广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期月考（二）数学（文）试题

广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期月考（二）数学（文）试题

华南师大附中2020届高三年级月考（二）‎ 数 学（文科）‎ 本试卷共5页，23题，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ）‎ A． B． C．3π D．4π ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎5．已知，若，则实数的值为（ ）‎ A．-2 B．‎2 ‎C．0 D．1‎ ‎6．已知，则y的最小值为（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎C．4 D．3‎ ‎7．已知x，y∈R，且x>y>0，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．lnx+lny>0‎ ‎8．将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎9．已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则△ABC的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．等差数列的前项和为，若，，则使达到最大值的是（ ）‎ A．10 B．‎11 ‎C．12 D．13‎ ‎11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得=（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，，，‎ ‎，顶点在平面上的投影为的中点，且，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知幂函数的图象过点，则的定义域是_______.‎ ‎14．已知向量，，且，则______.‎ ‎15．已知实数，满足，则目标函数的最大值为______.‎ ‎16．设函数在处取得极值0，则 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分） 在公差不为0的等差数列中，，，成公比为的等比数列，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求A到平面PBC的距离.‎ ‎19．（本小题满分12分） 某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y（单位：万只）与相应年份x（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系.‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊/万只 ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎2.6‎ ‎2.7‎ ‎（Ⅰ）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，；‎ ‎（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z（单位：个）关于x的回归方程.‎ 试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？‎ ‎②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？‎ 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎=，．‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l与椭圆C交于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分） 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若时不等式成立，求a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线，曲线为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于两点，求．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若方程在区间有解，求实数a的取值范围.‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C ‎7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 二、填空题 13． 14．10 15．3 16．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）公差不为0的等差数列中， ，，成公比为的等比数列，‎ 可得，，可得，，化简可得，‎ 即有.‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得，；‎ 前项和 ‎．‎ ‎18. （Ⅰ）证明：∵，∴，‎ ‎∵，∴.‎ 又∵底面，∴.‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）解：，‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 由（1）平面，‎ 又， ‎ ‎. ‎ ‎.‎ 又，‎ 设A到平面PBC距离为d，‎ 由 可得 ‎，‎ ‎. ‎ 即A到平面PBC的距离为.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设关于的线性回归方程为，‎ 则，‎ ‎，‎ 则，所以，‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）估计第年山羊养殖的只数，‎ ‎①第1年山羊养殖的只数为，故该县第一年养殖山羊约万只；‎ ‎②由题意，得，整理得，‎ 解得或（舍去）‎ 所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.‎ ‎20. 解：（I）由题设：，‎ 解得.‎ ‎∴椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎1.当ABx轴时，.‎ ‎2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，‎ 由已知，得.‎ 把代入椭圆方程消去y，‎ 整理得,‎ ‎ 恒成立，‎ ‎.‎ ‎,‎ 当且仅当，即时等号成立. ‎ 当时，. ‎ 综上所述，从而△AOB面积的最大值为.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）令 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 即，‎ ‎ 当时，.‎ ‎（Ⅱ）令，则，‎ ‎①当时，，所以函数在上单调递减，‎ 所以，所以满足题意.‎ ‎②当时，令，得，‎ 所以当时， ，当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（ⅰ）当，即时，在上单调递增，‎ 所以，所以，此时无解.‎ ‎（ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以 .‎ 设 ，则，‎ 所以在上单调递增,‎ ‎ ，不满足题意.‎ ‎（ⅲ）当，即时，在上单调递减，‎ 所以，所以 满足题意.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎22.解： （Ⅰ） ，‎ ‎ ‎ ‎， ， ，‎ ‎， ， ‎ ‎（Ⅱ）曲线为，‎ 设， 则 ‎.‎ ‎23. 解：（Ⅰ）可化为，‎ 故，或，或；‎ 解得：，或，或；‎ 所以，原不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）由题意：，．‎ 故方程在区间有解函数和函数，图象在区间上有交点.‎ 当时，，‎ 实数的取值范围是.‎