上海市虹口区2020届高三上学期期末考试数学试题

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上海市虹口区2020届高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.设全集U＝R，若A＝{x|1}，则∁UA＝_____．‎ ‎【答案】{x|0≤x≤1}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 ‎【详解】全集U＝R,若A＝{x|1},‎ 所以,整理得,解得x＞1或x＜0,‎ 所以∁UA＝{x|0≤x≤1}‎ 故答案为：{x|0≤x≤1}‎ ‎【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义 ‎2.设复数 (i为虚数单位)，则＝_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.设x∈R+，则x最小值_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理x,再利用均值不等式求解即可 ‎【详解】设x∈R+ ,则x1,‎ 当且仅当（x+1）2＝2,即x＝时,等号成立 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题 ‎4.若0，则锐角x＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,则sinx＝cosx,可求出 ‎【详解】由于0,所以2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,‎ 由于x为锐角,‎ 所以sinx＝cosx解得x 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查已知三角函数关系求角,考查行列式 ‎5.设等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a7＝12，S4＝8，则an＝_____．‎ ‎【答案】2n﹣3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件解得,即可求出通项公式 ‎【详解】设首项为a1,公差为d等差数列{an}的前n项和Sn,‎ 若a2+a7＝12,S4＝8,‎ 则 解得 所以an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3‎ 故答案为： 2n﹣3‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查运算能力 ‎6.抛物线x2＝6y的焦点到直线3x+4y﹣1＝0的距离为_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得抛物线焦点为（0，）,根据点到直线距离公式求解即可 ‎【详解】抛物线x2＝6y的焦点为（0，）,‎ 所以点（0，）到直线3x+4y﹣1＝0的距离d 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查点到直线距离的应用,考查运算能力 ‎7.设（2x﹣1）（x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝_____．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到（x﹣1）6二项式的展开式,分别找到展开式中含x4的系数和x5的系数,再与2x﹣1结合,即可求出a5‎ ‎【详解】利用（x﹣1）6二项式的展开式：,‎ 令r＝2时,得（x﹣1）6展开式中含x4的系数,即,‎ 令r＝1时,得（x﹣1）6展开式含x5的系数,即 所以(2x﹣1）（x﹣1）6展开式中x5的系数为2×15+（﹣1）×（﹣6）＝36‎ 故答案为：36‎ ‎【点睛】本题考查二项式的展开式,考查求展开式系数,考查运算能力 ‎8.设f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x的值为_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）＝2f﹣1（x）可知,当f（x）过（x，y）时, f﹣1（x）过（x，）,则根据反函数的性质, f（x）过（，x）,代入解析式求解即可 ‎【详解】f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数,‎ 设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x，）,‎ 所以f（x）同时过（x，y）,（，x）,‎ 代入,得,所以x＝1‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查反函数的应用,考查对数的运算,考查运算能力 ‎9.已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：_____．‎ ‎【答案】②③①‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可假设n∥α,m⊥α,求证m⊥n即可 ‎【详解】已知m、n是平面α外的两条不同直线,给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；‎ 当m⊥α时,m必垂直于平面α内的任意一条直线,由于n∥α,‎ 所以m⊥n,‎ 如图所示 故答案为：②③①‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的应用,考查线线垂直的判定,属于基础题 ‎10.如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则•_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将图形放入平面直角坐标系中,分别求得点的坐标,进而求解•的值 ‎【详解】以O为原点,OA、OB分别为x、y轴,建立如图所示平面直角坐标系,‎ 由题,,所以,,则：‎ O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,,,‎ 所以,,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查求数量积,考查运算能力 ‎11.