2019届二轮复习（理）专题48曲线与方程学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题48曲线与方程学案（全国通用）

‎1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；‎ ‎2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；‎ ‎3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.‎ ‎ ‎ ‎1.曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：‎ ‎(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；‎ ‎(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．‎ ‎2.求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系.‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式.‎ ‎(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式，并化简.‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.‎ ‎3.两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解.‎ 若此方程组无解，则两曲线无交点.‎ 高频考点一　定义法求轨迹方程 例1、已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.‎ 解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2). ‎ ‎【方法规律】(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.‎ ‎(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.‎ ‎(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.‎ ‎【变式探究】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．‎ 解　‎ 高频考点二　直接法求轨迹方程 例2、已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.‎ ‎(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，‎ 由题意，|O1A|＝|O1M|，‎ 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点.‎ ‎∴|O1M|＝，‎ 又|O1A|＝，‎ ‎∴＝，化简得y2＝8x(x≠0).‎ 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ>0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0).‎ ‎【方法技巧】利用直接法求轨迹方程 ‎(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.‎ ‎(2)运用直接法应注意的问题 ‎①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.‎ ‎②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.‎ ‎【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．‎ ‎(1)求椭圆的离心率e；‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．‎ 解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．‎ 由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，‎ 整理得22＋－1＝0，‎ 得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.‎ 则＝，＝(x，y＋c)．‎ 由y＝(x－c)，得c＝x－y.‎ 于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，‎ 即·x＋·x＝－2.‎ 化简得18x2－16xy－15＝0.‎ 将y＝代入c＝x－y，‎ 得c＝>0.‎ 所以x>0.‎ 因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．‎ ‎【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ 解　(1)由题意知c＝，＝，‎ 所以a＝3，b2＝a2－c2＝4，‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠±3)的一个根，同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0‎ ‎≠±3)的另一个根，‎ 所以k·(－)＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3，‎ 所以此时点P的轨迹方程为x＋y＝13(x0≠±3)．‎ 因为P(±3，±2)满足x＋y＝13，‎ 综上可知，点P的轨迹方程为x＋y＝13. ‎ ‎【感悟提升】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．‎ ‎(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．‎ ‎【变式探究】(1)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 答案　C ‎(2)如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT(点S、T分别在第一、四象限)上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.‎ ‎①求mn的值；‎ ‎②求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？‎ 解　①∵·＝(m，m)·(n，－n)‎ ‎＝－2mn＝－，∴mn＝.‎ ‎②设P(x，y) (x>0)，由＝＋，‎ 得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．‎ ‎∴　整理得x2－＝4mn，‎ 又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1 (x>0)． ‎ 它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．‎ 高频考点三　相关点法求轨迹方程 例3、如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.‎ 将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0).‎ 因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0).‎ ‎【方法规律】“相关点法”的基本步骤：‎ ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.‎ ‎【变式探究】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．‎ 解　设△ABC的重心为G(x，y)，‎ 又点C(x0，y0)在抛物线上，‎ ‎∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：‎ ‎(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即(y－)2＝(x－4a)．‎ 又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，‎ ‎∴△ABC的重心的轨迹方程为 ‎(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．‎ ‎【感悟提升】“相关点法”的基本步骤：‎ ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ ‎【变式探究】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．‎ ‎ ]‎ ‎2. （2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，‎ 由可得：，‎ 不妨设：，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：，‎ 据此可得：，，‎ 则，则，‎ 双曲线的离心率：，‎ 据此可得：，则双曲线的方程为.‎ 本题选择C选项. ‎ ‎5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4. （2018年天津卷）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，‎ 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，‎ 由，可得ab=6，从而a=3，b=2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎ ‎ ‎5. （2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． | ]‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为 ‎（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为 ‎（2）①设直线l与圆O相切于，则，‎ 所以直线l的方程为，即．‎ 由，消去y，得 ‎．（ ）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， ‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 因此，点P的坐标为．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．‎ 设，‎ 由（ ）得，‎ 所以 ‎．‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 解得舍去），则，因此P的坐标为．‎ 综上，直线l的方程为． ‎ ‎5. （2018年全国Ⅱ卷理数）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【答案】(1) y=x–1,(2)或．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎ ，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎ ‎ ‎1.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ，选B.‎ ‎2.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，‎ 椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，‎ 据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，‎ 则双曲线 的方程为 .‎ 故选B.‎ ‎3.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎4.