2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷A）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷A）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） ‎ 数学（文科A卷）解析 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 锥体的体积公式：．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A，5分到手，妙！‎ ‎2．函数的定义域是 A． B． C． D．‎ ‎【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C！‎ ‎3．若，，则复数的模是 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解析】：复数的运算、复数相等，目测，模为5，选D.‎ ‎4．已知，那么 A． B． C． D．‎ ‎【解析】：考查三角函数诱导公式，，选C.‎ ‎5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是 ‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 ‎ A． B． C． D．‎ 9‎ ‎【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.‎ ‎7．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A.直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得.‎ ‎8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B了.‎ ‎9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【解析】基础题，，选D.‎ ‎10．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.‎ 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题 9‎ ‎.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.‎ ‎【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！‎ 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．设数列是首项为，公比为的等比数列，则 ‎ ‎【解析】这题相当于直接给出答案了 ‎12．若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．‎ ‎【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 ‎13．已知变量满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎【解析】画出可行域如图，最优解为，故填 5 ；‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 ．‎ ‎【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程，易的则曲线C的参数方程为 （为参数）‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图3，在矩形中，，，垂足为，则 ．‎ ‎【解析】本题对数值要敏感，由，可知 ‎ 从而，‎ 9‎ ‎.‎ ‎【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 若，求．‎ ‎【解析】(1)‎ ‎（2），，‎ ‎．‎ ‎【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ 频数（个）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；‎ ‎(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？‎ ‎(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．‎ ‎【解析】（1）苹果的重量在的频率为；‎ 9‎ ‎（2）重量在的有个；‎ ‎（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：‎ ‎（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.‎ ‎【解析】这个基础题，注意格式！‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．‎ ‎(1) 证明：//平面；‎ ‎(2) 证明：平面；‎ ‎(3) 当时，求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（1）在等边三角形中， ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立， ,平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.‎ ‎ 在三棱锥中，，②‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）可知，结合（2）可得.‎ ‎【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.‎ 9‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明：对一切正整数，有．‎ ‎【解析】（1）当时，， ‎ ‎（2）当时，，‎ ‎,‎ 当时，是公差的等差数列.‎ 构成等比数列，，，解得,‎ 由（1）可知，‎ ‎ 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（3）‎ ‎【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知求，是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成，来做后，不会求，没有证明也满足通项公式.‎ 9‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．‎ ‎【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）设点,，，‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，‎ 即. ‎ ‎∵， ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ①‎ 同理， . ②‎ 综合①、②得，点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线 的方程为，即；‎ ‎（3）由抛物线的定义可知，‎ 9‎ 所以 联立，消去得，‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值为 ‎ ‎【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数 ．‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．‎ ‎【解析】：‎ ‎(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎（i）当，即时，，在上单调递增，‎ 从而当时， 取得最小值 ,‎ 当时， 取得最大值.‎ 9‎ ‎（ii）当，即时，令 解得：,注意到,‎ ‎(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ，‎ 所以 ，‎ ‎ 【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知 时最小，时最大，只需证即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力 。 ‎ ‎ ‎ 9‎