2018届二轮复习（文科数学）平面向量与复数课件（全国通用）

2018届二轮复习（文科数学）平面向量与复数课件（全国通用）

第 2 讲 平面向量与复数 考情分析 总纲目录 考点一  复数 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量的数量积（高频考点） 考点四 平面向量的创新交汇问题 考点一   复数 1.复数的除法 复数的除法一般是将分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数, 再进一步化简. 2.复数运算中常用的结论 (1)(1 ± i) 2 = ± 2i,   =i,   =-i. (2)- b + a i=i( a + b i)( a , b ∈R). (3)i 4 n =1,i 4 n +1 =i,i 4 n +2 =-1,i 4 n +3 =-i( n ∈N * ). (4)i 4 n +i 4 n +1 +i 4 n +2 +i 4 n +3 =0( n ∈N * ). 典型例题 (1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　　) A.i(1+i) 2 　    B.i 2 (1-i) C.(1+i) 2 　     D.i(1+i) (2)(2017课标全国Ⅱ理,1,5分)   =   (　　) A.1+2i　　B.1-2i C.2+i　　D.2-i (3)(2017课标全国Ⅲ,2,5分)复平面内表示复数 z =i(-2+i)的点位于 (    　) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限 答案 　(1)C　(2)D　(3)C 解析 　(1)A.i(1+i) 2 =i × 2i=-2; B.i 2 (1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i) 2 =2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C. (2)   =   =   =2-i.故选D. (3) z =i(-2+i)=-2i+i 2 =-2i-1=-1-2i,所以复数 z 在复平面内对应的点为(-1,-2), 位于第三象限.故选C. 方法归纳 1.与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路:(1)变形 分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化为代数形式.(2)根据条件,列 方程(组)求解. 2.与复数 z 的模| z |和共轭复数有关的问题的解题策略:(1)设出复数 z 的代 数形式 z = a + b i( a , b ∈R),代入条件.(2)根据已知条件解决. 跟踪集训 1.(2017江西五市部分学校第三次联考)已知i为虚数单位,复数 z 满足 z (2+ i)=   ,则 z =   (　　) A.-1-3i　　B.-1+3i C.1+3i　　D.1-3i 答案     D　因为 z (2+i)=   ,所以 z =   =1-3i. 2.(2017山西八校第一次联考)设复数 z 满足(1+i) z =2i,则| z |=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.2 答案     C　∵(1+i) z =2i,∴ z =   =   =   =1+i.∴| z |=   =   . 3.(2017江西南昌十校第二次模拟)已知复数 z 满足 z +   =2(i为虚数单位), 其中   是 z 的共轭复数,| z |=   ,则复数 z 的虚部为   (　　) A.1　    B.i　　C. ± i　　D. ± 1 答案     D　设 z = a + b i( a , b ∈R),则   = a - b i,由 z +   =2可得2 a =2,解得 a =1,所 以 z =1+ b i,由| z |=   =   ,解得 b = ± 1,选D. 考点二    平面向量的线性运算 　　(1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一 个向量的起点指向最后一个向量的终点;在用三角形减法法则时要保证 “同起点”,结果向量的方向是指向被减向量. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (3)   = λ   + μ   ( λ , μ 为实数),若 A , B , C 三点共线,则 λ + μ =1. 典型例题 (1)(2017山东曲阜模拟)已知向量 a =(2,4), b =(-1,1), c =(2,3),若 a + λb 与 c 共线, 则实数 λ =   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   (2)(2017河南中原名校3月联考)如图,在直角梯形 ABCD 中, AB =2 AD =2 DC , E 为 BC 边上一点,   =3   , F 为 AE 的中点,则   =   (　　)   A.     -     　    B.     -     C.-     +     　    D.-     +     答案 　(1)B　(2)C 解析 　(1)解法一: a + λb =(2- λ ,4+ λ ).因为 a + λb 与 c 共线,所以必定存在唯一 实数 μ ,使得 a + λb = μc ,所以   解得   解法二: a + λb =(2- λ ,4+ λ ),由 a + λb 与 c 共线可知3(2- λ )=2(4+ λ ),解得 λ =-   . (2)解法一:如图,取 AB 的中点 G ,连接 DG , CG ,则易知四边形 DCBG 为平行 四边形,所以   =   =   -   =   -     ,∴   =   +   =   +     =   +     =     +     ,于是   =   -   =     -   =     -   =-     +     ,故选C.   解法二:   =   +   =   +     =-   +     =-   +     =-   +     +     +   (   +   +   ) =-     +     . 方法归纳 向量线性运算问题的求解方法 (1)进行向量的线性运算时,要尽可能地将向量转化到同一个平行四边 形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运 用向量加、减法运算及数乘运算来求解. (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需 要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的知识把 未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 跟踪集训 1.设 D 为△ ABC 所在平面内一点,   =3   ,则   (　　) A.   =-     +     　    B.   =     -     C.   =     +     　    D.   =     -     答案     A       =   +   =   +     =   +   (   -   )=     -     .故 选A. 2.在△ ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且|   |=3|   |,当   = x   + y   时,则 x - y = 　　　     . 答案 　-2 解析 　∵   =   +   =   +     =   +   (   -   )=-     +     ,∴ x =-   , y =   ,则 x - y =-2. 