江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高一下学期期中调研数学试题（解析版）

江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高一下学期期中调研数学试题（解析版）

江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．＝‎ A． B． C． D．‎ ‎2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为 A． B． C． D．‎ ‎3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是 A． B． C． D．‎ ‎4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，‎ 则这个定点的坐标是 A．(﹣2，1) B．(﹣1，0) C．(，) D．(，)‎ ‎6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于 A． B． C． D．‎ ‎10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：‎ ‎①A′D⊥BC；‎ ‎②三棱锥A′—BCD的体积为；‎ ‎③CD⊥平面A′BD；‎ ‎④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是 A． B． C． D．‎ ‎12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C 的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，‎ 则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为 ．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝ ．‎ ‎15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ．‎ ‎16．已知函数，则＝ ‎ ‎ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知，x(，)．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．‎ ‎（1）证明：AP∥平面EBD；‎ ‎（2）证明：BE⊥PC．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．‎ ‎（1）求BC边所在直线的一般式方程；‎ ‎（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（1）求证：EF⊥平面PAC；‎ ‎（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．‎ ‎（1）求灯柱AB的高（用表示）；‎ ‎（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．‎ ‎（1）证明：A＝2C；‎ ‎（2）若，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．‎ 江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研 数学试题 ‎2020．5‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．＝‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 考点：两角和与差的正弦公式 解析：‎ ‎，故选A．‎ ‎2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为 A． B． C． D．‎ 答案：D 考点：圆锥的体积 解析：圆锥的高，‎ ‎ 则圆锥的体积，故选D．‎ ‎3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是 A． B． C． D．‎ 答案：A 考点：两直线的位置关系 解析：设所求直线方程为：，过点(0，1)，求得C＝﹣1，‎ ‎ 故所求直线方程为，故选A．‎ ‎4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ 答案：B 考点：异面直线所成的角 解析：连接BE，则BE∥AF，∴∠BED是异面直线AF，DE所成的角或补角，‎ ‎ 设正方体的棱长为2a，则BE＝DE＝，BD＝，‎ ‎ ∴cos∠BED＝，故选B．‎ ‎5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，‎ 则这个定点的坐标是 A．(﹣2，1) B．(﹣1，0) C．(，) D．(，)‎ 答案：C 考点：直线过定点问题 解析：直线l的方程可变形为：，‎ ‎ 则，解得，即定点坐标为(，)．‎ ‎ 故选C．‎ ‎6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 答案：C 考点：空间点、线、面的位置关系 解析：选项C中，若，则结论不一定成立，故选C．‎ ‎7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ 答案：D 考点：两角和与差的三角函数公式 解析：∵，，，，(0，1)，‎ ‎ ∴，，故A，B错，‎ ‎ ∵，，，，(0，1)，‎ ‎ ∴，故D正确，‎ ‎ 至于C，取可判断C错误，‎ ‎ 综上所述，选D．‎ ‎8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案：B 考点：线面平行的判定 解析：图（1）可知平面ABC∥平面MNP，故AB∥平面MNP，图（1）符合题意；‎ ‎ 图（4），AB∥PN，故AB∥平面MNP，图（4）符合题意；‎ ‎ 至于图（2）和图（3），无法得出AB∥平面MNP，‎ ‎ 综上所述，本题选B．‎ ‎9．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于 A． B． C． D．‎ 答案：D 考点：正余弦定理 解析：，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴，故选D．