【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程课时作业(2)

【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程课时作业(2)

课时作业60　坐标系 ‎1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎2．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，‎ ‎∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.‎ 又直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t后得y＝x＋1，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.‎ ‎(2)当θ＝时，‎ ‎|OP|＝2sin＝2，‎ ‎∴点P的极坐标为，‎ ‎|OQ|＝＝，‎ ‎∴点Q的极坐标为，‎ 故线段PQ的长为.‎ ‎3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．‎ 解：(1)由于x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，则曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 点R的直角坐标为(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意，可令Q(2，sin θ)，‎ 则|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ 所以|PQ|＋|QR|＝4－2sin，‎ 当θ＝时，(|PQ|＋|QR|)min＝2.‎ 所以矩形PQRS周长的最小值为4，且P.‎ ‎4．(2019·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎5．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)∵C1的参数方程为 ‎∴C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为 ρ＝2acos θ(a为半径)，‎ 将D代入，得2＝2a×，∴a＝2，‎ ‎∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为 ＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ ‎∴ρ＝，‎ ρ＝＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ ‎6．(2019·山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l 的方程是x＝4.曲线C的参数方程是(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线θ＝α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围．‎ 解：(1)由ρcos θ＝x，得直线l的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ 曲线C的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为 ρ＝2cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则 ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝，‎ 所以＝＝＝＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝sin＋，‎ 因为0<α<，所以<2α＋<，‎ 所以0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，‎ 则|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝，‎ 由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为 ρ＝2cos(ρ>0)，‎ 所以ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 两边乘ρ得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－x－y＝0，‎ 所以C2的直角坐标方程为 2＋2＝1(x2＋y2≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，‎ 由题设及(1)知|OA|＝2，‎ ρB＝2cos，‎ 于是△AOB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝2cos·＝‎ ‎2 ‎＝2≤，‎ 当α＝0时，S取得最大值.‎ 所以△AOB面积的最大值为.‎ ‎8．(2019·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝5.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．‎ 解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，‎ 即ρ＝2sin θ.‎ ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，‎ 因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5.‎ ‎(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．‎ 设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1.①‎ 因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②‎ 联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.‎ 所以点A的坐标为或.‎ 又由于圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，‎ 所以点A的坐标为，‎ 点A的极径为 ＝，极角θ满足tan θ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝.‎ 所以点A的极坐标为.‎