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析。‎ ‎【解析】（1）由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点. ‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时， ，欲使l： ，即，‎ 所以l过定点（2， ）‎ ‎5.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 ‎ ‎【答案】(1) 。(2)证明略。‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎.‎ 由得-3m-+tn-=1， 又由（1）知，故 ‎3+3m-tn=0.‎ 所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 联立方程 得，‎ 由题意知，‎ 且，‎ 所以 .‎ 由题意可知圆的半径为 得， | |k ]‎ 因此 .‎ 由题意可知 ，‎ 而 ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 因此 ，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时，‎ 所以 ，‎ 因此，‎ 所以 最大值为.‎ 综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.‎ ‎7.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .‎ 由，得.‎ 则， .学 . ‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ ‎ ‎ ‎8.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ‎ ‎，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. ‎ 所以，直线的方程为，或.学 . ‎ ‎9.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）由（1）知， ， .‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时， 与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程： ， ①‎ 直线的方程： . ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得； ，无解.‎ 因此点P的坐标为. ‎ ‎1.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）‎ 平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，可得：.‎ 因为抛物线的焦点为，所以，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，‎ 令得，所以，‎ 又，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为. ‎ ‎2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎【解析】‎ 解：（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 ‎ ‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. ..3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以. 5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.学 ^ ‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分 ‎ ‎1.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.‎ ‎2.【2015高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )‎ ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎3.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ ‎，故选A.‎ ‎4.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 ‎ ‎1．（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为 ．‎ ‎【答案】y＝－5x＋3　‎ ‎2．（2014·辽宁卷）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋‎24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝＝.‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.‎ ‎4．（2014·安徽卷）如图14，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．‎ 图14‎ ‎(1)证明：A1B1∥A2B2；‎ ‎(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B‎1C1与△A2B‎2C2的面积分别为S1与S2，求的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B‎1C1∥B‎2C2，C‎1A1∥C‎2A2，所以△A1B‎1C1∽△A2B‎2C2，‎ 因此＝.‎ 又由(1)中的＝||知，＝，‎ 故＝. ‎ ‎5．（2014·湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【解析】解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，‎ 化简整理得y2＝2(|x|＋x)．‎ 故点M的轨迹C的方程为y2＝ ‎ ‎ ‎(i)若由②③解得k<－1或k>.‎ 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．‎ ‎(ii)若或 由②③解得k∈或－≤k<0.‎ 即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．‎ 当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．‎ 故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．‎ ‎(iii)若由②③解得－10)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎【解析】解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ 所以l ′的方程为x＝－y＋‎2m2‎＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，‎ 并整理得y2＋y－4(‎2m2‎＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(‎2m2‎＋3)．‎ 故线段MN的中点为E，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝.‎ 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 ‎4(m2＋1)2＋＋＝‎ ，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，‎ 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. ‎ ‎8．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝，即x＝y＋，代入抛物线方程得y2－3 y－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3 ，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF y1－y2|＝××＝.‎ ‎9．（2014·山东卷）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程．‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.‎ ‎①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． | |k ]‎ ‎ ‎ ‎(2)①证明：由(1)知F(1，0)．‎ 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．‎ 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，‎ 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．‎ 故直线AB的斜率kAB＝－.‎ 因为直线l1和直线AB平行，‎ 设直线l1的方程为y＝－x＋b，‎ 代入抛物线方程得y2＋y－＝0，‎ 由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.‎ 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.‎ 当y≠4时，kAE＝＝－＝，‎ 可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 由y＝4x0， ‎ 整理可得y＝(x－1)，‎ 直线AE恒过点F(1，0)．‎ 当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．‎ 所以直线AE过定点F(1，0)．‎ 由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.‎ 代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，‎ 所以y0＋y1＝－，‎ 可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d＝ ‎＝ ‎＝4，‎ 则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，‎ 当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．‎ 所以△ABE的面积的最小值为16. ‎ ‎10．（2014·陕西卷）如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．‎ 图15‎ ‎(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．‎ 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，‎ 代入C1的方程，整理得 ‎(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.( )‎ 设点P的坐标为(xP，yP)，‎ ‎∵直线l过点B，∴x＝1是方程( )的一个根．‎ 由求根公式，得xP＝，从而yP＝，‎ ‎∴点P的坐标为.‎ 同理，由 得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．‎ 经检验，k＝－符合题意，‎ 故直线l的方程为y＝－(x－1)．‎ 方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．‎