‎ ‎10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案：C 考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积 解析：取BD中点E，连A′E，‎ ‎ 由二面角A′—BD—C为直二面角，可得A′E⊥平面BCD，则A′E⊥CD，‎ ‎ ∴VA′—BCD＝，②正确，‎ ‎ ∵CD⊥BD，A′E⊥CD，且A′EBD＝E，‎ ‎ ∴CD⊥平面A′BD，故③正确，‎ ‎ ∵A′B＝1，又求得A′C＝，BC＝2，‎ ‎ ∴A′B2＋A′C2＝1＋3＝22＝BC2，∴A′B⊥A′C，‎ ‎ 由CD⊥平面A′BD，得CD⊥A′B，又A′CCD＝C ‎ ∴A′B⊥平面A′DC，∵A′B平面A′BC ‎ ∴平面A′BC⊥平面A′DC，④正确，‎ ‎ 至于①无法得证，故选C．‎ ‎11．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是 A． B． C． D．‎ 答案：D 考点：正弦定理，两角和与差的正切公式 解析：∵，‎ ‎∴，即，‎ 令，，，显然，‎ ‎∵，∴，解得，‎ ‎∴，B＝，故选D．‎ ‎12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为 A． B． C． D．‎ 答案：B 考点：立体几何综合 解析：取AB的中点N，可知平面A1MCN就是平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面，由平面A1MCN是菱形，且该菱形对角线A1C＝，MN＝，‎ ‎ 则S＝，故选B．‎ 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为 ．‎ 答案：﹣3‎ 考点：两直线平行 解析：∵l1∥l2，‎ ‎ ∴，且，‎ ‎ ∴a＝﹣3．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：两角和与差的余弦公式 解析：当角为第三象限角时，则角为第四象限角 ‎∴，，，‎ 则；‎ 当角为第四象限角时，则角为第三象限角 ‎∴，，，‎ 则．‎ 综上，的值为．‎ ‎15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ．‎ 答案：‎ 考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长 解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝，‎ ‎∴最短路程＝．‎ ‎16．已知函数，则＝ ‎ ‎ ．‎ 答案：1000‎ 考点：三角恒等变换，三角函数的性质 解析：‎ ‎，‎ 则函数的周期为4，求得，‎ ‎∴．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知，x(，)．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：（1）解法一：因为， 所以， ‎ 于是 …………1分 ‎ ‎…………3分 ‎． …………5分 解法二：由， 得， …………2分 ‎． …………5分 ‎（2）因为．故．………… 6分 ‎，． ………… 8分 所以． …………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．‎ ‎（1）证明：AP∥平面EBD；‎ ‎（2）证明：BE⊥PC．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：在平行四边形中，连接交与点，连接 在中，分别为中点， ………… 2分 ‎ ………………………………5分 （2） 证明：‎ 在正三角形中，为中点， …………7分 ‎ …………11分 又因为中，所以 …………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．‎ ‎（1）求BC边所在直线的一般式方程；‎ ‎（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．‎ 解：（1），代入点斜式方程，，直线的一般方程为 …………3分 ‎（2），中点坐标为，代入方程，得…………5分 所以方程为，点满足方程，所以 ‎，设点到直线距离为，，‎ 所以 …………7分 同时利用点到直线的距离公式得，‎ ‎，所以， …………9分 所以 所以，所以点坐标为或 ………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（1）求证：EF⊥平面PAC；‎ ‎（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．‎ ‎（1）证明：在平行四边形中，分别为的中点，所以 在平行四边形中，，所以 在中，,，所以,,‎ ‎ ………2分 ‎，，‎ ‎ ………6分 ‎ ………8分 （2） 解：，，‎ 由（1）知，，所以点 ………10分 ‎，，‎ 所以四棱锥的体积为 ………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱A B所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．‎ ‎（1）求灯柱AB的高（用表示）；‎ ‎（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？‎ 21． 解：（1）与地面垂直，，‎ 在中，，…………1分 由正弦定理得，得，‎ ‎……3分 在中，，‎ 由正弦定理得，．‎ ‎………5分 ‎ ………6分 ‎（2）中，‎ 由正弦定理得，得，‎ ‎ ………8分 ‎ ………10分 ‎，，‎ 当时，取得最小值．‎ 故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米． ………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．‎ ‎（1）证明：A＝2C；‎ ‎（2）若，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．‎ ‎（1）证明：由，得，‎ ‎，，， ………2分 由余弦定理得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎， ………4分 或 ‎，，． ………5分 ‎（2）解：，，‎ ‎．‎ 由正弦定理得且，‎ ‎， ………6分 ‎ ………7分 为锐角三角形且，‎ ‎， ‎ 为锐角三角形，， ………10分 ‎，，此时为增函数，，‎ 即的取值范围是． ………12分