福建省莆田市莆田第七中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

福建省莆田市莆田第七中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

‎2019—2020学年上学期期中考试卷 高三数学（理科）‎ 一、单选题（每小题5分）‎ ‎1.设，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合分成两种情况考虑，即和，分别求得的范围再取并集.‎ ‎【详解】当时，此时，所以；‎ 当时，因为，所以；‎ 综上所述：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值范围，求解过程中注意不等式的等号能否取到是成功解决问题的关键.‎ ‎2.已知函数f(x)＝ 则f(1)－f(3)等于(　　)‎ A. －7 B. －2 C. 7 D. 27‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式，分别求得、函数值，再作差就可以.‎ ‎【详解】依题意，，所以，选C.‎ ‎【点睛】本小题考查分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于基础题.‎ ‎3.函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以函数是定义在上的偶函数，排除A、B项；‎ ‎ 又，排除C，‎ ‎ 综上，函数大致的图象应为D项，故选D.‎ ‎4.已知函数, 满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. (－∞，2) B. C. (－∞，2] D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意有,函数在上为减函数,所以有,解出,选B.‎ 考点：分段函数单调性.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数，都有成立，得出函数在上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点处,有,解出. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点处的情况.‎ ‎5.定义在上的函数满足：①，，；②存在实数，使得．则下列选项正确的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数关系，确定为对数型函数，设，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】解：在上满足：①，，；‎ ‎∴对数型函数，设，‎ ‎②若在实数，使得．‎ 即当时，，即 则函数为增函数，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎6.在△ABC中，，，且△ABC的面积，则边BC的长为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为△ABC中，，，且△ABC的面积，‎ ‎，即BC=.‎ 选C.‎ ‎7.已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，得到关于的二元一次方程组，解这个方程组，求出关于的式子，利用不等式的性质，结合的取值范围，最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：令，，,‎ 则 又，因此，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.‎ ‎8.函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义直接求出在区间的定积分，即可得出答案．‎ ‎【详解】 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查定积分的几何意义，属于基础题．‎ ‎9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎10.若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0‎ ‎∴‎ ‎∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3 ‎ 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”‎ 与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.‎ ‎11.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得函数的奇偶性，对称性和周期性，作出函数的图象，把在上有且仅有三个零点，转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于y轴对称，‎ 又由，则，即，‎ 可得，代入可得，所以函数的图象关于对称，且是周期为4的周期函数，‎ 又由当时，，画出函数的图象，如图所示，‎ 因为在上有且仅有三个零点，‎ 即函数和的图象在上有且仅有三个交点，‎ 当时，则满足，解得；‎ 当时，则满足，解得；‎ 综上所述，可得实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的应用，其中解答中根据题意得出函数的基本性质，作出函数的图象，把问题转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由且得：‎ 令，可知在上单调递增 在上恒成立，即：‎ 令，则 时，，单调递减；时，，单调递增 ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知集合，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A中函数的值域确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【详解】由A中的函数y＝2x＞0，得到A＝（0，+∞）；‎ B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，‎ 则A∩B＝（0，3）．‎ 故答案为（0，3）．‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，考查了集合的表示方法，注意描述法中代表元素的意义是解本题的关键．‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．‎ ‎【详解】实数，满足，如图所示可行域，‎ 令．‎ 结合图象，可看作原点到直线的距离的平方，‎ 根据点到直线的距离可得，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．‎ ‎15.已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角函数图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.‎ ‎【详解】①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.‎ ‎16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用导数再分情况讨论当，当，当时，当时函数的最小值，即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：由，‎ 则，‎ 由函数在上单调递增，‎ 则在恒成立，‎ 设，‎ ‎①当时，，为增函数，‎ 要使，则只需，求得，‎ ‎②由，‎ ‎ 当时，，即函数为减函数，即，‎ 要使，则只需，即，‎ 当时，有，即函数为增函数，‎ 要使，则只需，即，‎ 当时，有当时，，当时，，‎ 即函数在为减函数，在为增函数，即，要使，则只需，‎ 即，‎ 综上可得实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.设集合.‎ ‎（1）若求.‎ ‎（2），求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求集合和，再求；（2）首先解集合，若，再根据包含关系列不等式组，求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当m=5,‎ ‎(2)‎ ⅰ）令，无解 ⅱ）‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，一般含有参数的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根据集合的包含关系求参数时，1.不要忘了空集的情况，2,.一般需要借助数轴表示集合的包含关系.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在上单调递增区间.‎ ‎【答案】(1)；（2）递增区间为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角恒等变换的公式，化简，再利用周期的公式，即可求解；‎ ‎（2）令，，求得，，又由由，即可求解函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 所以的最小正周期为．‎ ‎（2）令，，得，，‎ 由，得在上单调递增区间为，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19.已知函数．‎ 求方程的实根；‎ 若对于任意，不等式恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎【答案】（1）x=0；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题得,再解即得.(2)先化简得，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎(2)由条件知 所以 而.‎ 当且仅当f(x)=,即f(x)=2,x=0时取得最小值.‎ 所以,‎ 所以实数m的最大值为4.‎ ‎【点睛】(1)‎ 本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.‎ ‎20.已知分别是的角所对的边，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理得值，再根据三角形内角范围求角；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：，再根据余弦定理得，代人解得，，，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得的面积．‎ 试题解析：解：（1）由余弦定理，得 ，‎ 又，所以．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 得，‎ 再由正弦定理得，所以．①‎ 又由余弦定理，得，②‎ 由①②，得，得，得，‎ 联立，得，．‎ 所以．所以．‎ 所以的面积．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）判断的奇偶性并给予证明；‎ ‎（3）求关于x的不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；‎ ‎（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，函数，‎ 则有，解可得，‎ 即函数的定义域为；‎ ‎（2）首先，定义域关于原点对称，函数，‎ 则 则函数为奇函数，‎ ‎（3）根据题意，即，‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 故当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：‎ ‎（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.‎ 解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若，求的单调区间和极值点；‎ ‎（2）若在单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后解导数方程，并列表分析的符号和的增减性，可得出函数的单调区间与极值点；‎ ‎（2）求出函数的导数为，由题意得出对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，‎ ‎，令，得或（舍去）.‎ 列表如下：‎ 极小 因此，函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由题意知，不等式对任意的恒成立，得，‎ 构造函数，其中，则，‎ 所有，函数在上为减函数，则，‎ ‎，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与极值点，同时也考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在某区间上恒成立，利用分类讨论思想和参变量分离法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