如图，F1、F2分别是双曲线C：y2＝1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，•0，则双曲线C的焦距|F1F2|为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由渐近线方程设A（m，）（m＞0）,根据可得B为（2m﹣c，）,代入渐近线方程可得m,由•0,代入可得,从而求出焦距 ‎【详解】由题,渐近线方程为,‎ 设A（m，）（m＞0）,F2（c，0）,,‎ 因为,所以为的中点,由中点坐标公式可得B为（2m﹣c，）,‎ 代入渐近线方程y,得,解得m,‎ 因为,,‎ 由•0,则,‎ 将m代入,得,解得,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查双曲线焦距,考查运算能力 ‎12.已知函数f（x）的定义域为R，当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的x∈R，均有f（x+2）＝2f（x），若不等式f（x）在x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,即可得,则,因为当时,值域为,则当时,值域为,则当,,由恒成立进而求得即可 ‎【详解】由题,,令,则,则,即,令,则,则,以此类推,则,设,则,‎ 因为当时,易得值域为,则当时,值域为.‎ 所以,令,则,，‎ 因为在恒成立,所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与性质的应用 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知，则条件“”是条件“”的（　　 ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将题干中的不等式的解求出，再利用充分条件、必要条件的概念判断即可.‎ ‎【详解】由得，由得，根据充分条件、必要条件的概念可知是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的概念的应用，属基础题.‎ ‎14.已知函数f（x）sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为偶函数，且在[0，]上为增函数，则θ的一个值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简可得,根据偶函数可解得,因为周期为且在上单调递增,则是一个完整的单调增区间,可得,即得,对赋值,即可得到选项 ‎【详解】由题,,因为是偶函数,所以,‎ 即,此时,‎ 因为在上单调递增,是一个完整单调增区间,则,‎ 即,所以,即,‎ 所以当时,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性,考查正弦型函数的单调性的应用,考查运算能力 ‎15.已知函数f（x）＝|x+2|，g（x）＝|x+t|，定义函数F（x），若对任意的x∈R，都有F（x）＝F（2﹣x）成立，则t的取值为（ ）‎ A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可得关于对称,因为关于对称,则推测关于对称,再将代回检验即可 ‎【详解】由可得关于对称,‎ 因为,则关于对称,所以关于对称,即,‎ 此时符合条件,故符合题意,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数的对称性的应用,考查数形结合思想 ‎16.正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题分析,是正四面体的外接球球心,可得为的底面的高,即到底面的距离为高的,因为两个正四面体关于对称,则两个对称水平面之间的距离为底面高的,即顶点到水平面的距离为底面高的,进而得到小正四面体的体积为正四面体的,对应四个顶点由四个小正四面体,进而求得公共部分的体积 ‎【详解】若将正四面体放在一个水平面上,易知其中心到点的距离是到底面距离的,所以反射的对称面是距离为到的底面距离的水平,因此,它割点所在的小正四面体时原正四面体的,同理,对三点处所切割的正四面体也是原正四面体的,则可得到两个正四面体的公共部分体积为,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查外接球的应用,考查空间想象能力,考查运算能力 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）‎ ‎17.在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA，求：‎ ‎（1）角B；‎ ‎（2）BC边上的高．‎ ‎【答案】（1）B（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由同角的三角函数关系可得sinA,再根据正弦定理解得sinB,即可求角；‎ ‎（2）先可求得,即可求得面积,进而求得BC边上的高 ‎【详解】（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,cosA,所以角A为钝角,由sin2A+cos2A＝1,解得sinA,‎ 由正弦定理可得,解得sinB,所以B ‎（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB,‎ 所以,‎ 由于,解得h＝4,‎ 故BC边上的高为4‎ ‎【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力 ‎18.如图，在圆柱OO1中，它的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点C为棱BB1的中点，点C1为弧A1B1的中点，求：‎ ‎（1）异面直线OC与A1C1所成角的大小；‎ ‎（2）直线CC1与圆柱OO1底面所成角的大小；‎ ‎（3）三棱锥C1﹣OA1C的体积．‎ ‎【答案】（1）（2）arcsin（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,求得和,进而求解即可；‎ ‎（2）由题得到及底面法向量,进而求解即可；‎ ‎（3）先求出三角形的面积,且棱锥中面上的高为半径1,进而求得体积即可 ‎【详解】（1）作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 如图所示：‎ 由题,则O（0,0,0）,C（0,1,1）,A1（0,﹣1,2）,C1（1,0,2）,‎ 则,,‎ 异面直线OC和A1C1的夹角为 所以异面直线OC与A1C1所成角的大小为 ‎（2）由（1）,,底面的法向量为,‎ 所以线面的夹角为,‎ 所以直线CC1与底面的夹角为arcsin ‎（3）锥体的体积,‎ 在△OA1C中,,,,则中边上的高,‎ 所以等腰三角形的面积为,‎ 棱锥的高即为C1到底面OA1C的距离r＝1,‎ 所以三棱锥C1﹣OA1C的体积为 ‎【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线夹角,求线面角,考查棱锥体积,考查运算能力 ‎19.