【数学】2020届一轮复习人教A版不等式和绝对值不等式课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版不等式和绝对值不等式课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业 ‎ 1、已知，且，则的最小值为___________. 2、设.‎ ‎(1)求的解集；‎ ‎(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围 ‎3、已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围．‎ ‎4、已知函数，。‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围。‎ ‎5、已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数m的取值范围．‎ ‎6、设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．‎ ‎（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；‎ ‎（2）证明：f（x）．‎ ‎7、已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求时，的解集；‎ ‎（Ⅱ）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.‎ ‎8、设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，求实数的取值范围．‎ ‎9、已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．‎ ‎10、设函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎11、已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．‎ ‎12、已知，，，函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值为1，证明：.‎ ‎13、已知函数，记的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.‎ ‎14、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得恒成立，求的取值范围.‎ ‎15、已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围.‎ ‎16、设函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎17、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设集合满足：当且仅当时，，若，求证：.‎ ‎18、设的最小值为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，，，求证：.‎ ‎19、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）已知的最小值为，正实数，满足，求的最小值.‎ ‎20、已知不等式的解集为.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当取得最小值时，请画出的图像.‎ 参考答案 ‎1、答案：‎ 由题意可得 ，结合和均值不等式可得的最小值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ 由，且，可得：‎ ‎ ，‎ 结合可得：‎ ‎ ，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 名师点评：‎ 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽了某个条件，就会出现错误．‎ ‎2、答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）先求f（x）的最小值，进而使其最大值满足不等式求参即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得f（x）＝，‎ 因为f（x）≥4x+3，所以或或，‎ 解得x≤，‎ 所以f（x）≥4x+3的解集为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为，‎ 因为不等式2f（x）≥3a2﹣a﹣1对任意实数x恒成立，‎ 所以，解得，‎ 故实数a的取值范围是．‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 3、答案：(1)(2)或 试题分析：（1）分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可.‎ ‎（2）直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得a的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，‎ 当时，，得，无解；‎ 当时，，得，即；‎ 当时，，得，即.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 则由题可得，‎ 解得或.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义及应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 4、答案：(1).(2).‎ 试题分析：(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）等价转化为对任意的，恒成立，即对任意的，‎ 恒成立，再解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ ‎①当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎③当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ 综上所述，不等式的解集是；‎ ‎（2）由题意知，对任意的，恒成立，‎ 即对任意的，恒成立，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴对任意的，恒成立，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即实数的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式的应用和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5、答案：(1)(2)‎ 试题分析：（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式，分别求得每个不等式的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）由题意得在上恒成立，分离参数m，利用单调性求得左边函数的最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意得在上恒成立，‎ 化简整理得在上恒成立，‎ 令g（x）=在上单增，‎ ‎∴x=3时，g（x）最大，‎ 所以，即得的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 6、答案：（1）a＝5；（2）见解析 试题分析：（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥2．．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），‎ 当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，‎ 这与x≥a＞0矛盾，故不成立，‎ 当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x，‎ 又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝5.‎ ‎（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，‎ ‎∴|a|＝a22，当且仅当a时取等号，‎ 故f（x）．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 7、答案：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）把代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；‎ ‎（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎∵‎ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当，即时，无最小值；‎ 当，即时，有最小值；‎ 当且，即时，‎ 当且，即时，‎ 综上：当时，无最小值；‎ 当时，有最小值；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 名师点评：‎ 本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养. ‎ ‎8、答案：(1)(2)当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．‎ 试题分析：（1）当时，分类讨论把不等式化为等价不等式组，即可求解．