吉林省长春市德惠市九校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

吉林省长春市德惠市九校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求。‎ ‎1. 下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“存在”的否定是：“任意”‎ C. 命题“p或q”真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；‎ B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；‎ C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；‎ D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．‎ 解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；‎ B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；‎ C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；‎ D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．‎ 故选：B．‎ 考点：命题的真假判断与应用．‎ ‎2.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）‎ A. B. 6 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆定义，得到，‎ 所以的周长为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.‎ ‎3.曲线在处的切线的斜率为（ ）‎ A. -1 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，进一步求出函数在处的导数得答案．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ 曲线在处的切线的斜率为．‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数的求导公式，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．‎ ‎4.函数在上的最大值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数f（x）在（0，e]上的单调性，由单调性即可求得最大值．‎ ‎【详解】，令，得，令，得 ‎，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取极大值，这个极大值也函数在上的最大值，所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数在区间上的最值问题，属基础题．‎ ‎5.已知函数的导函数，且满足，则（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. -12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清是常数，属于基础题．‎ ‎6.双曲线的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在轴上，由离心率公式可得，变形可得；由焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 其焦点在轴上，且，‎ 若其离心率，则有，则有；‎ 又由双曲线焦点在轴上，其渐近线方程为：，即；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线的焦点的位置．‎ ‎7.若函数在区间内是减函数，，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．‎ ‎【详解】解：函数的导数，‎ 函数在区间内是减函数，‎ ‎，在区间内恒成立，‎ 可知即恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调递减，转化为恒成立是解决本题的关键．‎ ‎8.椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式即可得出．‎ ‎【详解】解：由椭圆定义，，即，‎ 由勾股定理，，‎ ‎，‎ 则△的面积．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】熟练掌握椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式是解题的关键、属于中档题．‎ ‎9.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.‎ ‎【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，‎ 即，‎ 又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，‎ 因此，直线的方程为：，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当大于等于0，在对应区间上为增函数；小于等于0，在对应区间上为减函数，由此可以求解．‎ ‎【详解】解：时，，则单调递减；‎ 时，，则单调递增；‎ 时，，则f（x）单调递减．‎ 则符合上述条件的只有选项A．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性．‎ ‎11.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别过、作准线的垂线，利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形中求线段长度即可得值，进而可得方程．‎ ‎【详解】解：如图过作垂直于抛物线的准线，垂足为，‎ 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的焦点，‎ 由抛物线的定义，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 所以抛物线方程为：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．‎ ‎12.若在上可导，且满足：在恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造，求导数，利用利用导数判定的单调性，可以得出结论．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 由已知恒成立得，当时，．‎ 故函数在上是增函数，‎ 又，故，即，‎ 即．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数来解题的方法，是易错题．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数在处的切线方程是，则________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在一点处的切线的定义可知，切线方程过切点，且切线的斜率为函数在切点处的导数值。‎ ‎【详解】解：因为函数在处的切线方程是 ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题。‎ ‎14.已知抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则=_____‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标，列出方程求出a．‎ ‎【详解】抛物线x2=ay（a＞0）的焦点为 ‎ 双曲线y2-x2=2的焦点为（0，±2）， ∵a＞0， ‎ ‎∴a=8， 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查有圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎15.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：原命题等价于有两个解．‎ 考点：1、函数的极值；2、函数与方程．‎ ‎16.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为 ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 分别是椭圆的左，右焦点， 现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 过 的直线 是圆的切线， ‎ ‎ ‎ ‎∴椭圆的离心率 ‎ 即答案为 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎(1) 若命题为真，求的取值范围；‎ ‎(2) 若命题为真，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）∵有实数解，∴ ‎ ‎（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴‎ ‎∵为真，，.‎ ‎【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎18.已知点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹是曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程.‎ ‎（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知：点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此能求出曲线的方程．‎ ‎（2）设交点，的坐标分别为，，则由抛物线的定义可得，，于是，由此能求出线段的长．‎ ‎【详解】（1）由已知：点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点,，准线为的抛物线，设方程为，则 曲线的方程为 ‎（2）直线的方程为,‎ 联立方程得 消元得 设,则,‎ 则由抛物线的定义可得，，于是，‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值12，求函数在该区间上的最小值.‎ ‎【答案】（1）增区间为：；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，直接由导函数大于0求解不等式得答案；‎ ‎（2）由（1）可得在上的单调性，求得极值，再求出、比较得答案．‎ ‎【详解】(1)，‎ 令，得或；‎ 令，得.‎ ‎∴函数的增区间为：；‎ ‎(2)由(1)知,，令,得x=1或x=−3(舍).‎ 当在闭区间变化时,,变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎ 1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ m 单调递减 m﹣5‎ 单调递增 ‎2+m ‎∴当时,取最大值，由已知.‎ 当时,取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆过点,且离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线:，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，，且过点，，构造关于、、的方程组，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎（2）设直线的方程与椭圆联立，，利用弦长公式求出，到的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．‎ ‎【详解】(1)已知椭圆过点,且离心率.‎ 可得：,解得，‎ 椭圆方程为：.‎ ‎(2)设直线方程为 联立方程得，消元整理得：‎ 直线与椭圆要有两个交点，所以解得，‎ 由韦达定理得：‎ 利用弦长公式得：‎ 由点到直线的距离公式得到到的距离 当且仅当，即时取到最大值，最大值为2‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎21.中心在原点的双曲线的右焦点为,渐近线方程为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设双曲线的方程为，，则有，，，解得即可，‎ ‎（2）由得，根据韦达定理和向量的数量积即可求出 的值 ‎【详解】（1）设双曲线的方程为，则有，‎ 所以双曲线方程为 ‎(2)联立方程得 消去得，‎ 依题意有解得且①，‎ 设，则由韦达定理得 依题意有,‎ 所以 所以，化简得，符合①，所以存在这样圆。‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．‎ ‎22.已知函数与函数在点处有公共的切线，设.‎ ‎（1） 求的值 ‎（2）求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1)；（2）当时，在上的最小值为 当时，在上的最小值为 当时，在上的最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)利用导数的几何意义，先求导，然后把x=1代入即可求出a 的值；（2）由（1）可知，根据F（x）的函数形式，可以利用求导的方法来解决问题，在解题的过程中要注意对参数m进行讨论.‎ 试题解析：（1）因为所以在函数的图象上 又，所以 所以 ‎ ‎（2）因为，其定义域为 ‎ ‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增 所以在上最小值为 ‎ 当时，令，得到(舍)‎ 当时，即时，对恒成立，‎ 所以在上单调递增，其最小值 ‎ 当时，即时，对成立，‎ 所以在上单调递减，‎ 其最小值为 ‎ 当，即时，对成立，对成立 所以在单调递减，在上单调递增 其最小值为 ‎ 综上，当时，在上的最小值为 当时，在上的最小值为 当时，在上的最小值为.‎ 考点：(1)导数的几何意义；（2）导数在函数中的应用.‎ ‎ ‎ ‎ ‎