高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 十四 一元二次不等式的应用
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课时素养评价
十四 一元二次不等式的应用
(15分钟 35分)
1.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}等于 ( )
A.M∩N B.M∪N
C.R(M∩N) D.R(M∪N)
【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0,
故集合M可化为{x|-3
0,
解得x<-1或x>,
则原不等式的解集为(-∞,-1)∪.
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=
3 000+20x-0.1x2(01.
【解析】(1)原不等式可化为
解得
所以x<-或x≥,
所以原不等式的解集为.
(2)方法一:原不等式可化为
或
解得或
所以-30,
化简得>0,
即<0,所以(2x+1)(x+3)<0,
解得-32 B.m<2
C.m<0或m>2 D.0≤m≤2
【解析】选D.由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.
2.不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x≠-2} B.R
C.∅ D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1>0恒成立,
所以原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0,
所以(x+2)2>0,所以x≠-2.
所以不等式的解集为{x|x≠-2}.
3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是 ( )
A.[15,20] B.[12,25]
C.[10,30] D.[20,30]
【解析】选C.设矩形的另一边长为y m,
则由三角形相似知,=,所以y=40-x.
因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,
所以x2-40x+300≤0,
所以10≤x≤30.
4.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.
【解题指南】转化为二次方程与二次函数问题求解.
【解析】选A.由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,
又因为x1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象过点(0,-2),如图.只要当x=5时,二次函数y=x2+ax-2的函数值大于0,就能保证不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即25+5a-2>0,所以a>-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列结论错误的是 ( )
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤-
D.不等式>1的解集为x<1
【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项x是大于0的.
6.在一个限速40 km/h的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是 ( )
A.甲车超速 B.乙车超速
C.两车均不超速 D.两车均超速
【解析】选ACD.由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01>12,S乙=0.05x乙+0.005>10.
分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.
由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意的实数x都成立,则a的取值范围是 .
【解题指南】按照运算⊗的定义,转化为不等式恒成立问题解决.
【解析】根据定义得(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,
又(x-a)⊗(x+a)<1对任意的实数x都成立,
所以x2-x+a+1-a2>0对任意的实数x都成立,
所以Δ<0,即1-4(a+1-a2)<0,
解得-0的解集是(1,+∞),则= ,关于x的不等式>0的解集是 .
【解析】依题意,a>0且-=1,所以=-1;
不等式>0可变形为(ax-b)(x-2)>0,即x-(x-2)>0,
所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.
答案:-1 {x|x<-1或x>2}
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】因为a=2时,原不等式为-4<0,
所以a=2时恒成立.
当a≠2时,由题意得
即
解得-21时,不等式的解集为{x|1a≥-1,
所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.
2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根,求实数k的取值范围.
【解析】要使原方程有两个负实根,必须满足:
即
所以
所以-2≤k<-1或
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