‎ ‎(2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，分类讨论，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 不等式可化为或或，‎ 解得不等式的解集为．‎ ‎(2)由绝对值的三角不等式，可得，‎ 当且仅当时，取“”，‎ 所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9、答案：(1)不等式的解集为{或};(2).‎ 试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解.‎ 试题（1）当时，，解得，∴；‎ 当时，，解得，∴；‎ 当时，，解得，∴.‎ 综上，不等式的解集为或.‎ ‎（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，‎ 不等式只有一个正整数解，∴. 10、答案：（1）详见解析；（2）．‎ 试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.‎ 试题（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.‎ ‎（2）因为，所以 ‎，解得：.‎ ‎【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.‎ 考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 11、答案：（1）1；（2）.‎ 试题分析：（1）利用绝对值不等式的解法求得－2≤≤6，对的正负分类讨论，结合不等式的解集为列方程，即可得解 ‎（2）由（1）可得，将转化成，分别作出及的简图，“存在,使成立”，转化成的图象与直线y＝tx＋2相交，由图列不等式即可得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由|－2|≤4得－4≤－2≤4，即－2≤≤6，‎ 当＞0时，，所以，解得＝1；‎ 当＜0时，，所以，无解．‎ 所以实数的值为1.‎ ‎（2）由已知g（x）＝f（x）＋f（x＋3）＝|x＋1|＋|x－2|＝，‎ 不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2，‎ 由题意知的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象 由图得，当t＜0时，t≤kAM；当t＞0时，t≥kBM，‎ 又因为kAM＝－1，，‎ 所以t≤－1或，‎ 即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题。 12、答案：（1）（2）见证明 试题分析：（1）根据题意，当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2，据此可得f（x）＜8？或或，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为1，得a+b+c＝1，进而可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 所以或或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，，，‎ 所以，当且仅当等号成立；‎ 因为的最小值为1，所以，‎ 所以，‎ 因为，，，当且仅当a=b=c等号成立 所以，‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题． 13、答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 试题分析：(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；‎ ‎(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）①当时，，即，‎ ‎∴；‎ ‎②当时，，‎ ‎∴；‎ ‎③当时，，即，‎ ‎∴.‎ 综上所述，原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎∴的最小值.‎ ‎∴，‎ 即，‎ 当且仅当即时，等号成立.‎ 又，∴，时，等号成立.‎ ‎∴.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14、答案：(1).(2).‎ 试题分析：（1）先由题意得，再分别讨论，，三种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）先由含绝对值不等式的性质，得到，再由题意，可得，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式可化为，‎ 当时，，，所以无解；‎ 当时，所以；‎ 当时，，，所以，‎ 综上，不等式的解集是.‎ ‎（2）因为 又，使得恒成立，则，‎ ‎，解得.‎ 所以的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型. 15、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集；（2）由题得|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，再求出，解不等式a+1＜2a得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a=2时，不等式，即|x+1|-|x-2|＞2，‎ 当时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解；‎ 当时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得，所以；‎ 当x＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，即3＞2，此时原不等式恒成立，‎ 所以x＞2；‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由的解集为空集得的解集为空集，‎ 所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立.‎ 因为，所以，‎ 所以当且仅当即时，，‎ 所以a+1＜2a，‎ 解得a＞1，‎ 即的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查零点分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16、答案：（1）;（2）详见解析.‎ 试题分析：(1)，可得a的取值范围，即为的解集；‎ ‎(2)可得的解析式，，可得证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以，‎ 即或 故不等式的解集为 ‎（2）由已知得：‎ 所以在上递减，在递增 即 所以 名师点评：‎ 本题主要考查解绝对值不等式，及不等式的证明，求出的解析式与最小值是解题的关键. 17、答案：(1)；(2)见解析.‎ 试题分析：（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式得出M，即a，b的范围，再得出（a+1）2和（b﹣1）2的范围，利用不等式的性质即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，，得，故；‎ 当时，，得，故；‎ 当时，，得，故；‎ 综上，不等式的解集为 ‎（2）由绝对值不等式的性质可知 等价于，当且仅当，‎ 即时等号成立，故所以，‎ 所以，‎ 即.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，不等式的性质，属于中档题． 18、答案：（1）；（2）见详解.‎ 试题分析：(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.‎ ‎(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，取得最小值，即.‎ ‎（2）证明：依题意，，则.‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即，时，等号成立.‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数，)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值. 19、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）分3段去绝对值解不等式再相并；‎ ‎（2）先根据分段函数单调性求得最小值为1，从而2a+b＝1，再把原式变形后用基本不等式可求得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，，即时取等号，‎ 所以的最小值为.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了含绝对值的函数的最值，考查了配凑不等式形式的技巧及利用基本不等式求解最值的方法，属于中档题． 20、答案：（1）；（2）见解析 试题分析：（1）对移项整理得：，作出的图象，由图即可得解。‎ ‎（2）由（1）可得：，即：，分段作出图象即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：的解集为.‎ 所以的图象恒在图象的上方，作出图象如下：‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）得：最小取1，当时，，‎ 其图象如下图所示：‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了数形结合思想及转化能力，还考查了分段函数作图，属于中档题。 ‎