4＝5，S5＝15，S6＝35…归纳猜想出Sn＝C(n≥3)．
下用数学归纳法给出证明．
①当n＝3时，S3＝1＝C，结论成立；(2分)
②假设n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即Sk＝C，(4分)
则当n＝k＋1时，Tk＋1＝{1，2，3，…，k，k＋1}，
Sk＋1＝Sk＋[C＋2C＋3C＋…＋(k－2)C＋(k－1)C]
＝C＋{(k－1)C＋(k－2)C＋…＋[k－(k－2)]C＋[k－(k－1)]C}
＝C＋{k(C＋C＋…＋C)－[C＋2C＋3C＋…＋(k－1)C]}
＝C＋[kC－(kC－C)]
＝C＋C＝C，
所以当n＝k＋1时，结论成立．
综上，由①②可得Sn＝C(n≥3)．(10分)
