2019届二轮复习圆锥曲线学案（全国通用）

2019届二轮复习圆锥曲线学案（全国通用）

第九讲 圆锥曲线 一、知识方法拓展：‎ ‎1、直线系方程 若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。‎ 特别地，当时，（*）式即；‎ 当时，（*）式即。‎ 对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.‎ 又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。‎ ‎2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）‎ 圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点与到一条定直线(点不在直线上）的距离之比为常数的点的轨迹: ‎ 当时, 点的轨迹是椭圆，‎ ‎ 当 时, 点的轨迹是双曲线，‎ 当 时, 点的轨迹是抛物线，‎ 其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，‎ 定直线是圆锥曲线的准线，焦点在X轴上的曲线的准线方程为。‎ ‎3、圆锥曲线和直线的参数方程 圆的参数方程是，其中是参数。‎ 椭圆的参数方程是，其中是参数，称为离心角。‎ 双曲线的参数方程是，其中是参数。‎ 抛物线的参数方程是，其中是参数。‎ 过定点，倾斜角为的直线参数方程为，为参数。（关注几何意义）。‎ ‎4、圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。‎ 二、热身练习：‎ ‎1、（07武大）如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆锥曲线的离心率，‎ 椭圆中：∴，得 双曲线中：，得，故选择C。‎ ‎2、（07武大）点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：‎ ‎ 设点 ‎∴‎ 所以答案选择D。‎ ‎3、（11复旦）椭圆上的点到圆上的点距离的最大值是（ ）‎ ‎（A）11 （B） （C） （D）9‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由平面解析几何的知识，椭圆上的点到圆 上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。‎ 设椭圆上点的坐标，圆的圆心 ，则：‎ ‎（当时取等号）‎ ‎∴所求距离的最大值=10+1=11。‎ ‎4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设抛物线方程为，则，联立直线与抛物线方程消去得：‎ ‎，，‎ 从而根据点在抛物线上得：‎ 解得：或（舍去），故选。‎ 三、真题精讲：‎ 精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。‎ 例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为、，且椭圆与直线相切。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值。‎ ‎【解析】（1）由题知： 所以可设椭圆方程为 ‎∵椭圆与直线相切 ‎∴方程组只有一个解，‎ 即方程有两个相等的实数根 所以 解得 所以椭圆方程为 ‎（2）当斜率不存在（或为0）时，‎ 当斜率存在（且不为0）时，设为，则的斜率为（）‎ 所以的方程为 设与椭圆的交点坐标，联立方程 ‎∴为方程的根 ‎∴‎ 同理 所以 因为，当且仅当时等号成立。‎ 所以 综上所述，的面积的最小值为，最大值为。‎ 例2、（11华约）双曲线，是左、右焦点，P是右支上任一点，且。‎ （1） 求离心率；‎ （2） 若A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，是否存在常数使恒成立？‎ ‎【解析】（1）在中，有 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 所以，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知双曲线的方程为：‎ 不妨先设，此时点的坐标为 ‎∴，为等腰直角三角形，‎ 下面证明。 令 则 ‎∴‎ 所以，存在常数，使恒成立。‎ 注：设是椭圆（或是双曲线）上一点，（分别是左右焦点），则。‎ 例3、（08武大）已知A、B两点在椭圆上，直线AB上两个不同的点P、Q满足，且P点坐标为。‎ ‎（1）若，求证：点Q在椭圆准线上；‎ ‎（2）若为大于1的常数，求点Q的轨迹方程。‎ ‎【解析】（1）证明：设 若轴，则，即两点重合，与已知矛盾；‎ 设，则 当时，则为椭圆的右焦点；‎ 则；‎ 其中由图形可知：，化简可以得到，即点在准线上；‎ ‎（2）解：设，则 ‎，同理；‎ ‎，；‎ 即 由图像 于是：‎ 整理得到：；‎ 联立，消去得：‎ 从求解过程中发现，不论点的纵坐标为何值，点的横坐标均为；‎ 故：点的轨迹方程为；‎ 例4、、（10武大）对于抛物线上的两相异点A、B，如果弦AB不平行于轴且其垂直平分线交轴于点P，那么称弦AB是点P的一条相关弦。已知点存在无穷多条相关弦，其中。‎ ‎（1）证明：点的所有相关弦的中点的横坐标均相同；‎ ‎（2）试问：点的所有相关弦中是否存在长度最大的弦？若存在，则求此最大弦长（用 表示）；若不存在，则阐述理由。‎ ‎【解析】（1）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 ‎、,则,,‎ 两式相减得。因为,所以。‎ 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是,则 ‎。‎ 从而AB的垂直平分线l的方程为,‎ 又点在直线l上，所以,‎ 而，于是。‎ 故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是。‎ ‎(2)由(1)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，‎ 整理得（*）‎ 则是方程（*）的两个实根，且，‎ 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为,于是设,则。‎ 记 若,则,所以当,即时,‎ l有最大值。‎ 若,则,在区间上是减函数，所以 ‎,l不存在最大值。‎ 综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当2

查看更多