山西省忻州市原平市范亭中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

山西省忻州市原平市范亭中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

范亭中学高二数学第二学期期末考试试题 理科数学 本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据交集的定义，求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为集合，‎ 所以意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个集合交集运算，属于基础题.‎ ‎2.复数,则对应的点所在的象限为（）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得共轭复数，由此判断出其对应点所在象限.‎ ‎【详解】依题意，对应点为，在第一象限，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.‎ ‎3.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．‎ ‎【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；‎ 选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；‎ 选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；‎ 选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象对称性，函数单调性的问题，属于基础题．‎ ‎4.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．‎ ‎【详解】‎ 函数的最小正周期为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．‎ ‎5.以下说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题存在，使得，则:对任意，都有 D. 若且为假命题，则均为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的判定可知正确；根据复合命题的真假性可知错误，由此可得结果.‎ ‎【详解】选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若，则”，可知正确；‎ 选项：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正确； ‎ 选项：根据命题的否定可知对任意，都有，可知正确； ‎ 选项：由且为假命题，则至少有一个为假命题，因此不正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎6.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量（）．‎ A. 70 B. 90 C. 40 D. 60‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用除以甲的频率，由此求得样本容量.‎ ‎【详解】甲的频率为，故，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样的知识，考查频率与样本容量的计算，属于基础题.‎ ‎7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图得出几何体为一个圆柱和一个长方体组合而成，由此求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由圆柱和长方体组合而成，故体积为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查圆柱、长方体体积计算，属于基础题.‎ ‎8.二项式的展开式中，常数项为（）‎ A. 64 B. 30 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二项展开式的通项公式，由此求得常数项.‎ ‎【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故常数项为，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎9.函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】，‎ 函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，‎ ‎∴f(3)·f(e)＜0，‎ ‎∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.‎ 故选C.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若，则输出的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．‎ ‎【详解】执行如图所示的程序框图，有 满足条件，有，；‎ 满足条件，有,；‎ 满足条件，有，；‎ 满足条件，有，；‎ 不满足条件，退出循环，输出的值为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线 的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（　　）‎ A. B. 2 C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎，直线是线段的垂直平分线，‎ 可得到渐近线的距离为，‎ 且，，，可得，‎ 即为，即，‎ 可得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．‎ ‎【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，‎ 当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，‎ 则等价为f（x）＝，‎ 当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，‎ 当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，‎ 作出f（x）的图象如图，‎ 则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，‎ 设h（x）＝ ，‎ 则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），‎ 作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，‎ 即函数g（x）的零点个数为3个，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在等差数列中,,则________‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前项和公式，结合已知条件列式求得的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎14.若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则的值为___.‎ ‎【答案】2或18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出符合题意的抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，对称轴为轴，，‎ 故可设符合题意的点的坐标为，‎ 代入抛物线方程得，解得或，负根舍去.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎15.已知向量，，且与共线，则的值为__.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后根据两个向量共线列方程，解方程求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】依题意，由于与共线，故，解得，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，考查两个平面向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎16.已知随机变量服从正态分布，且,则_______．‎ ‎【答案】0.01‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性，求得的值.‎ ‎【详解】根据正态分布的对称性有.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 ‎17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求△ABC的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；‎ ‎（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】在的内角A，B，C的对边分别为且，‎ 且．‎ 整理得，‎ 利用正弦定理得，‎ 又由余弦定理，得，‎ 由于，解得：．‎ 由于，所以，‎ 整理得：，‎ 所以．‎ 当且仅当时，的面积有最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18.如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：‎ ‎（I）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；‎ ‎（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望 ‎【答案】（Ⅰ）甲的方差为,乙的方差为，甲连锁店该项指标稳定（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得两者的平均数，再利用方差计算公式计算出方差，由此判断甲比较稳定.（II）利用二项分布的分布列计算公式和期望计算公式，计算出分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6,7,9,10，‎ 乙连锁店的数据是5,7,10,10‎ 甲、乙数据的平均值为8.设甲的方差为,乙的方差为 则,,‎ 因为,所以甲连锁店该项指标稳定.‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各随机选一个，‎ 甲的数据大于乙的数据概率为,‎ 由已知，服从, ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望.‎ ‎【点睛】本小题主要考查茎叶图计算平均数和方差，考查二项分布分布列和数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎19.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．‎ ‎（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；‎ ‎（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；‎ ‎（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．‎ 详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，‎ 以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设OA＝x，则OF＝2x，OE，‎ ‎∴B（2，2x，0），E（，0，0），‎ A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），‎ ‎（﹣2，2x，﹣x），‎ ‎（2，x﹣2，0），‎ ‎∵异面直线BE与AC垂直，‎ ‎∴8＝0，‎ 解得x（舍）或x，‎ ‎∴，‎ ‎∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．‎ 证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），‎ ‎（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），‎ 设平面ABE的法向量（a，b，c），‎ 则，取a＝1，得（1，，），‎ 设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，‎ 则cosθ，‎ ‎∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．‎ ‎【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆 的离心率为，其中左焦点.‎ ‎（1）求出椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点横坐标，代入直线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ 解得：，‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）设点，，线段的中点为 由，消去得 由，解得：‎ 所以，‎ 因为点在曲线上 所以 解得：或 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用解析式求出切点坐标 ‎，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情况下讨论的正负，从而得到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系.‎ ‎【详解】当时，，则 又，‎ 所以在处的切线方程为，即 ‎（2）由函数，得：‎ 当时，‎ 又函数的定义域为 所以的单调递减区间为 当时，令，即，解得：‎ 当时，‎ 所以变化情况如下表：‎ 极小值 所以的单调递减区间为，；单调递增区间为 当时，‎ 所以变化情况如下表：‎ 极大值 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；本题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情况和函数的定义域的影响.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于点，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）：，C:；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数可得直线的普通方程，再把化成，利用可得圆的直角方程.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程后利用韦达定理可求的值.‎ ‎【详解】（1）由直线的参数方程消参得直线普通方程为，‎ 由得， ‎ 故，即圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得,‎ 即，由于，‎ 故可设是上述方程的两实根,‎ 所以， 又直线过点，故由上式及几何意义得： ‎ ‎【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．‎ ‎ ‎ ‎ ‎