【数学】湖南省衡阳市2020届高三下学期第二次联考（二模）试卷（理）
湖南省衡阳市2020届高三下学期第二次联考（二模）
数学试卷（理）
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.1－＝（ ）
A.－i B.i C.2－i D.2＋i
2.已知集合A＝{x∈N|ln2x<1}，则A＝（ ）
A.{x|
1>b>0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.()2020>()2021 C.logaba
9.已知P为椭圆C：上一点，F1，F2是C的两个焦点，椭圆C的离心率为，且△PF1F2的周长为16，若△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|的取值不可能为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
10.算术运算符MOD表示取余数，如a MOD b＝c，表示a除以b余数为c，右图是关于取余的一个程序框图，若输入x的值为3，则输出x＝（ ）
A.9 B.7 C.3 D.1
11.已知θ∈{}，现将函数f(x)＝cos4x－sin4x的图象向右平移θ个单位后得到函数g(x)的图象，若两函数g(x)与y＝tanωx(ω>0)图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知△ABC的周长为9，若cos＝2sin，则△ABC的内切圆半径的最大值为（ ）
A. B.1 C.2 D.
第II卷
本卷包括必考题与选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(每题5分，满分20分)
13.若向量a，b满足：a⊥(a－b)，|b|＝2，则|2a－b|＝ .
14.中国古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物.许多汉字与玉相关，如：玲、珑、珍、珠、琼、理等，现将“玛、玚、珅、珪、珽、珊”六个汉字排一排，其中笔画数相同的汉字必须相邻的排法有 种.(用数字作答)
15.如图，三棱锥A－PBC，PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝，PC＝，点O为三棱锥A－PBC外接球的球心，则AO与PC所成角的大小为 .
16.直线y＝k(x＋6)(k>0)与双曲线E：及其渐近线从左至右依次交于点A，B，C，D，双曲线的左右焦点分别为F1，F2且焦距为4，则△F2CD与△F1AB的面积之比为 .
三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(一)必做题(共60分)
17.(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，an＋an＋1＝n，bn＝a2n－1.
(1)证明：数列{bn}为等差数列.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，求S31－S24的值.
18.(本小题满分12分)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，所得的一部分如图所示，EF＝DC.
(1)证明：ED//平面ACF；
(2)若DC＝2AD＝4A1E＝2，∠ADC＝，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为，求点E到平面ACF的距离.
19.(本小题满分12分)某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据.成绩分为A，B，C，D，E五个等级(等级A，B，C，D，E
分别对应5分，4分，3分，2分，1分).某班学生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中语文素养能力测试”科目的成绩为A的考生有3人.
(1)求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为A的人数；
(2)若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分.从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为X，求P(X≥Ex).
(3)从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”.规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止.通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小?(只需写出结论)
20.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线的准线交x轴于C，A，B，D为抛物线上三点(其中D在第一象限)，|DF|＝4，|CD|＝4.
(1)求p的值；
(2)已知O为坐标原点，李同学从条件①kOA＋kOB＝－2出发，而刘同学从条件②kADkBD＝a
出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线AB过同一个定点”，试问如何设计实数a的值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln(x＋1)＋ax.
(1)若a<0，证明：函数f(x)的极值为一个非正数；
(2)若函数f(x)与g(x)＝sinx在x＝0处的切线相同，当m≥4，x≥0时，证明：f(x)≥3g(x)－.
(二)选做题(共10分)
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t
为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ＝θ1，(ρ∈R)，且曲线C关于直线l1对称.
(1)求tanθ1；
(2)若直线l1与曲线C交于O，A，直线l2：y＝kx(k>0)与曲线C交于O，B，且△OAB的面积不超过2，求直线l2的倾斜角的取值范围.
23.已知函数f(x)＝|x－1|＋ax.
(1)若函数f(x)存在最小值，求实数a的取值范围；
(2)若对x∈R，f(x)≥x恒成立，证明：f(x)＋f(－2－x)≥0.