考点三    平面向量的数量积(高频考点) 命题点 1.平面向量数量积的计算. 2.求向量的夹角及模. 3.由条件求参数的值或范围. 1.数量积的定义: a · b =| a || b |cos θ .( θ 为向量 a , b 的夹角) 2.两个非零向量垂直的充要条件 若 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 a ⊥ b ⇔ a · b =0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 =0. 3.平面向量的三个性质 (1)若 a =( x , y ),则| a |=   = . (2)若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则|   |= . (3)若 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ), θ 为 a 与 b 的夹角,则cos θ =   =   . 典型例题 (1)(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量 a =(-1,2), b =( m ,1).若向量 a + b 与 a 垂直,则 m = 　　　     . (2)(2017课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知△ ABC 是边长为2的等边三角 形, P 为平面 ABC 内一点,则   ·(   +   )的最小值是 　　　     . 答案 　(1)7　(2)-   解析 　(1)∵ a =(-1,2), b =( m ,1),∴ a + b =( m -1,3),又( a + b )⊥ a , ∴( a + b )· a =-( m -1)+6=0,解得 m =7. (2)设 BC 的中点为 D , AD 的中点为 E ,则有   +   =2   , 则   ·(   +   )=2   ·   =2(   +   )·(   -   ) =2( - ). 而   =   =   , 当 P 与 E 重合时, 有最小值0,此时   ·(   +   )取最小值,最小值为-2   =-2 ×   =-   . 方法归纳 求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值. (2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最 值. 跟踪集训 1.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量 a , b 的夹角为60 ° ,| a |=2,| b |=1,则| a + 2 b |= 　　　     . 答案 　2   解析 　由题意知 a · b =| a |·| b |cos 60 ° =2 × 1 ×   =1, 则| a +2 b | 2 =( a +2 b ) 2 =| a | 2 +4| b | 2 +4 a · b =4+4+4=12. 所以| a +2 b |=2   . 2. (2017山东理,12,5分)已知 e 1 , e 2 是互相垂直的单位向量.若   e 1 - e 2 与 e 1 + λe 2 的夹角为60 ° ,则实数 λ 的值是 　　　     . 答案        解析 　由题意不妨设 e 1 =(1,0), e 2 =(0,1),则   e 1 - e 2 =(   ,-1), e 1 + λe 2 =(1, λ ).根 据向量的夹角公式得cos 60 ° =   =   =   ,所以   - λ =   ,解得 λ =   . 考点四    平面向量的创新交汇问题 　　平面向量常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等 式等知识交汇命题. 典型例题 (2017课标全国Ⅲ理,12,5分)在矩形 ABCD 中, AB =1, AD =2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若   = λ   + μ   ,则 λ + μ 的最大值为 (    　) A.3　    B. 2   　    C.   　    D.2 解析 　分别以 CB 、 CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系,则 A (2, 1), B (2,0), D (0,1).∵点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上,∴可设 P   . 则   =(0,-1),   =(-2,0),   =   . 又   = λ   + μ   , ∴ λ =-   sin θ +1, μ =-   cos θ +1, ∴ λ + μ =2-   sin θ -   cos θ =2-sin( θ + φ ), 其中tan φ =   ,∴( λ + μ ) max =3. 答案     A     方法归纳 建立直角坐标系,把点的坐标表示出来,则向量的坐标就可以求出来,从 而平面向量的四大常见问题:平行、垂直、夹角、模都可以套相应的公 式解决. 跟踪集训 (2017北京,12,5分)已知点 P 在圆 x 2 + y 2 =1上,点 A 的坐标为(-2,0), O 为原点, 则   ·   的最大值为 　　　     . 解析 　解法一:   ·   表示   在   方向上的投影与|   |的乘积,当 P 在 B 点时,   ·   有最大值,此时   ·   =2 × 3=6.   解法二:设 P ( x , y ),则   ·   =(2,0)·( x +2, y )=2 x +4,由题意知-1 ≤ x ≤ 1,∴ x =1 时,   ·   取最大值6,∴   ·   的最大值为6. 答案 　6 1.(2017课标全国Ⅱ,2,5分)(1+i)(2+i)=   (　　) A.1-i　　B.1+3i C.3+i　　D.3+3i 随堂检测 答案     B　(1+i)(2+i)=2+i+2i+i 2 =1+3i.故选B. 2.(2017湖北武汉四月调研)设 a 是非零向量, λ 是非零实数,则下列结论正 确的是   (　　) A. a 与- λa 的方向相反 B.|- λa | ≥ | a | C. a 与 λ 2 a 的方向相同 D.|- λa | ≥ | λ | a 答案     C    A选项,由于无法判断 λ 的正负,故无法判断 a 与- λa 的方向的 关系,故A错;B选项,由于无法判断 λ 的大小,故无法判断| a |与|- λa |的大小, 故B错;C选项, λ 2 >0,故 a 与 λ 2 a 同向,故C正确;D选项,| λa |表示向量的长度, 而| λ | a 表示的是向量,两者无法比较大小,故D错. 3.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量 a , b 满足| a + b |=| a - b |,则   (　　) A. a ⊥ b 　　B.| a |=| b |　     C. a ∥ b 　　D.| a |>| b | 答案     A　由题意知,以向量 a 、 b 为邻边的平行四边形为矩形,所以 a ⊥ b .故选A. 4.若复数 z 满足(1+2i) z =1-i,则| z |= 　　　     . 答案        解析      z =   =   ⇒ | z |=   . 5.(2017安徽百所重点高中第二次模拟)已知正方形 ABCD 的中心为 O ,且 边长为1,则(   -   )·(   +   )= 　　　     . 答案 　1 解析 　(   -   )·(   +   )=   ·   =|   |·|   |·cos   =1 ×   ×   =1.