新疆石河子第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

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新疆石河子第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

新疆石河子一中2018-2019学年高一下学期 期末数学试题 考试时间:120分钟;满分150分 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、单选题 ‎1.已知数列是等比数列,若,且公比,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,结合可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.‎ ‎2.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )海里/小时.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值,再根据正弦定理求出的值,从而求得船的航行速度.‎ ‎【详解】由题意,‎ 在中,由正弦定理得 ‎,得 所以船的航行速度为(海里/小时)‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,属于简单题.‎ ‎3.在△ABC中,角所对的边分别为,且则最大角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可得三边的比例关系;由大边对大角可知最大,利用余弦定理求得余弦值,从而求得角的大小.‎ ‎【详解】 由正弦定理可得:‎ 设,,‎ 最大 为最大角 ‎ ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,涉及到三角形中大边对大角的关系,属于基础题.‎ ‎4.中,,,,则的面积等于( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理求AC,再根据面积公式得结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以或2,‎ 因此的面积等于或等于,‎ 选D.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎5.设正项等比数列的前项和为,若,,则公比( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,求得,结合,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,正项等比数列满足,,‎ 即,,所以,‎ 又由,因为,所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了的等比数列的通项公式,以及等比数列的前n项和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式,以及等比数列的前n项和公式,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎6.在正项等比数列中,,为方程的两根,则(  )‎ A. 9 B. ‎27 ‎C. 64 D. 81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得,再利用等比数列的性质求得结果.‎ ‎【详解】由已知得 是正项等比数列 ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的三项之积的求法,关键是对等比数列的性质进行合理运用,属于基础题.‎ ‎7.在正项等比数列中,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对数的运算,得到,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,在正项等比数列中,,‎ 则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列性质,以及对数的运算求值,其中解答中熟记等比数列的性质,合理应用对数的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎8.已知是等差数列,且,,则( )‎ A. -5 B. ‎-11 ‎C. -12 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是等差数列,求得,则可求 ‎【详解】∵是等差数列,设,∴故 故选B ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查计算能力,是基础题 ‎9.已知数列中,,,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推关系,结合,,可求得,,的值,可得数列是一个周期为6的周期数列,进而可求的值.‎ ‎【详解】因为,由,,得;‎ 由,,得;‎ 由,,得;‎ 由,,得;‎ 由,,得;‎ 由,,得 由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列,所以,故选A.‎ ‎【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项,考查数列周期的判断,属基础题.‎ ‎10.设等比数列的前项和为,若,,则( )‎ A. 63 B. ‎62 ‎C. 61 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,代入数据计算可得.‎ ‎【详解】因为,,成等比数列,即3,12,成等比数列,所以,解得.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质与前项和的计算,考查运算求解能力.‎ ‎11.在中,内角所对的边分别为,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA,进而利用二倍角余弦公式得到结果.‎ 详解】∵.‎ ‎∴sinAcosB=4sinCcosA﹣sinBcosA 即sinAcosB+sinBcosA=4cosAsinC ‎∴sinC=4cosAsinC ‎∵0<C<π,sinC≠0.‎ ‎∴1=4cosA,即cosA,‎ 那么.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎12.在中,,则是( )‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式可得,,再根据诱导公式可得,然后利用两角和与差的余弦公式,即可将化简成,所以,即可求得答案.‎ ‎【详解】因为,‎ ‎,‎ 所以,,即,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用二倍角公式,两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题 ‎13.在等差数列中,,,则公差______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列公差性质列式得结果.‎ ‎【详解】因为,,所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列公差,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎14.记等差数列的前项和为,若,则________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列求和的性质可得,求得,再利用性质可得结果.‎ ‎【详解】因为,所以,所以,故 故答案为10‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质,熟悉其性质是解题的关键,属于基础题.‎ ‎15.数列满足,则数列的前6项和为_______.‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎16.在中,角所对的边分别为,,则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角,再结合两角和差公式进行整理,从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得:‎ 即:‎ ‎ ‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题,属于常规题.‎ ‎17.已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,的面积等于,则外接圆的面积为______.‎ ‎【答案】4π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.‎ ‎【详解】由,解得..解得.‎ ‎,解得.∴△ABC外接圆的面积为4π.‎ 故答案为:4π.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.‎ ‎18.在△ABC中,已知30,则B等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形正弦定理得到角,再由三角形内角和关系得到结果.‎ ‎【详解】根据三角形的正弦定理得到,‎ 故得到角,当角时,有三角形内角和为,得到,‎ 当角时,角 ‎ 故答案为 ‎【点睛】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ 三、解答题 ‎19.已知数列满足:.‎ ‎(1)证明数列是等比数列,并求数列通项;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由变形得,即,从而可证得结论成立,进而可求出通项公式;(2)由(1)及条件可求出,然后根据分组求和法可得.‎ ‎【详解】(1)证明:因为,‎ 所以.‎ 因为 所以 所以.‎ 又,‎ 所以是首项为,公比为2的等比数列,‎ 所以.‎ ‎(2)解:由(1)可得,‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】证明数列为等比数列时,在得到后,不要忘了说明数列中没有零项这一步骤.另外,对于数列的求和问题,解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解,属于基础题.‎ ‎20.在锐角中,角,,所对的边分别为,,,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若的面积为8,,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理,将csinA=acosC转化为,可得,从而可得角C的大小;(2)利用面积公式直接求解b即可 ‎【详解】(1)由正弦定理得,‎ 因为所以sinA>0,从而,即,又,所以;‎ ‎(2)由 得b=8‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查正弦定理的应用,面积公式的应用,考查化归思想属于中档题.‎ ‎21.在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,且,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)令,设数列的前项和为,求()的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1),;(2)的最大值是,最小值是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由条件列关于公差与公比方程组,解得,,再根据等差与等比数列通项公式求通项公式(2)化简可得,再根据等比数列求和公式得,结合函数单调性,可确定其最值 试题解析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则 解得,,‎ 所以,.‎ ‎(2)由(1)得,故,‎ 当为奇数时,,随的增大而减小,所以;‎ 当为偶数时,,随的增大而增大,所以,‎ 令,,则,故在时是增函数.‎ 故当为奇数时,;‎ 当为偶数时,,‎ 综上所述,的最大值是,最小值是.‎ ‎22.数列中,,(为常数).‎ ‎(1)若,,成等差数列,求的值;‎ ‎(2)是否存在,使得为等比数列?并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)p=1;(Ⅱ)存在实数,使得{an}为等比数列 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知求得a2,a4,再由-a1,,a4成等差数列列式求p的值;‎ ‎(Ⅱ)假设存在p,使得{an}为等比数列,可得,求解p值,验证得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由a1=2,,得,,‎ 则,,‎ ‎,.‎ 由,,a4成等差数列,得a2=a4-a1,‎ 即,解得:p=1;‎ ‎(Ⅱ)假设存在p,使得{an}为等比数列,‎ 则,即,则2p=p+2,即p=2.‎ 此时,‎ ‎,∴,‎ 而,又,所以,‎ 而,且,‎ ‎∴存在实数,使得{an}为以2为首项,以2为公比等比数列.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的性质,是中档题.‎
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