某企业接到生产3000台某产品的三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）,已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（1）设生产部件的人数为，分别写出完成三种部件生产需要的时间；‎ ‎（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时完成订单任务的时间最短，此时生产三种部件的人数分别为44,88,68.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有 期中均为1到200之间的正整数.‎ ‎（2）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.‎ 注意到于是 ‎（i）当时，此时 ‎，‎ 由函数的单调性知，当时,取得最小值，解得 ‎.由于,‎ 而.‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.‎ ‎（ii）当时，由于为正整数，故，此时,易知为增函数，则.‎ 由函数的单调性知，‎ 当时，取得最小值，解得.‎ 由于，而，‎ 此时完成订单任务的最短时间大于.‎ ‎（iii）当时，由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得.‎ 类似（i）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为，大于.‎ 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产三种部件的人数 分别为44,88,68.‎ ‎【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想 ‎20.已知两点F1（，0）、F2（，0），设圆O：x2+y2＝4与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段F2P为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点．‎ ‎（1）求轨迹Γ的方程；‎ ‎（2）设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x相交于点R，求证：⊥l；‎ ‎（3）记△ABM、△ABN面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值及此时直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）|S1﹣S2|的最大值为，此时直线方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设|PF2|的中点为C,切点为T,由图可知OC为△F1PF2的中位线,可得,则可判断轨迹为椭圆,进而求出方程即可；‎ ‎（2）联立直线与轨迹Γ,进而求得中点的坐标,则可解得直线,从而求得,再求出直线的方向向量,利用数量积证明垂直即可；‎ ‎（3）分析可得,将代入,可得到关于的函数关系,求得最值时的即可 ‎【详解】（1）依题意,圆O：x2+y2＝4的半径为2,设|PF2|的中点为C,切点为T,由图可知OC为△F1PF2的中位线,‎ ‎ ‎ 所以,‎ 所以点P的轨迹为椭圆,所以a＝2,‎ 因为F1（，0）、F2（，0）,‎ 所以c,b＝1,‎ 所以轨迹Γ的方程为 ‎（2）证明：设直线为：y＝k（x）（k≠0）,M（x1，y1）,N（x2，y2）,‎ 所以 即,‎ 所以,,‎ 则点Q的横坐标,‎ 点Q的纵坐标,‎ 所以直线OQ的斜率为,则直线OQ为 ,‎ 因为直线OQ与直线x相交于点R,所以R（）,‎ 由,直线l的方向向量（1，k）,‎ 所以,即：⊥l ‎（3）在（2）的基础上设点M和N在x轴的上下两侧,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 由 所以,代入，‎ 所以4,‎ 当且仅当4k,即k时取等,此时|S1﹣S2|的最大值为,‎ 则直线方程为 ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程,考查向量法证明线线垂直,考查图形中的最值问题,考查数形结合思想和运算能力,灵活利用图形中的中点是解题切入点,将图形问题转化为函数问题是解题关键 ‎21.在数列{an}中，a1＝0，且对任意的m∈N*，a2m﹣1、a2m、a2m+1构成以2m为公差的等差数列．‎ ‎（1）求证：a4、a5、a6成等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设Sn，试问Sn﹣2n是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）答案不唯一，具体见解析（3）存在，极限为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由a2m﹣1、a2m、a2m+1为以2m为公差的等差数列,根据等差数列的性质,分别令,即可求解；‎ ‎（2）由题观察可得a2m+1﹣a2m﹣1＝4m,利用累加法可得,再分别讨论为奇数和偶数的情况,即得所求；‎ ‎（3）由（2）,按照为奇数和偶数情况分别求和,即可求得极限值 ‎【详解】（1）证明：令m＝1时,a1,a2,a3构成以2为公差的等差数列,因为a1＝0,所以a2＝2,a3＝4；‎ 令m＝2时,a3,a4,a5构成以4为公差的等差数列,所以a4＝8,a5＝12；‎ 令m＝3时,a5,a6,a7构成以6为公差的等差数列,所以a6＝18,a7＝24；‎ 由,得到a4,a5,a6成等比数列 ‎（2）解：由（1）得数列{an}的前几项为：0,2,4,8,12,18,24,‎ 所以 所以a2m+1﹣a2m﹣1＝4m,‎ 由累加法得到2m（m﹣1）,‎ 当n为奇数时,令2m﹣1＝n,所以m,所以；‎ 当n为偶数时,令2m＝n,所以m,所以 ‎（3）解：存在,‎ 由（2）,当n为奇数时,；‎ 当n为偶数时,；‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等比数列的证明,考查求数列的通项公式,考查数列的极限,把数列的项按照奇数项和偶数项讨论是解决此题的关键 ‎ ‎